2025-2026学年沪科版九年级数学上册 期中复习二

九年级期中复习卷二 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D． 【解答】解：y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 在y＝ax2+bx+c中，当a＝0时，是一次函数不是二次函数，故B选项不符合题意； 对于s＝2t2﹣2t+1满足二次函数的一般形式，是二次函数，故C选项符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：C． 2.若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴b＝3a， ∴． 故选：A． 3.如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由相似三角形的性质可知：， ∴， ∴S△ABC＝4， 故选：D． 4.函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（　　） A．当x＝0时，y＞0 B．当x＜0时，y＜0 C．当x＝1时，y取得最大值3 D．当x＞1时，y随x的增大而减少 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3， ∴当x＝0时，y＝2＞0，当x＝1时，y取得最大值3，对称轴为直线x＝1，抛物线的开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减少， 由图象可知当x＜0时，部分y值大于0， 综上，错误的是B选项； 故选：B． 5.如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点R 【解答】解：如图，连接AA'，CC'交于点O， ∴位似中心是点O． 故选：A． 6.已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2＝6，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【解答】解：由题意得，x1+x2＝4，x1•x2＝m， ∵x1+3x2＝6， ∴x2＝1，x1＝3， ∴m＝1×3＝3， 故选：A． 7.如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（　　）（图中阴影的面积） A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定 【解答】解：∵A、B是反比例函数的图象上两点， ∴S△AOC＝S△BOE， ∴S△AOC﹣S△OCD＝S△BOE﹣S△OCD， ∴S△AOD＝S四边形CEBD， ∴S＝R， 故选：C． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线MN，交AC点D； ③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E； ④连接BD，BE． 下列说法错误的是（　　） A．AD＝DE B． C．BC2＝AC•CD D． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝72°， 由题意得：BC＝DE，MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠DBA＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°， ∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°， ∴∠CDB＝∠ACB＝72°， ∴BD＝BC， ∴AD＝DB＝BC＝DE， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB（180°﹣∠CDB）＝54°， ∴∠CBE＝∠DBE﹣∠DBC＝18°， ∴∠CBE∠A， ∵∠CBD＝∠A＝36°，∠DCB＝∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴BC2＝AC•CD， ∵△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD是黄金三角形， ∴， ∴， ∴点C是DE是黄金分割点， ∴， 故A、B、C都不符合题意，D符合题意； 故选：D． 9.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 【解答】解：连接BG，设GC＝x， ∵G恰在CD边的四等分点， ∴DG＝3x，DC＝4x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x， ∴在Rt△BCD中根据勾股定理得，BD＝4x， 在Rt△BGC中根据勾股定理得，BGx， ∵四边形BFGE是正方形， ∴∠BGH＝45°， ∴∠BGH＝∠BDG， ∴∠DBG＝∠GBH， ∴△BGH∽△BDG， ∴， ∴， ∴BH， ∴DH＝BD﹣BH＝4x， ∴． 故选：D． 10.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴2， ∴2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a， ∵﹣1＜a＜0， ∴a＞0， ∴ab+c＝2a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知二次函数y＝3（x﹣m）2+1，当x＜5时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为　 　 ． 【解答】解：∵由题意可得，图象开口向上，对称轴为直线x＝m， ∴x≤m时，y随x增大而减小， ∵当x＜5时，y随x的增大而减小， ∴m≥5． 故答案为：m≥5． 12.如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ 　　 cm． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△DAE∽△CAB， ∴， ∵DE＝4cm， ∴BC＝6cm， 故答案为：6． 13.如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 　 ． 【解答】解：设AD与PC相交于点E， 由题意得：AEAD＝0.8（m），PH⊥BH，DA⊥AB， ∴∠DAC＝∠PHB＝90°， ∵∠DBA＝∠PBH， ∴△DAB∽△PHB， ∴， ∴， ∵∠ECA＝∠PCH， ∴△CEA∽△CPH， ∴， ∴， ∴， 解得：AH＝8.4， ∴， 解得：PH＝7.2， ∴灯离地面的高度为7.2m， 故答案为：7.2m． 14如图，△AOB和△ACD都是等腰直角三角形，∠ABO＝∠ADC＝90°，点B是y正半轴上一点，点C是反比例函数的图象上一点，点D是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点E． （1）点E的坐标为 　 　 ； （2）△AOB与△ACD的面积之差S△AOB﹣S△ACD＝ 　　 ． 【解答】解：（1）∵△AOB和△ACD都是等腰直角三角形， ∴CD＝AD，AB＝OB， ∵∠ABO＝∠ADC＝90°， ∴AB⊥y轴，CD⊥AB， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为（m，m），设直线OA的解析式为：y＝kx， 把A（m，m）代入得：m＝mk， 解得：k＝1， ∴直线OA的解析式为：y＝x， 令， 解得：x＝±4（舍去负值）， ∴点E的坐标为（4，4）； 故答案为：（4，4）； （2）设点，则D（n，m）， ∴AD＝m﹣n，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴S△AOB﹣S△ACD ＝8． 故答案为：8． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B（﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点． （1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标； （3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【解答】解：（1）△O1A1B1如图所示，A1（1，1），P1（m+2，n﹣1）； （2）△OA2B2如图所示，A2（﹣2，4），P2（2m，2n）． （3）能关于某一点Q为位似中心的位似图形，Q（4，﹣2）； 16.已知线段a，b，c，且． （1）求的值； （2）若a+b+c＝60，求a，b，c的值． 【解答】解：设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）； （2）∵a+b+c＝60， ∴3k+4k+5k＝60， ∴k＝5， ∴a＝15，b＝20，c＝25． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为4m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax2（a≠0）， 由题知，A（﹣6，﹣6）， 把A（﹣6，﹣6）代入解析式，得﹣6＝36a， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵小船恰好从这座拱桥下通过， ∴当x＝2时，y4， ∴， ∴水面所在直线为， 当时，， 解得或， ∵（m）， ∴此时水面的宽度为m． 18.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE． （1）求证：△ACE∽△BAD． （2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长． 【解答】（1）证明：∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠DAC＝∠B， ∴△ACE∽△BAD， （2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD， ∴，， ∵CE＝3，BD＝4，AE＝2， ∴， ∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30， 当40＜x≤100时，设y＝kx+b， 把（40，30），（100，15）代入得： ， 解得：， ∴yx+40， ∴y； （2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为（360﹣a）m2， ∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴， 解得30≤a≤90， 当30≤a≤40时，w＝30a+15（360﹣a）＝15a+5400， ∵15＞0， ∴当a＝30时，w最小，最小为15×30+5400＝5850（元）， 当40＜a≤90时，w＝a（a+40）+15（360﹣a）（a﹣50）2+6025， ∵0，对称轴为直线a＝50，且40﹣50＜90﹣50， ∴a＝90时，w取最小值，最小为（90﹣50）2+6025＝5625（元）， ∵5625＜5850， ∴当a＝90时，w取最小值，最小为5625元， 此时360﹣a＝270， 答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元． 20.如图，一块三角形的铁皮ABC，BC边为200mm，BC边上的高AD为120mm，要将它加工成矩形铁皮EFGH，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上． （1）若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？ （2）在矩形EFGH中，设EF＝xmm，FG＝ymm． ①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； ②设矩形EFGH的面积为S，当x取何值时，S取最大值，最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC， ∴， 设正方形EFGH的边长EH为x， ∴， ∴x＝75， 答：这个正方形的边长是75mm； （2）①在矩形EFGH中，EF＝xmm，FG＝ymm， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴， ∴120y＝24000﹣200x． ∴； ②由题意得：， ∴当x＝60时，S取最大值，最大值是6000． 六、（本题满分12分） 21.定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”． （1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长． 【解答】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”． 理由： ∵D是AB中点，AB＝4， ∴AD＝DB＝2， ∵AC2＝（2）2＝8，AD•AB＝8， ∴AC2＝AD•AB， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴∠ACD＝∠B， ∴点D是△ABC的“理想点”， （2）如图所示， ∵点D是△ABC的“理想点”， ∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A， 当∠ACD＝∠B时， ∵∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠CDB＝90°， 当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC3， ∵•AB•CD•AC•BC， ∴CD． 七、（本题满分12分） 22.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值． 小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为　　 ． 参考小昊思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值； （2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　　 ． 【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F， ∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP， ∵BE为AC边的中线， ∴AE＝CE， ∴△AEP≌△CEF（AAS）， ∴AP＝FC， ∵PD∥FC， ∴△BPD∽△BFC， ∴， ∴， 故答案为：； （1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F， ∴△AFE∽△CBE， ∴， ∵， ∴， 设AF＝3x，BC＝2x， ∵， ∴BD＝3x， ∴AF＝BD＝3x， ∵AF∥BD， ∴△AFP∽△DBP， ∴1； （2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F， ∴△BCF∽△BDP， ∴， 设CF＝2x，PD＝3x， ∵CF∥AP， ∴△ECF∽△EAP， ∴， ∴AP＝7x，AD＝4x， ∴． 故答案为：． 八、（本题满分14分） 23.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数），且b+c＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣3，0），求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，c满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q），试求p+q的值． 【解答】解：（1）由条件可知9﹣3b+c＝0①， ∵b+c＝3②， 由②﹣①得：﹣9+4b＝3， 解得b＝3， 将b＝3代入②中，得3+c＝3， 解得c＝0， ∴该二次函数的表达式为：y＝x2+3x； （2）由条件可知c＝3﹣b， 将其代入二次函数中有y＝x2+bx+3﹣b， ∴y＝x2+b（x﹣1）+3， ∴当x＝1时，y＝4， 即二次函数的图象过定点（1，4）， ∵一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点， +b， ∵b＝3﹣c， ∴k+3﹣c＝4， 整理得k﹣c＝1； （3）由条件可知m2+bm+c＝0，n2+bn+c＝0，m+n＝﹣b， ∴m2+bm+c+n2+bn+c＝0， ∴m2+n2+b（m+n）+2c＝0， ∴m2+n2＝﹣b（m+n）﹣2c， 又∴（m+1）2+b（m+1）+c＝p，（n+1）2+b（n+1）+c＝q， ∴p+q＝（m+1）2+b（m+1）+c+（n+1）2+b（n+1）+c ＝m2+2m+1+bm+b+c+n2+2n+1+bn+b+c ＝（m2+n2）+2（m+n）+b（m+n）+2+2b+2c ＝﹣b（m+n）﹣2c+2（m+n）+b（m+n）+2+2b+2c ＝2（m+n）+2+2b ＝2•（﹣b）+2+2b ＝﹣2b+2+2b ＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中复习卷二 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D． 2.若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（　　） A．当x＝0时，y＞0 B．当x＜0时，y＜0 C．当x＝1时，y取得最大值3 D．当x＞1时，y随x的增大而减少 5.如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点R 6.已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2＝6，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 7.如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（　　）（图中阴影的面积） A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线MN，交AC点D； ③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E； ④连接BD，BE． 下列说法错误的是（　　） A．AD＝DE B． C．BC2＝AC•CD D． 9.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 10.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知二次函数y＝3（x﹣m）2+1，当x＜5时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为　 　 ． 12.如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ 　　 cm． 13.如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 　 ． 14如图，△AOB和△ACD都是等腰直角三角形，∠ABO＝∠ADC＝90°，点B是y正半轴上一点，点C是反比例函数的图象上一点，点D是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点E． （1）点E的坐标为 　 　 ； （2）△AOB与△ACD的面积之差S△AOB﹣S△ACD＝ 　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B（﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点． （1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标； （3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 16.已知线段a，b，c，且． （1）求的值； （2）若a+b+c＝60，求a，b，c的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为4m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 18.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE． （1）求证：△ACE∽△BAD． （2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 20.如图，一块三角形的铁皮ABC，BC边为200mm，BC边上的高AD为120mm，要将它加工成矩形铁皮EFGH，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上． （1）若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？ （2）在矩形EFGH中，设EF＝xmm，FG＝ymm． ①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； ②设矩形EFGH的面积为S，当x取何值时，S取最大值，最大值是多少？ 六、（本题满分12分） 21.定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”． （1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长． 七、（本题满分12分） 22.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值． 小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为　　 ． 参考小昊思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值； （2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　　 ． 八、（本题满分14分） 23.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数），且b+c＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣3，0），求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，c满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q），试求p+q的值． 学科网（北京）股份有限公司 $