专题六 第2讲 基本初等函数、函数的应用 讲义-2026届高三数学二轮复习

专题六 函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数的应用 一、学习目标： 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型； 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现. 二、真题扫描 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 三、考点透析 考点1 基本初等函数性质 1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 考点2 函数与方程 热点1 函数零点的判断 1．（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 热点2 根据零点求参数值或范围 1．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数恰好有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 热点3 多零点关联问题 1．（24-25·安徽·阶段练习）已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．任意直线都与函数的图象有交点 C．当时，的取值范围为 D．当时，的取值范围为 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3 函数模型及其应用 1．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 四、跟踪练习 1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有4个实数根，从小到大分别为，则 D．若有8个实数根，则 5．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 7．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数的应用 一、学习目标： 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型； 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现. 二、真题扫描 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 4．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 三、考点透析 考点1 基本初等函数性质 1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 2．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ． 【答案】4 【详解】由题意知，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，即， 令，其定义域为， ，满足题意， 故答案为：4． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 考点2 函数与方程 热点1 函数零点的判断 1．（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以， 所以，则. 又因为函数在上都单调递增， 则函数在定义域上单调递增， ， 因为，即，所以， ， 因为，即，所以， 因为在上单调递增，， 所以在上只有一个零点，且在内. 故选：C. 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 热点2 根据零点求参数值或范围 1．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数恰好有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得.因为函数恰好有一个零点， 所以由指数函数图象可知，直线与曲线相切. 易知，设切点坐标为，则，解得. 又切点在切线上，所以， 所以. 故选：B 2．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线， 由时，，作出与的图象如下图所示， 当时，函数是过定点，开口向上的折线， 如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点， 设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为， 所以，解得，满足条件，所以； 当时，函数与的交点情况如下图所示， 所以时，函数与的图象有个交点，满足条件； 当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示， 此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件； 综上所述，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 热点3 多零点关联问题 1．（24-25·安徽·阶段练习）已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．任意直线都与函数的图象有交点 C．当时，的取值范围为 D．当时，的取值范围为 【答案】ACD 【详解】 对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确； 对于B，过点作直线，与函数的图象没有交点，故B不正确； 对于C，当时，， 由，则， 由可得，从而， 所以，故C正确； 对于D，，则，故D正确； 故选：ACD． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D 考点3 函数模型及其应用 1．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（    ） A．函数可以将所有输入值映射到范围内 B．函数和函数图象的对称中心相同 C．复合模型函数有偶数个零点 D．函数和函数的图象仅有一个公共点 【答案】D 【详解】对于A，，所以函数不能将所有输入值映射到范围内，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，即 图象的对称中心为； ，所以函数是奇函数，图象的对称中心是，故B错误； 对于C，的定义域为, ， ∴是奇函数，零点关于原点对称. 而,函数有奇数个零点. 对于D，令则即， 解得，∴.故D正确. 故选：D. 四、跟踪练习 1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即， 所以. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有4个实数根，从小到大分别为，则 D．若有8个实数根，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或，解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，作出函数的图象，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则，故C正确； 对于D，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得， 综上，可得，故D错误. 故选：ABC. 5．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 7．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】 【详解】作出的图象， 令，则方程，即为， 有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $