第五章《投影与视图》知识点、考点及题型复习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第五章《投影与视图》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第五章《投影与视图》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体可从两个方面总结核心价值： 课本内容结构化梳理以 “投影与视图的本质” 为起点，按 “投影认知（投影定义与分类：平行投影、中心投影、正投影）→视图基础（三视图概念：主视图、俯视图、左视图及‘长对正、高平齐、宽相等’对应关系）→视图技能（三视图画法规则：实线画可见轮廓、虚线画不可见轮廓）→综合应用（投影实际测量：影子法测高度；视图还原几何体：由三视图确定形状与尺寸）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念建立到技能掌握，再到实际应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼聚焦 “基础概念（投影、平行投影、中心投影、正投影、三视图）、关键性质（平行投影‘同一时刻影长与高度成正比’、中心投影‘影子顶点与光源共线’、三视图‘主视定长高、俯视定长宽、左视定宽高’）、实践技能（投影应用步骤、三视图绘制流程、几何体还原方法）” 三大模块，通过表格对比（如平行投影与中心投影的性质差异）、重点标注（如 “三视图绘制中‘宽相等’需注意方向统一”），强化易混点（如平行投影与中心投影的区分）与高频考点（如由三视图计算几何体表面积 / 体积），为后续题型突破奠定理论与技能基础。 一、回归课本 本章以 “图形的投影与视图表达” 为核心，从生活中的影子、物体观察入手，构建投影与视图的理论体系，培养空间想象能力，具体内容分为四个模块： 1.投影的认识：通过实例感知投影的形成（光线照射物体形成影子），区分平行投影（太阳光等平行光线形成）、中心投影（点光源形成）和正投影（光线垂直于投影面），明确不同投影的本质特征及应用场景。 2.视图的认识：从不同方向观察物体，定义主视图（从正面看）、俯视图（从上面看）、左视图（从左面看），统称 “三视图”，建立 “立体图形→三视图” 的转化思维，理解三视图的几何意义。 3.三视图的画法：掌握三视图的绘制规则（长对正、高平齐、宽相等），学习根据立体图形（如柱体、锥体、组合体）准确绘制三视图，标注相关尺寸，规范画图步骤。 4.投影与视图的应用：逆向转化 “三视图→立体图形”，还原几何体的形状与尺寸；结合投影性质解决实际问题（如影子法测高度、中心投影定位）；计算由三视图还原的几何体的表面积、体积。 二、知识点梳理 （一）核心概念 投影：光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子。 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影，同一时刻不同物体的影长与高度成比例。 中心投影：由点光源（如灯光）形成的投影，所有影子的顶点与光源、物体顶点在同一直线上。 正投影：投影光线垂直于投影面的投影，是绘制视图的基础。 视图：从不同方向观察物体得到的平面图形，包括主视图、俯视图、左视图（三视图）。 三视图对应关系：长对正（主、俯视图水平方向长度相等）、高平齐（主、左视图竖直方向高度相等）、宽相等（俯、左视图垂直方向宽度相等）。 （二）关键性质 平行投影性质： 同一时刻，太阳光下垂直于地面的物体，影长与物体高度成正比； 不同时刻，同一物体的影长随太阳位置变化而变化（上午影长递减，下午递增）。 中心投影性质： 物体上各点与影子上对应点的连线都经过点光源； 同一光源下，物体离光源越近，影子越小；离光源越远，影子越大。 三视图性质： 主视图反映物体的长和高； 俯视图反映物体的长和宽； 左视图反映物体的高和宽。 （三）画法规则 三视图绘制步骤： 确定主视图的观察方向，画出主视图； 按 “长对正” 原则，在主视图下方画出俯视图； 按 “高平齐、宽相等” 原则，在主视图右侧画出左视图； 标注必要的尺寸（单位统一），去掉多余辅助线。 注意事项： 可见轮廓线用实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制； 组合体的三视图需体现各部分的位置关系（如叠加、挖去）。 （四）实际应用 投影应用： 平行投影：影子法测量物体高度（构建相似三角形）； 中心投影：确定点光源位置、判断物体与影子的对应关系。 视图应用： 由三视图还原几何体（确定几何体类型、边长、高）； 计算几何体的表面积、体积（结合柱体、锥体的面积 / 体积公式）。 三、考点考题汇编 考点一：平行投影与中心投影的辨析及应用 核心考向：区分平行投影与中心投影，利用平行投影的比例性质解决测量问题，利用中心投影的特征确定光源或物体位置。。 典例1（2024·张家店区期末） 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 变式练习1（2025·薛城区三模） 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 变式练习2（2024秋·横山区期末） 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF＝1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，求汽车盲区EB的长度． 版权所有 知识点二：三视图的识别与画法 核心考向：识别简单几何体（柱体、锥体、组合体）的三视图，根据几何体准确绘制三视图，判断三视图对应的几何体。 典例1（2025秋·榆林期中 ） 如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A． B． C． D． 网版权所有 变式练习1（2025秋·成都期中） 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体． （1）请在网格中画出图示几何体的三视图； （2）已知每个小正方体的棱长均为1cm，则该几何体的表面积为多少？ （变式练习2（2025·四川月考） 如图是某个几何体的从上面和左面看到的形状．则该几何体是　　 ． 考点三：由三视图还原几何体及相关计算 核心考向：根据三视图确定几何体的形状（如柱体、锥体、组合体），计算几何体的棱长、表面积、体积。 典例1（2025秋·渠县校级期中） 由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示． （1）请画出它从三个方向看到的形状图． （2）请计算几何体的表面积． 变式练习1（2025·历下区期中） 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为　4　 cm3． 变式练习2（2025·新泰市校级月考） 如图是一个几何体的从三个方向看到的形状图． （1）写出这个几何体的名称：　　 ； （2）根据图中数据（单位：cm），求它的表面积和体积．（结果保留π） 考点四：投影与视图的综合实际应用 核心考向：结合投影和视图的知识，解决实际问题（如零件加工、建筑测量、物体设计），实现 “立体图形→视图→投影→实际尺寸” 的转化。 典例1（2025·惠州一模） 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充如表： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 　4　 　368　 图2 　32　 6 2 　536　 图3 16 　12　 2 　496　 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是 　图1　 所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 　236　 （cm2）． 【实践应用】 （3）元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计） 变式练习1（2025·渠县校级月考） 如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． （1）这个几何体的名称是　　 ； （2）根据图中数据求这个几何体的棱长和与表面积． 变式练习2（2024·威海期末） 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，求该工件的体积． 四、题型汇总 题型1 投影类型判断 题型解读：本题型核心考查平行投影与中心投影的区分，以及正投影的特殊性。解题关键是抓住两种投影的本质差异：平行投影的光源是平行光线（如太阳光、月光），特征是同一时刻不同物体影长与高度成正比；中心投影的光源是点光源（如路灯、台灯），特征是物体上各点的影子连线必过光源。常以选择题形式出现，需结合生活场景判断投影类型，偶尔涉及投影性质的正误辨析。。 典例1（2024·河南郑州·期末） 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A．中午在烈日下行走，你的影子 B．上午在阳光下，操场旗杆的影子 C．夜晚在城市广场，照射灯下你的影子 D．阳光下，窗户的边框在室内的影子 变式 1（2024・潍坊中考） 下列现象中，属于中心投影的是（ ） A. 太阳光下旗杆的影子 B. 月光下大树的影子 C. 路灯下行人的影子 D. 阳光下广告牌的影子 变式 2（2025・成都金牛区期末） 关于投影，下列说法错误的是（ ） A. 平行投影中，同一物体在不同时刻的影长可能不同B. 中心投影中，物体上各点的影子连线必过光源C. 正投影是平行投影的一种特殊情况D. 皮影戏利用的是平行投影的原理 题型 2 投影的性质与应用 题型解读：本题型聚焦平行投影的核心性质 —— 同一时刻物体高度与影长成正比，常结合实际场景（如测建筑物高度、斜坡上的影子）考查计算。解题关键是：1. 明确 “高度 / 影长 = 定值” 的比例关系；2. 遇到斜坡影子时，需通过作垂线将斜坡影长转化为水平影长，再代入比例计算；3. 注意单位统一，避免计算误差。题型以解答题为主，偶尔涉及填空题。 典例（2024·金平区二模） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC． （1）此光源下形成的投影属于 　中心投影　 .（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP． 变式 1（2024・山东期中） 下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 变式 2（2024秋・成都期末） 数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 请你根据以下两种方案，选择其中一种方案，求出旗杆的高度． 方案一：如图1，小明在地面直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的目高CD＝1.6m． 方案二：如图2，小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD＝21米，留在墙上的影高CD＝2米． 题型 3 判断几何体的三视图 题型解读：本题型考查从不同方向（正面、上面、左面）观察几何体的视图绘制与识别，核心是空间想象能力。解题关键是：1. 明确常见几何体（柱体、锥体、球体、组合体）的三视图特征（如圆柱主视图为长方形，圆锥主视图为三角形）；2. 组合体需拆分各组件，分别判断其视图后叠加；3. 注意 “可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线”（虽真题中多考查可见轮廓，但需了解规则）。题型以选择题为主，偶尔涉及填空题。 典例（2024・青岛期中） 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆锥组成的，它的主视图是（ ） 变式 1（2025春・槐荫区期末） 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（　　） A． B． C． D． 变式 2（2024・陕西期末） 按要求完成下列视图问题： （1）请画出甲图从上面看到的形状图； （2）如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； （3）如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中　②　 （填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看 ②从左面看 ③从上面看 题型 4 由三视图确定几何体 题型解读：本题型是 “判断三视图” 的逆向考查，核心是根据三视图的形状反推几何体的类型，需掌握 “视图→几何体” 的对应规律。解题关键是：1. 先通过主视图和左视图判断几何体的 “类型”（如三角形对应锥体，长方形对应柱体，圆形对应球体 / 圆柱 / 圆锥）；2. 再通过俯视图确定几何体的 “底面形状”（如正方形对应正四棱柱，正六边形对应正六棱柱，圆形对应圆柱 / 圆锥）；3. 组合体需拆分三视图的上下 / 左右部分，分别对应不同组件（如 “上三角形下长方形” 对应 “锥体 + 柱体”）。题型以选择题为主。 典例（2025・浙江模拟） 如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（　　） A． B． C． D． 变式 1（2024秋・简阳市期末） 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由a个小立方块组成，最少由b个小立方块组成，则a+b＝ 　　 ． 变式 2（2024秋・静海区校级期末） 从三个不同方向看分别是下列三个图形的物体是（　　） A． B． C． D． 题型 5 根据三视图计算几何量 题型解读：本题型是三视图的综合应用，核心是先由三视图还原几何体，再计算其表面积、体积或棱长，需结合柱体、锥体的面积 / 体积公式。解题关键是：1. 准确还原几何体（明确长、宽、高或底面半径、母线长等关键尺寸）；2. 组合体需注意 “重合部分面积的处理”（如叠加体需减去 2 倍重合面积，无盖几何体需少算一个底面）；3. 熟记公式（如长方体体积 = 长 × 宽 × 高，圆锥体积 = 1/3× 底面积 × 高）。题型以解答题为主，偶尔涉及填空题。 典例 如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm)，主视图和左视图是底边长为4，腰为2的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，求几何体的表面积． 变式 1（2024秋・南皮县校级期末） 如图，是某几何体的三视图． （1）直接写出该几何体名称； （2）若△EFG中，EF＝8cm，∠EFG＝45°．BC＝10cm，求左视图ABCD的面积． 变式 2（2024・衡山县期末） 用小立方体搭一个几何体，使它从左面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中的小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题： （1）b，d，e各等于几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？（写出计算过程） （3）当a＝1，c＝f＝3时，在方格纸中用阴影画出这个几何体从正面看到的形状图． 题型 6 视图与投影的实际应用 题型解读：本题型将视图与投影知识结合生活实际（如零件加工、模型制作、物体测量），考查数学建模能力。解题关键是：1. 从实际问题中提取 “几何体” 或 “投影” 信息（如零件的三视图、路灯的中心投影）；2. 转化为数学问题（如无盖零件的表面积计算、影子长度的比例计算）；3. 结合视图规律或投影性质求解，注意实际场景的限制（如 “无盖” 需少算一个面，“斜坡影子” 需转化水平影长）。题型以解答题为主，难度中等。 典例（2024・西安期中） 如图是某机器零件从三视图图． （1）这个几何体的名称是 　　 ； （2）若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，则这个几何体的表面积是多少． 变式 1（2024秋・山丹县期末） 如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离． 变式 2（2024秋・霍州期中） 如图，为测量河宽OQ，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿OQ所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为100m．你能帮忙算出河宽OQ吗？请说明理由． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《投影与视图》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第五章《投影与视图》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体可从两个方面总结核心价值： 课本内容结构化梳理以 “投影与视图的本质” 为起点，按 “投影认知（投影定义与分类：平行投影、中心投影、正投影）→视图基础（三视图概念：主视图、俯视图、左视图及‘长对正、高平齐、宽相等’对应关系）→视图技能（三视图画法规则：实线画可见轮廓、虚线画不可见轮廓）→综合应用（投影实际测量：影子法测高度；视图还原几何体：由三视图确定形状与尺寸）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念建立到技能掌握，再到实际应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼聚焦 “基础概念（投影、平行投影、中心投影、正投影、三视图）、关键性质（平行投影‘同一时刻影长与高度成正比’、中心投影‘影子顶点与光源共线’、三视图‘主视定长高、俯视定长宽、左视定宽高’）、实践技能（投影应用步骤、三视图绘制流程、几何体还原方法）” 三大模块，通过表格对比（如平行投影与中心投影的性质差异）、重点标注（如 “三视图绘制中‘宽相等’需注意方向统一”），强化易混点（如平行投影与中心投影的区分）与高频考点（如由三视图计算几何体表面积 / 体积），为后续题型突破奠定理论与技能基础。 一、回归课本 本章以 “图形的投影与视图表达” 为核心，从生活中的影子、物体观察入手，构建投影与视图的理论体系，培养空间想象能力，具体内容分为四个模块： 1.投影的认识：通过实例感知投影的形成（光线照射物体形成影子），区分平行投影（太阳光等平行光线形成）、中心投影（点光源形成）和正投影（光线垂直于投影面），明确不同投影的本质特征及应用场景。 2.视图的认识：从不同方向观察物体，定义主视图（从正面看）、俯视图（从上面看）、左视图（从左面看），统称 “三视图”，建立 “立体图形→三视图” 的转化思维，理解三视图的几何意义。 3.三视图的画法：掌握三视图的绘制规则（长对正、高平齐、宽相等），学习根据立体图形（如柱体、锥体、组合体）准确绘制三视图，标注相关尺寸，规范画图步骤。 4.投影与视图的应用：逆向转化 “三视图→立体图形”，还原几何体的形状与尺寸；结合投影性质解决实际问题（如影子法测高度、中心投影定位）；计算由三视图还原的几何体的表面积、体积。 二、知识点梳理 （一）核心概念 投影：光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子。 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影，同一时刻不同物体的影长与高度成比例。 中心投影：由点光源（如灯光）形成的投影，所有影子的顶点与光源、物体顶点在同一直线上。 正投影：投影光线垂直于投影面的投影，是绘制视图的基础。 视图：从不同方向观察物体得到的平面图形，包括主视图、俯视图、左视图（三视图）。 三视图对应关系：长对正（主、俯视图水平方向长度相等）、高平齐（主、左视图竖直方向高度相等）、宽相等（俯、左视图垂直方向宽度相等）。 （二）关键性质 平行投影性质： 同一时刻，太阳光下垂直于地面的物体，影长与物体高度成正比； 不同时刻，同一物体的影长随太阳位置变化而变化（上午影长递减，下午递增）。 中心投影性质： 物体上各点与影子上对应点的连线都经过点光源； 同一光源下，物体离光源越近，影子越小；离光源越远，影子越大。 三视图性质： 主视图反映物体的长和高； 俯视图反映物体的长和宽； 左视图反映物体的高和宽。 （三）画法规则 三视图绘制步骤： 确定主视图的观察方向，画出主视图； 按 “长对正” 原则，在主视图下方画出俯视图； 按 “高平齐、宽相等” 原则，在主视图右侧画出左视图； 标注必要的尺寸（单位统一），去掉多余辅助线。 注意事项： 可见轮廓线用实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制； 组合体的三视图需体现各部分的位置关系（如叠加、挖去）。 （四）实际应用 投影应用： 平行投影：影子法测量物体高度（构建相似三角形）； 中心投影：确定点光源位置、判断物体与影子的对应关系。 视图应用： 由三视图还原几何体（确定几何体类型、边长、高）； 计算几何体的表面积、体积（结合柱体、锥体的面积 / 体积公式）。 三、考点考题汇编 考点一：平行投影与中心投影的辨析及应用 核心考向：区分平行投影与中心投影，利用平行投影的比例性质解决测量问题，利用中心投影的特征确定光源或物体位置。。 典例1（2024·张家店区期末） 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE． ∵∠ABC＝∠DEF＝90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE＝BC：EF， ∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8 ∴7：4＝DE：8 ∴DE＝14（m）． 变式练习1（2025·薛城区三模） 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 变式练习2（2024秋·横山区期末） 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF＝1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，求汽车盲区EB的长度． 解：如图2，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M． ∵3DF＝2AF，AF＝1.8m， ∴DF＝1.2m， ∵∠FDC＝90°，AF∥CD， ∴DF⊥DC ∵MN⊥DC， ∴DF＝MN＝1.2m， ∵PN＝1.4m， ∴PM＝PN﹣MN＝1.4﹣1.2＝0.2m ∵AF∥EB， ∴∠PFA＝∠E，∠PAF＝∠B， ∴△PAF∽△PBE， 根据相似三角形的性质可得： ， ∴， ∴EB＝12.6m 答：汽车盲区EB的长度为12.6m． 版权所有 知识点二：三视图的识别与画法 核心考向：识别简单几何体（柱体、锥体、组合体）的三视图，根据几何体准确绘制三视图，判断三视图对应的几何体。 典例1（2025秋·榆林期中 ） 如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A． B． C． D． 网版权所有 解：从正面看，左边是一个长方形，右边是一个正方形，选项A符合题意． 故选：A． 变式练习1（2025秋·成都期中） 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体． （1）请在网格中画出图示几何体的三视图； （2）已知每个小正方体的棱长均为1cm，则该几何体的表面积为多少？ 解：如图所示： （变式练习2（2025·四川月考） 如图是某个几何体的从上面和左面看到的形状．则该几何体是　圆柱　 ． 解：从上面看为一个圆，左面看是一个矩形，该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱． 考点三：由三视图还原几何体及相关计算 核心考向：根据三视图确定几何体的形状（如柱体、锥体、组合体），计算几何体的棱长、表面积、体积。 典例1（2025秋·渠县校级期中） 由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示． （1）请画出它从三个方向看到的形状图． （2）请计算几何体的表面积． 解：（1）利用三视图观察的角度不同分别得出答案，如图， （2）从上面看，有5个面，从下面看，有5个面， 从正面看，有5个面，从后面看有5个面， 从左面看，有3个面，从右面看，有3个面， 中间空处的两边两个正方形有2个面， 所以表面积为（5+5+3）×2+2＝26+2＝28． 变式练习1（2025·历下区期中） 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为　4　 cm3． 解：由三视图可知，底面正方形的边长为2（cm），它的高为1cm， 所以这个长方体的体积为：22×1＝4（cm3）． 故答案为：4． 变式练习2（2025·新泰市校级月考） 如图是一个几何体的从三个方向看到的形状图． （1）写出这个几何体的名称：　圆柱　 ； （2）根据图中数据（单位：cm），求它的表面积和体积．（结果保留π） 解：（1）由三视图可得： 该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）由该圆柱底面直径为2cm，高为3cm， ∴体积为（2÷2）2×π×3＝3πcm3， 表面积为2×（2÷2）2×π+2π×3＝8πcm2． 考点四：投影与视图的综合实际应用 核心考向：结合投影和视图的知识，解决实际问题（如零件加工、建筑测量、物体设计），实现 “立体图形→视图→投影→实际尺寸” 的转化。 典例1（2025·惠州一模） 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充如表： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 　4　 　368　 图2 　32　 6 2 　536　 图3 16 　12　 2 　496　 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是 　图1　 所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 　236　 （cm2）． 【实践应用】 （3）元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计） 解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积＝2（16×6+16×4+4×6）＝368． 图2中，长为32，表面积2（32×6+32×2+6×2）＝536． 图3中，宽为12，表面积2（16×12+16×2+12×2）＝496． 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 故答案为：4，368，32，536，12，496，图1； （2）最小面积＝2×（5×6+5×8+6×8）＝236； （3）根据三视图可知有4个长方体礼盒． 每个长方体礼盒的长宽高分别为75cm，35cm，15cm． 这要使包装的纸最少，应该把每个长方体最大的面重合在一起，即把75×35的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为15×4＝60（厘米）， 依题意，（75×35+75×60+60×35）×2＝18450． 答：最少需要18450平方厘米包装纸． 变式练习1（2025·渠县校级月考） 如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． （1）这个几何体的名称是　三棱柱　 ； （2）根据图中数据求这个几何体的棱长和与表面积． 解：（1）∵这个几何体从正面、左面看到的形状图是长方形， ∴这个几何体是柱体． ∵这个几何体从上面看到的形状图是三角形， ∴这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）这个几何体的棱长和为9×3+2×（3+4+5）＝27+2×12＝27+24＝51（cm）， 表面积为（cm2）． 变式练习2（2024·威海期末） 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，求该工件的体积． 解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， ∴体积为：． 答：该工件的体积是17πcm3． 四、题型汇总 题型1 投影类型判断 题型解读：本题型核心考查平行投影与中心投影的区分，以及正投影的特殊性。解题关键是抓住两种投影的本质差异：平行投影的光源是平行光线（如太阳光、月光），特征是同一时刻不同物体影长与高度成正比；中心投影的光源是点光源（如路灯、台灯），特征是物体上各点的影子连线必过光源。常以选择题形式出现，需结合生活场景判断投影类型，偶尔涉及投影性质的正误辨析。。 典例1（2024·河南郑州·期末） 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A．中午在烈日下行走，你的影子 B．上午在阳光下，操场旗杆的影子 C．夜晚在城市广场，照射灯下你的影子 D．阳光下，窗户的边框在室内的影子 解：A、中午的烈日，太阳光可视为平行光，是平行投影，不符合题意； B、上午的阳光，太阳光可视为平行光，是平行投影，不符合题意； C、夜晚的照射灯是点光源，形成的是中心投影，符合题意； D、阳光是平行光，形成的是平行投影，不符合题意。 故选：C。 变式 1（2024・潍坊中考） 下列现象中，属于中心投影的是（ ） A. 太阳光下旗杆的影子 B. 月光下大树的影子 C. 路灯下行人的影子 D. 阳光下广告牌的影子 解：平行投影的光源为平行光线（太阳光、月光均属于此类），中心投影的光源为点光源（路灯为典型点光源）。 选项 A、B、D 的光源是平行光线，属于平行投影；选项 C 的光源是路灯（点光源），属于中心投影。 答案：C 变式 2（2025・成都金牛区期末） 关于投影，下列说法错误的是（ ） A. 平行投影中，同一物体在不同时刻的影长可能不同B. 中心投影中，物体上各点的影子连线必过光源C. 正投影是平行投影的一种特殊情况D. 皮影戏利用的是平行投影的原理 解：选项 A：平行投影中，太阳位置随时间变化（如上午到下午），物体影长会逐渐变短再变长，可能不同，正确； 选项 B：中心投影的定义明确 “物体上各点与影子对应点的连线都经过点光源”，正确； 选项 C：正投影是 “投影光线垂直于投影面” 的平行投影，属于平行投影的特殊情况，正确； 选项 D：皮影戏的光源是幕布后方的点光源（如灯泡），利用的是中心投影原理，而非平行投影，错误。 答案：D 题型 2 投影的性质与应用 题型解读：本题型聚焦平行投影的核心性质 —— 同一时刻物体高度与影长成正比，常结合实际场景（如测建筑物高度、斜坡上的影子）考查计算。解题关键是：1. 明确 “高度 / 影长 = 定值” 的比例关系；2. 遇到斜坡影子时，需通过作垂线将斜坡影长转化为水平影长，再代入比例计算；3. 注意单位统一，避免计算误差。题型以解答题为主，偶尔涉及填空题。 典例（2024·金平区二模） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC． （1）此光源下形成的投影属于 　中心投影　 .（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP． 解：（1）∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）∵AB⊥CP，PO⊥PC， ∴OP∥AB， ∴△ABC∽△OPC， ∴ABOP=BCPC， 即：2OP=33+4.5， 解得：OP＝5（m）， ∴路灯的高度为5米． 变式 1（2024・山东期中） 下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A． B． C． D． 详解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、影子的方向不相同，故本选项错误； D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误． 故选：A． 变式 2（2024秋・成都期末） 数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 请你根据以下两种方案，选择其中一种方案，求出旗杆的高度． 方案一：如图1，小明在地面直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的目高CD＝1.6m． 方案二：如图2，小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD＝21米，留在墙上的影高CD＝2米． 详解：方案一：如图1所示： 由已知得：CD∥EF∥AB， ∴△ECG∽△ACH， ∴，即， 解得：AH＝14.4米， ∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（米）； 答：旗杆的高度是16米； 方案二：如图所示，延长AC，BD相交于点E， 则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米， 由已知CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即， 解得：AB＝16． 答：旗杆的高度是16米． 题型 3 判断几何体的三视图 题型解读：本题型考查从不同方向（正面、上面、左面）观察几何体的视图绘制与识别，核心是空间想象能力。解题关键是：1. 明确常见几何体（柱体、锥体、球体、组合体）的三视图特征（如圆柱主视图为长方形，圆锥主视图为三角形）；2. 组合体需拆分各组件，分别判断其视图后叠加；3. 注意 “可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线”（虽真题中多考查可见轮廓，但需了解规则）。题型以选择题为主，偶尔涉及填空题。 典例（2024・青岛期中） 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆锥组成的，它的主视图是（ ） 详解：明确主视图的定义，主视图是从几何体的正面(主视方向)向背面投射所得到的平面图形，它反映几何体正面的形状与各部分的位置关系。 分析几何体各组成部分的主视图形状，该几何体由长方体和圆锥组成。长方体的主视图是矩形(长方体正面为矩形，从正面看呈现矩形);圆锥的主视图是等腰三角形(圆锥的主视图是等腰三角形其底面直径对应等腰三角形的底边，圆锥的高对应等腰三角形的高) 匹配选项确定答案，观察各选项:选项A中下方图形非矩形，不符合长方体主视图特征;选项B中下方图形非矩形，不符合长方体主视图特征;选项C中下方为矩形(对应长方体主视图)，上方为等腰三角形(对应圆锥主视图)符合要求，选项D呈现的是从上方观察的图形(俯视图)，并非主视图。因此正确选项为C。 故选C。 变式 1（2025春・槐荫区期末） 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（　　） A． B． C． D． 详解：几何体的主视图为： 故选：A． 变式 2（2024・陕西期末） 按要求完成下列视图问题： （1）请画出甲图从上面看到的形状图； （2）如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； （3）如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中　②　 （填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看 ②从左面看 ③从上面看 详解：（1）如图所示． （2）如图所示． （3）由丙图可知，将正方体①移走后，从左面看得到的图形没有发生改变． 故答案为：②． 题型 4 由三视图确定几何体 题型解读：本题型是 “判断三视图” 的逆向考查，核心是根据三视图的形状反推几何体的类型，需掌握 “视图→几何体” 的对应规律。解题关键是：1. 先通过主视图和左视图判断几何体的 “类型”（如三角形对应锥体，长方形对应柱体，圆形对应球体 / 圆柱 / 圆锥）；2. 再通过俯视图确定几何体的 “底面形状”（如正方形对应正四棱柱，正六边形对应正六棱柱，圆形对应圆柱 / 圆锥）；3. 组合体需拆分三视图的上下 / 左右部分，分别对应不同组件（如 “上三角形下长方形” 对应 “锥体 + 柱体”）。题型以选择题为主。 典例（2025・浙江模拟） 如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（　　） A． B． C． D． 详解：由俯视图可得主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4， 即主视图为：， ∴选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 变式 1（2024秋・简阳市期末） 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由a个小立方块组成，最少由b个小立方块组成，则a+b＝ 　22　 ． 详解：由题意可知： 故a＝1+3+3+2+2+2＝13，b＝1+1+1+1+2+3＝9， ∴a+b＝13+9＝22． 故答案为：22． 变式 2（2024秋・静海区校级期末） 从三个不同方向看分别是下列三个图形的物体是（　　） A． B． C． D． 