精品解析：广西桂林2025-2026学年上学期期中学情调查九年级数学试卷

2025 年秋季学期期中学情调查卷 九年级数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效； 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 3．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的识别，形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的两个图形相似， 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程中，叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1， 故选：B． 3. 在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数．根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解：， ， ，， 故选：C． 5. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先把点代入反比例函数，求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 6. 若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是， 如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 对于关于x的一元二次方程， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 10. 我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线．如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，. 故选：B． 11. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握两类函数的图象与性质． 分两种情况讨论，分别得出两个函数图象的位置，再作出判断． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象位于第二、四象限， 对于一次函数，，图象从左向右呈上升趋势；，图象与y轴交于正半轴．没有选项符合； 当时，，反比例函数的图象位于第一、三象限， 对于一次函数：，图象从左向右呈下降趋势；，图象与y轴仍交于正半轴．故B符合． 故选：A． 12. 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据数量关系分别求出，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2025除以3，根据商和余数的情况确定的值即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， …， ∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵， ∴为第675个循环组的第3次计算，与的值相同即为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12 分．） 13. 在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离是_________千米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是比例尺．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲，乙两地间的实际距离． 【详解】解：设甲，乙两地间的实际距离为， 则， 解得：，即3千米， 故答案为：3． 14. 若关于x 的一元二次方程有一根是2，那么_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义，把代入一元二次方程得，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得， 故答案为：2． 15. 如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过该点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）整理后，利用直接开平方法解题即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可解题． 【小问1详解】 解：， 整理得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得，． 18. 如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； （3）若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）该热水器连续排水的时间是48分钟． 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）根据工作时间乘以每分钟的排水量等于总容量，可得出y与x的关系式． （2）根据反比例函数的性质可得在每一个象限内，y随x的增大而减小，即可． （3）当时，求得y的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵热水器连续工作最长时间是1小时， ∴， ∵函数在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，x最小，最小值为， 解得：， ∴自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 19. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，利用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ， ∴，， ∴，， ∴的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； （3）请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． 【小问3详解】 解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 21. 广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． （1）求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)， 营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． 22. 【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式即可求解； （）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （）由题意得时，故只能取或，即是方程的一个根，然后代入方程求出的值，再通过三角形三边关系进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 由（1）得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得时， ∴只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为，此时不能构成三角形， 故三角形的周长为． 23. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年秋季学期期中学情调查卷 九年级数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效； 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 3．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. －1 3. 在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 没有实数根 5. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 8 6. 若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 10. 我们把练习本上的横线认定为平行且等距的格线．如图，小颖在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 11. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 12. 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 不能确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12 分．） 13. 在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，则甲、乙两地的实际距离是_________千米． 14. 若关于x 的一元二次方程有一根是2，那么_________． 15. 如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 18. 如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； （3）若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 19. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； （3）请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 21. 广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． （1）求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 22. 【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 23. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $