第四章《图形的相似》知识点、考点及题型复习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章《图形的相似》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 5、 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第四章《图形的相似》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体可从两个方面总结核心价值： 1.课本内容结构化梳理以 “相似图形的本质” 为起点，按 “直观认知（相似图形定义）→核心性质（相似多边形 / 三角形性质）→判定方法（相似三角形 AA/SAS/SSS 判定）→实际应用（测量问题）→特殊形式（位似图形）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 2.核心知识点精准提炼聚焦 “基础概念（相似比、位似中心、黄金分割）、关键性质（相似图形周长 / 面积比、对应高 / 中线 / 角平分线比）、判定定理（三角形 / 多边形 / 位似图形判定）” 三大模块，通过表格对比（如相似多边形与三角形性质差异）、重点标注（如 “夹角是 SAS 判定的关键”），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定理论基础。 一、回归课本 本章以“图形的形状关系”为核心，从生活中常见的相似图形入手，逐步构建相似图形的理论体系，具体内容分为五个模块： 1.相似图形的认识：通过实例感知相似图形的本质（形状相同、大小不一定相同），明确相似图形的概念，区分相似与全等的关系，建立“形状不变”的直观认知。 2.相似多边形的性质与判定：探究相似多边形的本质特征，得出“对应角相等、对应边成比例”的性质；反之，满足这两个条件的多边形是相似多边形，同时引入“相似比”的概念，量化相似图形的大小关系。 3.相似三角形的判定：作为本章重点，通过实验探究与逻辑证明，得出相似三角形的判定定理——AA（两角分别相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例），并学习利用判定定理解决图形相似的证明问题。 4.相似三角形的性质应用：在判定基础上，推导相似三角形的特殊性质，如对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；结合实际问题，学习利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题。 5.位似图形：作为相似图形的特殊形式，明确位似图形的定义（对应顶点连线交于一点、对应边平行或共线）、位似中心与位似比的概念，掌握位似图形的画法，以及位似与相似的关系（位似图形一定相似，相似图形不一定位似）。 二、知识点梳理 （一）核心概念 1.相似图形：形状相同的图形（大小可同可不同，全等是相似比为1的特殊情况）。 2.相似比：相似图形对应边的比值（注意顺序，如△ABC∽△DEF，相似比k=AB/DE，反之则为1/k）。 3.位似图形：具有特殊位置关系的相似图形，对应顶点的连线交于位似中心，对应边平行或共线。 4.黄金分割：点C将线段AB分为AC、BC（AC>BC），若，则点C是AB的黄金分割点。 （二）关键性质 1.相似多边形：对应角相等，对应边成比例；周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2.相似三角形：除满足相似多边形性质外，对应高、中线、角平分线的比=相似比；斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似（直角三角形特有的相似性质）。 3.位似图形：位似比=相似比，对应点到位似中心的距离比=位似比；在平面直角坐标系中，位似图形的坐标变化遵循“横纵坐标同乘位似比k（k正同向，k负反向）”。 （三）判定定理 1.相似三角形判定：①AA：两角分别相等；②SAS：两边成比例且夹角相等；③SSS：三边成比例；④HL（直角三角形）：斜边与一条直角边成比例。 2.相似多边形判定：对应角相等且对应边成比例（需逐一验证，不如三角形简便）。 3.位似图形判定：①是相似图形；②对应顶点连线交于一点；③对应边平行或共线。 （四）实际应用 利用相似三角形的“形状不变”特性，解决无法直接测量的问题，如：①标杆法测建筑物高度；②影子法测物体长度；③镜面反射法测距离。 三、考点考题汇编 考点一：相似三角形的判定与性质综合应用 核心考向：结合平行四边形、矩形等特殊图形，利用“平行线+角平分线”“垂直关系”推导相似，再用相似性质求线段比或长度。 典例1（2024·遂宁中考） 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，求的值。 变式练习1（2024·牡丹江期末） 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F。若DF＝6，求线段EF的长。 变式练习2（2024秋·乌拉特前旗校级期末） 如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM＝x． （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值． 版权所有 考点二：位似图形的性质与应用 核心考向：以网格或坐标系为背景，考查位似中心判断、位似比与相似比的关系、位似图形的坐标变化规律。 典例1（2024秋·惠安县期末） 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1） 变式练习1（2024·西安雁塔区期中） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝1：2，下列结论正确的有（　　） ①△ABC与△DEF的相似比为； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习2（2025·双流区校级月考） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，3），C（4，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标； （3）点P为y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标． 考点三：相似三角形的实际应用（测量问题） 核心考向：以标杆、影子、镜面反射为背景，构建相似三角形模型，解决高度、距离等无法直接测量的问题。 典例1（2025秋·大连期中） 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，垂足为B，交AD于E，DC⊥AC，垂足为C，BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝9m． （1）求旗杆CD的高度； （2）小明在BC上取点F，连接DF，EF，使得∠DFE＝90°，且BF＞CF，求BF的长（结果精确到0.1m，参考数据：2.24）． 变式练习1（2025·越秀区校级三模） 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为　3cm ． 有 变式练习2 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为22米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，垂足为O，EF⊥FG，垂足为F．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 考点四：黄金分割及其应用 核心考向：结合等腰三角形、线段分割问题，考查黄金分割的定义与比例关系，计算黄金分割点对应的线段长度。 典例1 古希腊数学家欧多克索斯提出的“黄金分割”：点G将线段MN分为MG、GN（MG>GN），若≈0.618。如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D、E在BC上，且都是线段BC的黄金分割点，求△ABD的面积。 变式练习1 若点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），AB＝10，求AC-BC。 变式练习2（2024·广州越秀区期中） 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，若AC＝2，求AD的长。 四、题型汇总 题型 1：比例线段与比例性质 题型解读：考查比例基本性质、合比性质、等比性质，多结合线段分点计算。 典例（2025秋・成都期中） （1）若xyz≠0，且2x＝3y＝5z，求的值． （2）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 变式 1（2025・九台区校级月考） 下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm、2cm、3cm、4cm B．1cm、、、4cm C．、1cm D．2cm、3cm、4cm、5cm 变式 2（2024・杭州西湖区期末） 已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 版权所有 题型 2：平行线分线段成比例 题型解读：考查 “平行线分线段成比例定理”（一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例）及推论（平行于三角形一边的直线截另两边，所得线段成比例）。 典例（2024・成都月考） 如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5． （1）填空：的值为 　　 ，的值为 　　 ； （2）若DF＝12，求DE和EF的长． 变式 1（2024・武汉期末） 白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　 　 ． 变式 2（2024・南京期中） 如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 题型 3：相似多边形的性质 题型解读：考查相似多边形 “对应角相等、对应边成比例”，及周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，多结合正多边形、矩形等特殊图形。 典例（2024・青岛期中） 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应． （1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数； （2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长． 变式 1（2025・达州模拟） 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 变式 2（2024・驿城区期中） 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 题型 4：相似三角形的判定 题型解读：通过 “两角分别相等” 判定三角形相似，常结合平行线、角平分线、直角、三角形外角等条件找等角；通过 “两边成比例且夹角相等” 判定相似，关键是找准 “夹角”（非夹角不满足判定）；通过 “三边成比例” 判定相似，需计算三组对应边的比值，确认是否相； 典例（2024・太和县期末） 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE． 版权所有 变式 1（2024秋・闵行区期中） 如图，已知点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BM＝2，CM＝4，．那么可以判断△ABM与△MCN　　 （选填“相似”或“不相似”）． 变式 2（2024秋・南京期末） 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE∽△ACD． 题型 5：相似三角形的性质应用 题型解读：利用相似三角形 “对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比 ²” 计算线段长、周长或面积。 典例（2024・天水期中） 如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积． 变式 1（2025・青岛期末） 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则　　 ． 变式 2（2024・郑州期中） △ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△ABC的面积． 题型 6 ：相似三角形中的对应高、中线、角平分线 题型解读：利用 “相似三角形对应高 / 中线 / 角平分线的比 = 相似比” 计算线段长度。 典例（2024・西安雁塔区期中） △ABC∽△DEF，相似比为 3:5，若△ABC 中 BC 边上的高为 6，求△DEF 中 EF 边上的高。分析：对应高的比 = 相似比，注意对应边（BC 对应 EF）。 变式 1（2024・南京鼓楼区期末） △ABC∽△A'B'C'，相似比为 1:2，若△A'B'C' 中 A'B' 边上的中线为 8，求△ABC 中 AB 边上的中线。 变式 2 △ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝20cm，△ABC的周长为60cm，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； 题型7 相似三角形的实际应用 典例（2025・河南中考） 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． 变式 1（2025・甘肃中考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　　 cm． 变式2（2024・自贡中考） 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1） 如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度 为 　　 m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 版权所有 题型 8：位似的概念与性质 题型解读：考查位似图形的定义（对应顶点连线交于位似中心、对应边平行 / 共线）、位似比与相似比的关系、对应点到位似中心的距离比 = 位似比。 典例 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 变式 1（2024・四川期末） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点C在AO的延长线上，△AOB与△COD关于点O位似．若AC＝3AO，点B的坐标为（2，6），则D点的坐标为　 　 ． 变式 2（2024・宁夏期末） 如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝10，BC＝5，点C（m，3）． （1）分别求点A、B的坐标及m的值； （2）在第一象限中，画出以原点O为位似中心，将△ABC缩小后所得的△DEF，使△DEF与△ABC的对应边之比1：2． 题型 9：位似图形的作图 题型解读：按给定位似中心、位似比，作出原图形的位似图形（分同向、反向两种情况），步骤：①连位似中心与各顶点；②按位似比截取对应点；③顺次连接对应点。 典例（2025秋・历下区期中） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1； （2）在（1）的条件下，若M（a，b）是线段AB上一点，则点M的对应点M1的坐标为　 　 ． 变式 1（2025・綦江区一模） 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．45 变式 2（2025・安徽模拟） 如图，在平面直角坐标系中，△OAB位置如图所示． （1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 题型 10：相似与动点问题 题型解读：动点在图形（如三角形、四边形）边上运动，探究某一时刻两三角形相似的情况，需分情况讨论（对应角不同导致相似比不同）。 典例（2024・重庆期末） 如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示：BP＝ t cm，BQ＝ 　　 cm； （2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值． 变式 1（2023・武汉期末） 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 　 　 秒钟，△PBQ与△ABC相似． 变式 2（2024・成都期末） 如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 题型 11：相似与四边形的综合 题型解读：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质，构建相似三角形，解决线段计算或证明问题。 典例（2024・浙江期末） 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O、M为AD上一点，且DM＝2MA，连接CM交BD于点N，且ON＝1． （1）求BD的长； （2）若△DMN的面积为4，求四边形ABNM的面积． 变式 1（2023・云南模拟） 如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　） （1）△PAM∽△PBC （2）PM⊥PC； （3）∠MPB＝∠MCB； （4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6 （5）AN＝AM A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式 2（2024・陕西模拟） 综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形ABCD，点E，F，G，H分别在边AB，BC、CD，DA上，若EG⊥FH，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF，交BC于点M，过点B作BN∥EG，交CD于点N； 方案二：过点H作HM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N． （1）请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设AB＝3，BC＝5，求的值． 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第四章《图形的相似》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体可从两个方面总结核心价值： 1.课本内容结构化梳理以 “相似图形的本质” 为起点，按 “直观认知（相似图形定义）→核心性质（相似多边形 / 三角形性质）→判定方法（相似三角形 AA/SAS/SSS 判定）→实际应用（测量问题）→特殊形式（位似图形）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 2.核心知识点精准提炼聚焦 “基础概念（相似比、位似中心、黄金分割）、关键性质（相似图形周长 / 面积比、对应高 / 中线 / 角平分线比）、判定定理（三角形 / 多边形 / 位似图形判定）” 三大模块，通过表格对比（如相似多边形与三角形性质差异）、重点标注（如 “夹角是 SAS 判定的关键”），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定理论基础。 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《图形的相似》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 5、 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第四章《图形的相似》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体可从两个方面总结核心价值： 1.课本内容结构化梳理以 “相似图形的本质” 为起点，按 “直观认知（相似图形定义）→核心性质（相似多边形 / 三角形性质）→判定方法（相似三角形 AA/SAS/SSS 判定）→实际应用（测量问题）→特殊形式（位似图形）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 2.核心知识点精准提炼聚焦 “基础概念（相似比、位似中心、黄金分割）、关键性质（相似图形周长 / 面积比、对应高 / 中线 / 角平分线比）、判定定理（三角形 / 多边形 / 位似图形判定）” 三大模块，通过表格对比（如相似多边形与三角形性质差异）、重点标注（如 “夹角是 SAS 判定的关键”），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定理论基础。 一、回归课本 本章以“图形的形状关系”为核心，从生活中常见的相似图形入手，逐步构建相似图形的理论体系，具体内容分为五个模块： 1.相似图形的认识：通过实例感知相似图形的本质（形状相同、大小不一定相同），明确相似图形的概念，区分相似与全等的关系，建立“形状不变”的直观认知。 2.相似多边形的性质与判定：探究相似多边形的本质特征，得出“对应角相等、对应边成比例”的性质；反之，满足这两个条件的多边形是相似多边形，同时引入“相似比”的概念，量化相似图形的大小关系。 3.相似三角形的判定：作为本章重点，通过实验探究与逻辑证明，得出相似三角形的判定定理——AA（两角分别相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例），并学习利用判定定理解决图形相似的证明问题。 4.相似三角形的性质应用：在判定基础上，推导相似三角形的特殊性质，如对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；结合实际问题，学习利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题。 5.位似图形：作为相似图形的特殊形式，明确位似图形的定义（对应顶点连线交于一点、对应边平行或共线）、位似中心与位似比的概念，掌握位似图形的画法，以及位似与相似的关系（位似图形一定相似，相似图形不一定位似）。 二、知识点梳理 （一）核心概念 1.相似图形：形状相同的图形（大小可同可不同，全等是相似比为1的特殊情况）。 2.相似比：相似图形对应边的比值（注意顺序，如△ABC∽△DEF，相似比k=AB/DE，反之则为1/k）。 3.位似图形：具有特殊位置关系的相似图形，对应顶点的连线交于位似中心，对应边平行或共线。 4.黄金分割：点C将线段AB分为AC、BC（AC>BC），若，则点C是AB的黄金分割点。 （二）关键性质 1.相似多边形：对应角相等，对应边成比例；周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2.相似三角形：除满足相似多边形性质外，对应高、中线、角平分线的比=相似比；斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似（直角三角形特有的相似性质）。 3.位似图形：位似比=相似比，对应点到位似中心的距离比=位似比；在平面直角坐标系中，位似图形的坐标变化遵循“横纵坐标同乘位似比k（k正同向，k负反向）”。 （三）判定定理 1.相似三角形判定：①AA：两角分别相等；②SAS：两边成比例且夹角相等；③SSS：三边成比例；④HL（直角三角形）：斜边与一条直角边成比例。 2.相似多边形判定：对应角相等且对应边成比例（需逐一验证，不如三角形简便）。 3.位似图形判定：①是相似图形；②对应顶点连线交于一点；③对应边平行或共线。 （四）实际应用 利用相似三角形的“形状不变”特性，解决无法直接测量的问题，如：①标杆法测建筑物高度；②影子法测物体长度；③镜面反射法测距离。 三、考点考题汇编 考点一：相似三角形的判定与性质综合应用 核心考向：结合平行四边形、矩形等特殊图形，利用“平行线+角平分线”“垂直关系”推导相似，再用相似性质求线段比或长度。 典例1（2024·遂宁中考） 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，求的值。 分析：先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得出等腰三角形（AB=AF），再通过“AB∥DG”推导△ABE∽△CGE，最后用相似比求线段比。 解：设DF＝k（k>0），由AF＝2FD得AF＝2k，因此AD＝AF+FD＝3k。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边平行且相等）。 由AD∥BC得∠AFB＝∠FBC；由BE平分∠ABC得∠ABF＝∠FBC，因此∠ABF＝∠AFB（等量代换）。 ∴△ABF是等腰三角形，AB＝AF＝2k（等角对等边）， 故CD＝AB＝2k。 由AB∥CD得∠ABF＝∠G；又∵∠AFB＝∠DFG（对顶角相等）， 且∠ABF＝∠AFB，∴∠DFG＝∠G（等量代换）。 ∴△DFG是等腰三角形，DG＝DF＝k（等角对等边）， 因此CG＝CD+DG＝2k+k＝3k。 ∵AB∥DG，∴∠BAE＝∠GCE，∠ABE＝∠G（两直线平行，内错角相等），故△ABE∽△CGE（AA判定）。 ∴BE/EG＝AB/CG（相似三角形对应边成比例），代入AB＝2k、CG＝3k得BE/EG＝＝。 答案： 变式练习1（2024·牡丹江期末） 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F。若DF＝6，求线段EF的长。 分析：利用矩形对边平行且相等的性质，推导∠DAF＝∠AEB，结合直角条件证明△AFD∽△EBA，再用相似比求AE和AF的长度，最后用EF＝AF-AE计算。 解析： 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝3，AD∥BC（矩形性质）。 由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB（两直线平行，内错角相等）。 ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°， 又∵∠ABE＝90°（矩形的角为直角）， ∴∠AFD＝∠ABE。 ∴△AFD∽△EBA（AA判定：两角分别相等）。 由相似三角形性质得：AD/AE＝DF/AB＝AF/BE。 代入AD＝10、DF＝6、AB＝3，得10/AE＝6/3，解得AE＝5。 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝8。 ∵点F在AE的延长线上（结合图形位置）， ∴EF＝AF-AE＝8-5＝3。 答案：3 变式练习2（2024秋·乌拉特前旗校级期末） 如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM＝x． （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值． 版权所有 （1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°， ∵AM⊥MN， ∴∠AMN＝90°． ∴∠CMN+∠AMB＝90°． 在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB＝90°， ∴∠CMN＝∠MAB． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN． （2）解：∵∠B＝∠AMN＝90°， ∴要使Rt△ABM∽△Rt△AMN，必须有：， 由（1）知：， ∴BM＝MC， ∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x＝2． 考点二：位似图形的性质与应用 核心考向：以网格或坐标系为背景，考查位似中心判断、位似比与相似比的关系、位似图形的坐标变化规律。 典例1（2024秋·惠安县期末） 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1） 解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 变式练习1（2024·西安雁塔区期中） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝1：2，下列结论正确的有（　　） ①△ABC与△DEF的相似比为； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵OA：AD＝1：2， ∴OA：OD＝1：3， ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O， ∴△ABC∽△DEF， ∴①△ABC与△DEF的相似比为； ②； ③； ④． 故①③正确， 故选：B． 变式练习2（2025·双流区校级月考） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，3），C（4，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标； （3）点P为y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（﹣2，﹣6）； （3）连接AB1交y轴于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小． 设直线AB1使得解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴P（0，）． 考点三：相似三角形的实际应用（测量问题） 核心考向：以标杆、影子、镜面反射为背景，构建相似三角形模型，解决高度、距离等无法直接测量的问题。 典例1（2025秋·大连期中） 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，垂足为B，交AD于E，DC⊥AC，垂足为C，BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝9m． （1）求旗杆CD的高度； （2）小明在BC上取点F，连接DF，EF，使得∠DFE＝90°，且BF＞CF，求BF的长（结果精确到0.1m，参考数据：2.24）． 解：（1）∵BE⊥AC，DC⊥AC， ∴∠ABE＝∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∴， 解得：CD＝6， ∴旗杆CD的高度为6米； （2）∵∠DFE＝90°， ∴∠EFB+∠DFC＝180°﹣∠DFE＝90°； ∵BE⊥AC，DC⊥AC， ∴∠FBE＝∠ACD＝90°， ∴∠EFB+∠FEB＝90°， ∴∠BEF＝∠DFC， ∴△EBF∽△FCD， ∴， ∴， 解得：BF7.86或BF1.14（不符合题意，舍去）， ∴BF的长约为7.9米． 变式练习1（2025·越秀区校级三模） 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为　3cm ． 有 解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD， 由题意得：AB∥CD， ∴∠OAB＝∠ODC，∠ABO＝∠OCD， ∴△ABO∽△DCO， ∴， ∴， 解得：FO＝3， ∴像CD到小孔O的距离为3cm， 故答案为：3cm． 变式练习2 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为22米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，垂足为O，EF⊥FG，垂足为F．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 解：∵AD∥EG， ∴∠ADO＝∠EGF， ∵∠AOD＝∠EFG＝90°， ∴△AOD∽△EFG， ∴， ∵EF＝1.8米，FG＝2.4米，OD＝22米， ∴， ∴AO米， 同理得△BOC∽△AOD， ∴， 即， ∴BO＝12米， ∴AB＝AO﹣BO12（米）， ∴旗杆的高AB是米． 考点四：黄金分割及其应用 核心考向：结合等腰三角形、线段分割问题，考查黄金分割的定义与比例关系，计算黄金分割点对应的线段长度。 典例1 古希腊数学家欧多克索斯提出的“黄金分割”：点G将线段MN分为MG、GN（MG>GN），若≈0.618。如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D、E在BC上，且都是线段BC的黄金分割点，求△ABD的面积。 分析：先根据黄金分割比求出BD的长度，再作等腰三角形的高，利用勾股定理求高，最后计算面积。 解：过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝5，BC=8， ∴BH＝BC＝4。 在Rt△ABH中，AH＝＝3。 由黄金分割定义，，BC＝8，∴CD＝8×＝4-4。 ∴BD＝BC-CD＝8-(-4)＝12-。 ∴S△ABD＝＝＝18-6。 变式练习1 若点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），AB＝10，求AC-BC。 分析：直接利用黄金分割的定义，，结合AB的长度计算AC，再用BC＝AB-AC求BC，即可求解。 解：∵点C是AB的黄金分割点，AC>BC， ∴。 已知AB＝10，∴AC＝10×＝＝5 - 5。 BC＝AB - AC＝10 - (5 - 5)＝15 - 5。 ∴AC-BC＝5 - 5-(15 - 5 )=10-15 答案：AC＝10 - 15. 变式练习2（2024·广州越秀区期中） 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，若AC＝2，求AD的长。 解：∵AB＝AC＝2，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°，故∠A＝∠ABD＝36°， ∴AD＝BD。 又∵∠BDC＝∠A + ∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠ACB＝72°， ∴BD＝BC。 因此AD＝BD＝BC，且点D是AC的黄金分割点（△ABD∽△ACB）， 故。 ∴AD＝2×＝- 1。 答案：- 1 四、题型汇总 题型 1：比例线段与比例性质 题型解读：考查比例基本性质、合比性质、等比性质，多结合线段分点计算。 典例（2025秋・成都期中） （1）若xyz≠0，且2x＝3y＝5z，求的值． （2）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 解：（1）设2x＝3y＝5z＝30k，则x＝15k，y＝10k，z＝6k， ∴； （2）若，且满足a+b+c＝66， 设，则a＝3k+1，b＝4k+2，c＝5k+3， ∵a+b+c＝66， ∴3k+1+4k+2+5k+3＝66， 解得k＝5， ∴a＝3×5+1＝16，b＝4×5+2＝22，c＝5×5+3＝28． 变式 1（2025・九台区校级月考） 下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm、2cm、3cm、4cm B．1cm、、、4cm C．、1cm D．2cm、3cm、4cm、5cm 解：A、1×4≠2×3，故本选项错误； B、21×4，故本选项正确； C、1，故本选项错误； D、2×5≠3×4，故本选项错误． 故选：B． 变式 2（2024・杭州西湖区期末） 已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 版权所有 解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 题型 2：平行线分线段成比例 题型解读：考查 “平行线分线段成比例定理”（一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例）及推论（平行于三角形一边的直线截另两边，所得线段成比例）。 典例（2024・成都月考） 如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5． （1）填空：的值为 　　 ，的值为 　　 ； （2）若DF＝12，求DE和EF的长． 解：（1）∵l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，根据平行线分线段成比例可得： ， ∴； 故答案为：；； （2）由条件可知， ∵， ∴． 变式 1（2024・武汉期末） 白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　　 ． 解：由条件可知，即， ∴， ∴AD， 故答案为：． 变式 2（2024・南京期中） 如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 题型 3：相似多边形的性质 题型解读：考查相似多边形 “对应角相等、对应边成比例”，及周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，多结合正多边形、矩形等特殊图形。 典例（2024・青岛期中） 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应． （1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数； （2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长． 解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴∠C＝∠C1＝90°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°． （2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴， ∴， ∴BC＝12，AD＝6， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42． 变式 1（2025・达州模拟） 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∴∠ACB＝60°， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG， ∵∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍弃）， ∴AB＝9， 故选：B． 变式 2（2024・驿城区期中） 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE，BPAB＝1， ∴AP， ∴EP， ∴EB， ∴GD． 题型 4：相似三角形的判定 题型解读：通过 “两角分别相等” 判定三角形相似，常结合平行线、角平分线、直角、三角形外角等条件找等角；通过 “两边成比例且夹角相等” 判定相似，关键是找准 “夹角”（非夹角不满足判定）；通过 “三边成比例” 判定相似，需计算三组对应边的比值，确认是否相； 典例（2024・太和县期末） 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE． 版权所有 证明：在等腰△ABC中，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ACD∽△BCE． 变式 1（2024秋・闵行区期中） 如图，已知点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BM＝2，CM＝4，．那么可以判断△ABM与△MCN　相似　 （选填“相似”或“不相似”）． 解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠C＝90°， ∵BM＝2，CM＝4， ∴AB＝BC＝BM+CM＝6， ∴， ∵CN， ∴， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCN， 故答案为：相似． 变式 2（2024秋・南京期末） 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE∽△ACD． 证明：（1）∵， ∴△ABC∽△AED， ∴∠CAB＝∠DAE， ∴∠CAB﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF， ∴∠1＝∠2； （2）∵， ∴， 又由（1）知，∠1＝∠2， ∴△ABE∽△ACD． 题型 5：相似三角形的性质应用 题型解读：利用相似三角形 “对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比 ²” 计算线段长、周长或面积。 典例（2024・天水期中） 如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积． 解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2， ∴， 又∵△ADE的面积是1， ∴S△ABC＝4S△ADE＝4， ∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3． 变式 1（2025・青岛期末） 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则　　 ． 解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴，， ∵△ADE∽△ABC， ∴，∠B＝∠ADE， ∴，即， ∵∠B＝∠ADE， ∴△ADM∽△ABN， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式 2（2024・郑州期中） △ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△ABC的面积． 解：∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面积是64cm2， ∴， ∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2， ∴△ABC的面积是16cm2． 题型 6 ：相似三角形中的对应高、中线、角平分线 题型解读：利用 “相似三角形对应高 / 中线 / 角平分线的比 = 相似比” 计算线段长度。 典例（2024・西安雁塔区期中） △ABC∽△DEF，相似比为 3:5，若△ABC 中 BC 边上的高为 6，求△DEF 中 EF 边上的高。分析：对应高的比 = 相似比，注意对应边（BC 对应 EF）。 解：设△DEF 中 EF 边上的高为 h， ∵△ABC∽△DEF，对应高的比 = 相似比 = 3：5。 ∴=， ∴3h=30， h=10。 答案：10 变式 1（2024・南京鼓楼区期末） △ABC∽△A'B'C'，相似比为 1:2，若△A'B'C' 中 A'B' 边上的中线为 8，求△ABC 中 AB 边上的中线。 解：设△ABC 中 AB 边上的中线为 m， ∵对应中线的比 = 相似比 =1：2， ∴=， m=4。 答案：4 变式 2 △ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝20cm，△ABC的周长为60cm，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； 解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝20cm， ∴， ∴C’D′＝20cm×＝25cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为25cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周长为60cm， ∴ ∴C△A′B′C′＝60cm×＝75cm， ∴△A′B′C′的周长为75cm； 题型7 相似三角形的实际应用 典例（2025・河南中考） 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． 