详解：根据三视图特征，逐项分析判断如下： A、从上面看不满足条件，不符合题意； B、从正面看不满足条件，不符合题意； C、满足条件，符合题意； D、从正面看不满足题意，不符合题意， 故选：C． 题型 5 根据三视图计算几何量 题型解读：本题型是三视图的综合应用，核心是先由三视图还原几何体，再计算其表面积、体积或棱长，需结合柱体、锥体的面积 / 体积公式。解题关键是：1. 准确还原几何体（明确长、宽、高或底面半径、母线长等关键尺寸）；2. 组合体需注意 “重合部分面积的处理”（如叠加体需减去 2 倍重合面积，无盖几何体需少算一个底面）；3. 熟记公式（如长方体体积 = 长 × 宽 × 高，圆锥体积 = 1/3× 底面积 × 高）。题型以解答题为主，偶尔涉及填空题。 典例 如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm)，主视图和左视图是底边长为4，腰为2的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，求几何体的表面积． 解：由三视图可知原几何体是如图所示的正四棱锥，设PE是等腰三角形的高， 正四棱锥的底面边长AB=BC=AD=4，等腰三角形的腰PA=2， ∵PE是等腰三角形PAD的高， ∴AE=. 在Rt△PAE中，PE= 所以正四棱锥的表面积为四个侧面的面积加上底面积， S= = =32 变式 1（2024秋・南皮县校级期末） 如图，是某几何体的三视图． （1）直接写出该几何体名称； （2）若△EFG中，EF＝8cm，∠EFG＝45°．BC＝10cm，求左视图ABCD的面积． 详解：（1）该几何体名称：三棱柱； （2）如图，作EM⊥FG于M， ∴∠EMF＝∠EMG＝90° ∵∠EFG＝45°，EF＝8cm， ∴， ∴， ∴左视图ABCD的面积． 变式 2（2024・衡山县期末） 用小立方体搭一个几何体，使它从左面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中的小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题： （1）b，d，e各等于几？ （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？（写出计算过程） （3）当a＝1，c＝f＝3时，在方格纸中用阴影画出这个几何体从正面看到的形状图． 详解：（1）由题意可知，从左面看的图形中，中间一列只有1个正方形，所以b＝d＝1， 从左面看的图形中，最右侧一列有2个正方形，且从上面看的图形中，最右侧一列只有1个正方形，所以e＝2； （2）从左面看的图形中，左边一列有3个正方形，且从上面看的图形中，上间一列有3个正方形， 所以当a，c，f中有一个为3，另外两个为1时，正方形个数最少，最少为1+1+2+1+1+3＝9（个）； 当c＝d＝e＝3时，正方形个数最多，最多为1+1+2+3+3+3＝13（个）； （3）当a＝1，c＝f＝3时，从正面看为： 题型 6 视图与投影的实际应用 题型解读：本题型将视图与投影知识结合生活实际（如零件加工、模型制作、物体测量），考查数学建模能力。解题关键是：1. 从实际问题中提取 “几何体” 或 “投影” 信息（如零件的三视图、路灯的中心投影）；2. 转化为数学问题（如无盖零件的表面积计算、影子长度的比例计算）；3. 结合视图规律或投影性质求解，注意实际场景的限制（如 “无盖” 需少算一个面，“斜坡影子” 需转化水平影长）。题型以解答题为主，难度中等。 典例（2024・西安期中） 如图是某机器零件从三视图图． （1）这个几何体的名称是 　三棱柱　 ； （2）若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，则这个几何体的表面积是多少． 详解：（1）这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱． （2）这个几何体的所有棱长的和＝9×3+2×（3+4+5）＝51（cm）． 表面积． 变式 1（2024秋・山丹县期末） 如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离． 详解：（1）如图，延长MA、NB，它们的交点为O点，再连接OC、OD，并延长交地面于P、Q点，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作； （2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB＝1.2m，EF＝1.2m，MN＝2m， ∵AB∥MN， ∴△OAB∽△OMN， ∴AB：MN＝OE：OF，即1.2：2＝（OF﹣1.2）：OF，解得OF＝3（m）． 答：路灯O与地面的距离为3m． 变式 2（2024秋・霍州期中） 如图，为测量河宽OQ，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿OQ所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为100m．你能帮忙算出河宽OQ吗？请说明理由． 详解：在△ABO和△POQ中， ， ∴△ABO≌△POQ（ASA）， ∴BO＝OQ， ∵B处与O处之间的距离为100m， ∴河宽OQ＝100m． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $