第二十四章 圆 第5课 圆周角(2)—— 圆内接四边形 课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 第5课 圆周角(2)—— 圆内接四边形 　　知识点 圆内接四边形 　　 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 　　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠A＋∠C＝ 180°，∠B＋∠D＝180°. 　　证明：如图，连接OB，OD. ∵∠A所对的弧为 ，∠C所 对的弧为 ，又 与 ⁠所对的圆心角的和是周角 (360°)，∴∠A＋∠C＝ × °＝ °.同理∠ABC＋ ∠ADC＝ °.(思考一下还有没有其他证明方法) 360 180 180 　　其他证明方法：如图，作直径AE交⊙O于点E，连接DE，BE. 　　∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝∠ABE＝90°. 　　∵∠ADE＋∠DEB＋∠ABE＋∠BAD＝360°，∴∠DEB＋ ∠BAD＝180°. 　　由圆周角定理的推论，得∠BCD＝∠DEB. ∴∠BAD＋∠BCD＝ 180°. 　　由四边形内角和为360°，得∠ABC＋∠ADC＝180°. 　　 圆内接四边形的对角 ⁠． 互补 　　1． 【例1】(绍兴中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝ 100°，则∠B＝ ⁠． 80° 　　2． (北师九下P81习题T2改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知 ∠ADC＝140°，则∠ABC＝ ，∠AOC＝ ⁠． 40° 80° 　　3． 【例2】(人教九上P88练习T5改编)如图，四边形ABCD内接于 ⊙O. 求证：∠DCE＝∠A． 　　证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠DCB＝180°. 　　∵∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A． 　　4． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一 个外角，且DB＝DC. 求证：AD平分∠CAE. 　　证明：∵DB＝DC， 　　∴∠DBC＝∠DCB. 　　∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DCB＝180°， 　　∴∠EAD＝∠DCB. 　　∵∠DAC＝∠DBC＝∠DCB， 　　∴∠EAD＝∠DAC. 　　∴AD平分∠CAE. 　　1． (北师九下P81习题T2变式)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(　B　) A． 80° B． 100° C． 140° D． 160° B 　　2． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径， BC＝2CD，则∠BAD的度数是 ⁠． 120° 　　3． (2024广元)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为 AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　A　) A． 64° B． 60° C． 54° D． 52° A 　　4． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E， 使得CE＝AB，连接ED. 求证：BD＝ED. 　　证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠DCB＝180°. 　　∵∠DCB＋∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE. 　　∵∠1＝∠2，∴ .∴AD＝CD. 　　又∵AB＝CE， 　　∴△ABD≌△CED(SAS)． 　　∴BD＝ED. 　　5． (人教九上P90习题T13改编)(2024滨州)如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，若四边形OABC为菱形，则∠D＝ ⁠°. 60 　　6． (拓展题)(北京中考)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC， BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. 　　(1)求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； 　　(1)证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝ ∠CDB. 　　∴BD平分∠ADC. 　　∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. 　　∵四边形ABCD是圆内接四边形， 　　∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 　　∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°. 　　∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°. 　　∴∠ABD＋∠ADB＝90°. 　　∴∠BAD＝180°－90°＝90°. 　　(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝ 2，求此圆半径的长． 　　(2)解：∵∠BAE＋∠DAE＝90°， 　　∠BAE＝∠ADE， 　　∴∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠AED＝90°. 　　∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径． 　　∴BD垂直平分AC. ∴AD＝CD. 　　∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形． 　　∴∠ADC＝60°. 　　∵BD⊥AC，∴∠BDC＝ ∠ADC＝30°. 　　∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°. 　　∴∠F＝90°. 　　∵四边形ABCD是圆内接四边形， 　　∴∠ADC＋∠ABC＝180°. 　　∵∠FBC＋∠ABC＝180°， 　　∴∠FBC＝∠ADC＝60°.∴∠BCF＝30°. 　　∴BC＝2BF＝4. 　　∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8． 　　∵BD是圆的直径，∴此圆半径的长是8÷2＝4． 　　 $$