解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE＝DF， ∴CD＝CA； （2）如图，令BN与DE的交点为H， 则四边形BCDH和MNHD是矩形， ∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m， ∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m， ∴EH＝DE﹣DH＝0.9m， 设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m， ∴BH＝CD＝（1.2+x）m， ∴NB＝BH+NH＝（2.2+x）， ∵EH∥AB， ∴△NEH∽△NAB， ∴， ∴， 解得：x＝19.8， 经检验，x＝19.8是原方程的解， 答：纪念碑AB的高度为19.8m． 变式 1（2025・甘肃中考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　195　 cm． 解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm， ∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm）， ∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1， ∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）， 故答案为：195． 变式2（2024・自贡中考） 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　 m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 版权所有 解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴，即， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米； （3）如图： ∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， ∴， 设AB＝xm，BD＝y m，则， ∴yx， 同理可得， ∴， ∴， 解得x＝28.8； 经检验，x＝28.8是原方程的解， 故AB≈29m， ∴雕塑高度AB约为29m． 题型 8：位似的概念与性质 题型解读：考查位似图形的定义（对应顶点连线交于位似中心、对应边平行 / 共线）、位似比与相似比的关系、对应点到位似中心的距离比 = 位似比。 典例 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴AD∥EH， ∴△OAD∽△OEH， ∴，即四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为， ∵四边形ABCD的周长为3， ∴四边形EFGH的周长为9， 故选：B． 变式 1（2024・四川期末） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点C在AO的延长线上，△AOB与△COD关于点O位似．若AC＝3AO，点B的坐标为（2，6），则D点的坐标为　（﹣4，﹣12）　 ． 解：∵AC＝3AO， ∴OA：OC＝1：2， ∴△AOB与△COD的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（2，6）， ∴点D的横坐标为2×（﹣2）＝﹣4，纵坐标为6×（﹣2）＝﹣12， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣12）． 故答案为：（﹣4，﹣12）． 变式 2（2024・宁夏期末） 如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝10，BC＝5，点C（m，3）． （1）分别求点A、B的坐标及m的值； （2）在第一象限中，画出以原点O为位似中心，将△ABC缩小后所得的△DEF，使△DEF与△ABC的对应边之比1：2． 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBM＝90°， ∵∠CBM+∠BCM＝90°， ∴∠ABO＝∠BCM， ∵∠AOB＝∠CMB， ∴△AOB∽△BMC， ∴2， ∴2， 解得：BO＝6， 则AO8， ∴A（0，8），B（6，0）， 则BMAO＝4， 故m＝4+6＝10； （2）如图所示：△DEF即为所求． 题型 9：位似图形的作图 题型解读：按给定位似中心、位似比，作出原图形的位似图形（分同向、反向两种情况），步骤：①连位似中心与各顶点；②按位似比截取对应点；③顺次连接对应点。 典例（2025秋・历下区期中） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1； （2）在（1）的条件下，若M（a，b）是线段AB上一点，则点M的对应点M1的坐标为　（﹣2a，﹣2b）　 ． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由题意得，点M（a，b）的对应点M1的坐标为（﹣2a，﹣2b）． 故答案为：（﹣2a，﹣2b）． 变式 1（2025・綦江区一模） 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．45 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，OA：AE＝1：2， ∴OA：OE＝1：3，四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为1：3， ∴四边形ABCD的周长：四边形EFGH的周长＝1：3， ∵四边形ABCD的周长为5， ∴四边形EFGH的周长为3×5＝15， 故选：B． 变式 2（2025・安徽模拟） 如图，在平面直角坐标系中，△OAB位置如图所示． （1）画出△OAB向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求作的三角形； （2）如图所示，△OA2B2即为所求作的三角形； （3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）． 题型 10：相似与动点问题 题型解读：动点在图形（如三角形、四边形）边上运动，探究某一时刻两三角形相似的情况，需分情况讨论（对应角不同导致相似比不同）。 典例（2024・重庆期末） 如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示：BP＝ t cm，BQ＝ 　（5﹣t）　 cm； （2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值． 解：（1）由题意得，AB＝CD＝3cm，DE＝1cm，BC＝AD＝5cm，AE＝4cm，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBQ， 由勾股定理得，BE5（cm）， ∵BP＝tcm，QC＝tcm， ∴PE＝（5﹣t）cm，BQ＝（5﹣t）cm． 故答案为：t，（5﹣t）； （2）当∠BPQ＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EAB， ∴，即，解得t， 当∠PQB＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EBA， ∴，即，解得t， 综上所述，当t或t时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似． 变式 1（2023・武汉期末） 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 　2或5　 秒钟，△PBQ与△ABC相似． 解：设P、Q运动时间为t秒， 根据题意，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（10﹣t）cm， 当△PBQ∽△ABC时，则， 即， 解得：t＝5； 当△QBP∽△ABC时，则， 即， 解得：t＝2， 综上，当经过2或5秒钟，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：2或5． 变式 2（2024・成都期末） 如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 解：（1）根据题意，得AB＝8，AP＝x，BQ＝2x， ∴PB＝8﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴， ∴y＝﹣x2+8x（0≤x≤6）； （2）∵△PBQ和△BDC相似，∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∴△PBQ∽△BCD，△QBP∽△BCD， ∴或． ∵PB＝8﹣x，BQ＝2x，AB＝8，BC＝12，CD＝8， ∴或， 解得x＝2或， 当x＝2或时，△PBQ和△BDC相似． 题型 11：相似与四边形的综合 题型解读：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质，构建相似三角形，解决线段计算或证明问题。 典例（2024・浙江期末） 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O、M为AD上一点，且DM＝2MA，连接CM交BD于点N，且ON＝1． （1）求BD的长； （2）若△DMN的面积为4，求四边形ABNM的面积． （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AD＝BC OB＝OD ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ON＝1 ∴OD＝5 BD＝10； （2）MD∥BC ∴△DMN∽△BCN， ∵ ∴ ∵S△BNC＝9，， ∴S△DCN ∴S△BCD＝15 S△ABMN＝S△BCD﹣S△DMN＝15﹣4＝11 变式 1（2023・云南模拟） 如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　） （1）△PAM∽△PBC （2）PM⊥PC； （3）∠MPB＝∠MCB； （4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6 （5）AN＝AM A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：（1）∵AP⊥BN， ∴∠PAM+∠PBA＝90°， ∵∠PBA+∠PBC＝90°， ∴∠PAM＝∠PBC， ∵∠PMA＝∠PCB， ∴△PAM∽△PBC， 故（1）正确； （2）∵△PAM∽△PBC， ∴∠APM＝∠BPC， ∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC， 故（2）正确； （3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴∠MPB＝∠MCB， 故（3）正确； （4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点， ∵N为AD的中点，AB＝2 ∴AN＝DN，BC＝EF＝2， ∴BN， 易证△ANP∽△NBA，得， 即， ∴PN＝1， ∴PB＝5﹣1＝4， ∵AD∥BC， ∴△PEN∽△PFB， ∴， ∴PF， ∴， 故（4）错误； （5）易证△PAN∽△PAB， ∴， ∵△PAM∽△PBC， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴AM＝AN， 故（5）正确； （5）解法二：B，M，PC，共圆，延长AP交CD与点G，则P，G，C，B共圆．则C，B，M，P，G五点共圆，易证CG跟MB弦所对的圆周角相等 所以弦相等，CG＝MB，DG＝AM＝AN， 故选：B． 变式 2（2024・陕西模拟） 综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形ABCD，点E，F，G，H分别在边AB，BC、CD，DA上，若EG⊥FH，求证：．“为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF，交BC于点M，过点B作BN∥EG，交CD于点N； 方案二：过点H作HM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N． （1）请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设AB＝3，BC＝5，求的值． 解：（1）选择方案一： 证明：如图1，过点B作BN∥EG，过点A作AM∥HF，交BC于点M，分别交AM，HF，CD于点P，Q，N，设EG与HF交于点R， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BE∥GN，AH∥FM，BC＝AB，∠C＝∠ABM＝90°， ∴四边形BEGN和四边形AHFM都是平行四边形， ∴AM＝FH，BN＝EG， ∵EG⊥FH， ∴∠APB＝∠HQB＝∠HRE＝90°， ∴∠CBN＝90°﹣∠ABN＝∠BAM， 在△CBN和△BAM中， ， ∴△CBN≌△BAM（ASA）， ∴BN＝AM， ∴EG＝FH， ； 选择方案二： 证明：如图2，过点E作EN⊥CD于点N，过点H作HM⊥BC于点M，交HF于点K， ∴∠HMF＝∠HMB＝∠ENG＝∠ENC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABMH和四边形BCNE都是矩形， ∴BC＝EN，BC∥EN，AB＝HM， ∴∠HKE＝∠HFM，HM＝EN， ∵EG⊥FH， ∴∠HKE+∠GEN＝90°． ∴∠HFM+∠FHM＝90°， ∴∠GEN＝∠FHM， 在△ENG和△HMF中， ， ∴△ENG≌△HMF（ASA）． ∴EG＝HF， ∴； （2）如图3，过点B作BN∥EG，分别交AM，HF，CD于点P，Q，N，过点A作AM∥HF，交BC于点M，设EG与HF交于点R， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝5，AB＝3， ∴∠C＝∠ABM＝90°，AH∥FM，BE∥GN， ∴四边形BEGN和四边形AHFM都是平行四边形， ∴AM＝FH，BN＝EG， ∵EG⊥FH， ∴∠APB＝∠HQB＝∠HRE＝90°， ∴∠CBN＝90°﹣∠ABN＝∠BAM， ∴△CBN∽△BAM， ∴， ∴． 第 1 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