专题6.4 探索三角形相似的条件（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题6.4 探索三角形相似的条件 教学目标 1．理解平行线分线段成比例定理及推论，掌握相似三角形的概念、表示方法和相似比的含义。 2．熟记相似三角形的四种判定方法，明确各方法的关键条件（如夹角、对应角相等）。 3．能运用定理和判定方法判断三角形是否相似，准确找准对应边和对应角。 教学重难点 重点：平行线分线段成比例定理的应用；相似三角形的四种判定方法。 难点：找准相似三角形的对应边、对应角；灵活选择判定方法解决实际问题。 知识点01 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 【即学即练】 1．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 2．如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：， ，， ，， 故不成立的为：②， 故选：． 知识点02 相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【即学即练】 如图，在中，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 知识点03 相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 【即学即练】 1．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 2．如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 题型01 平行线分线段成比例 【例1】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 【变式1-1】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式1-2】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【变式1-3】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ． 【变式1-4】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得三角形与原三角形相似 题型02 利用两角对应相等判定相似 【例2】如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【变式2-1】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作．分别交、于点、点在的延长线上，连接．且．过点在于点，求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-4】如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 题型03 利用三边对应成比例判定相似 【例3】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 【变式3-1】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式3-2】如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 【变式3-3】如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-4】如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 题型04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例4】如图，在中，点、在边上，连接、，点在边上，连接，已知．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【变式4-2】如图，在中，点、在边上，连接、，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 【变式4-4】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型05 选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式5-1】如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， A、∵，∴，∴，不能判定，该选项符合题意； B、，能判定，该选项不符合题意； C、，能判定，该选项不符合题意； D、，能判定，该选项不符合题意． 故选：A． 【变式5-2】如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即； 若或， ∵两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似，A、B不符合题意； 若， ∵两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似；D不符合题意； 当不能判定与相似；C符合题意； 故选：C 【变式5-3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式5-4】在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 题型06 尺规作图使两个三角形相似 【例6】如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，点即为所求． 理由：根据作法得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：作，交于，如图所示，即为所求： 【变式6-2】如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， 证明：∵，， ∴， 根据作图可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式6-3】如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式6-4】如图，在 中，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点E， 使得．（保留作图痕迹， 不写作法） 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图，点即为所求： 先明确已知三角形的关键元素（角或边）与相似要求，用尺规作一个角等于已知三角形的某一内角，再作另一角等于另一内角（或作平行于已知三角形一边的直线截指定线段），最后顺次连接顶点，确保对应角相等或对应边平行即可。 题型07 确定相似三角形的对数 【例7】平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 【变式7-1】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 【变式7-2】如图，在中，，，，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 【详解】解：，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， ∴与相似共有4个三角形． 故选：D． 【变式7-3】如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 【变式7-4】如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 题型08 相似三角形判定的综合 【例8】如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式8-1】如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（   ）． A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【答案】A 【分析】 【详解】解：第一种情况： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二种情况： 由作图知：， ∵， ∴； 第三种情况： 由作图知：平分，E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确． 故选：A． 【变式8-2】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】B 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 【变式8-3】如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式8-4】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 1．如图，，，，则等于（ 　　 ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，， 在、、三个选项中，都没有的角， 选项中，两边为和， ， 选项中得三角形与相似； 故选． 3．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B． 4．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 5．如图，在正方形中，E为中点，，连接，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似；④与相似；⑤；其中错误的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∴，故④正确 ∵， ∴和不相似，故错误； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：A． 6．如图，点E、F分别在直线上，，如果，，，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ． 已知，则． 又，将代入， ． 解得． 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 8．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 9．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【分析】详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 10．如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】详解】解：． 理由如下：设． 根据勾股定理，得，，． ∵，，， ∴． ∴． 12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 13．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 探索三角形相似的条件 教学目标 1．理解平行线分线段成比例定理及推论，掌握相似三角形的概念、表示方法和相似比的含义。 2．熟记相似三角形的四种判定方法，明确各方法的关键条件（如夹角、对应角相等）。 3．能运用定理和判定方法判断三角形是否相似，准确找准对应边和对应角。 教学重难点 重点：平行线分线段成比例定理的应用；相似三角形的四种判定方法。 难点：找准相似三角形的对应边、对应角；灵活选择判定方法解决实际问题。 知识点01 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 【即学即练】 1．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 知识点02 相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【即学即练】 如图，在中，，则 ． 知识点03 相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 【即学即练】 1．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 2．如图，在和中，，．求证：； 题型01 平行线分线段成比例 【例1】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【变式1-1】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【变式1-3】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【变式1-4】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得三角形与原三角形相似 题型02 利用两角对应相等判定相似 【例2】如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 【变式2-1】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【变式2-2】如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 【变式2-3】如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作．分别交、于点、点在的延长线上，连接．且．过点在于点，求证：． 【变式2-4】如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 题型03 利用三边对应成比例判定相似 【例3】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【变式3-1】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式3-2】如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-4】如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 题型04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例4】如图，在中，点、在边上，连接、，点在边上，连接，已知．求证：． 【变式4-1】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【变式4-2】如图，在中，点、在边上，连接、，是等边三角形，且，，．求证：． 【变式4-3】如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【变式4-4】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 题型05 选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 题型06 尺规作图使两个三角形相似 【例6】如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-1】如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-2】如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-3】如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-4】如图，在 中，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点E， 使得．（保留作图痕迹， 不写作法） 先明确已知三角形的关键元素（角或边）与相似要求，用尺规作一个角等于已知三角形的某一内角，再作另一角等于另一内角（或作平行于已知三角形一边的直线截指定线段），最后顺次连接顶点，确保对应角相等或对应边平行即可。 题型07 确定相似三角形的对数 【例7】平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式7-1】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】如图，在中，，，，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【变式7-4】如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 题型08 相似三角形判定的综合 【例8】如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【变式8-1】如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（   ）． A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【变式8-2】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【变式8-3】如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【变式8-4】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 1．如图，，，，则等于（ 　　 ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，E为中点，，连接，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似；④与相似；⑤；其中错误的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，点E、F分别在直线上，，如果，，，那么的长为 ． 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 8．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 9．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 10．如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 11．如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． 12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 13．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $