3.3 二次函数y-ax2的图象与性质 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级数学上册

第三章 二次函数 3 二次函数y-ax2的图象与性质 第2课时 二次函数y=ax2的图象与性质 认知基础练 练点1 二次函数y=ax²的图象 1.关于二次函数y=3x²的图象，下列说法错误的是( ) A.它是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最高点 D.它与y= -3x²的图象关于x轴对称 2.若二次函数y=ax²的图象经过点 P( -2,4),则该图象必经过点( ) A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 3. 如图所示，在同一坐标系中绘出三条抛物线则下列说法正确的是( ) 练点2 二次函数y=ax²的性质 4.已知二次函数的增大而增大，则a的取值范围是( ) 5.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数的图象，则阴影部分的面积是__________. 6.已知抛物线y=ax²经过点A(2,12),则-3≤x≤2时，图象上最高点的坐标为_，函数的最小值为__________. 纠易错 因考虑问题不全面而出错 7.已知抛物线y=ax²与y=4x²的形状相同，则a的值是( ) A.4 B.-4 C.±4 D.1 思维发散练 发散点1 利用函数图象的交点坐标求线段的长 8.如图所示，抛物线y=ax²与直线y= 相交于A(-2,m),B(3,n)两点,求线段AB的长. 发散点2 利用函数图象的交点坐标求面积 9.学科素养几何直观 如图，点 A，B在函数 的图象上，已知点A，B的横坐标分别为-2，4,直线AB与y轴交于点 C,连接OA,OB. (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)求△AOB的面积; (3)若函数 的图象上存在点 P，使得△PAB的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点 P共有__________个. 参考答案 1. C 【点拨】二次函数y=3x²的图象是一条开口向上的抛物线，顶点是它的最低点，故选C. 2. A 【点拨】二次函数y=ax²的图象经过点P(-2，4)，则其开口向上，图象分别在第一、二象限.∵点P(-2,4)与点(2,4)关于γ 轴对称,且抛物线是关于y轴对称的图形，∴二次函数y=ax²的图象必经过点(2,4).故选 A. 3. A 【点拨】对于抛物线y=ax²,a的符号确定其开口的方向， |a|的大小决定其开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大.故选 A. 4. B 【点拨】∵当x>0时,y随x的增大而增大,∴a-1>0,∴a>1,故选 B. 5.8 【点拨】∵函数y=2x²与y=-2x²的图象关于x轴对称，∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4 的正方形面积为16，∴图中的阴影部分的面积是8. 6.(-3,27);0【点拨】∵抛物线y=ax²经过点A(2,12),∴a=3.即抛物线为y=3x²,此时抛物线开口向上，顶点为最低点，抛物线有最小值0，当x=-3时,y=3×(-3)²=27,所求函数图象上最高点的坐标为(-3,27). 7. C 点易错 对于抛物线y=ax²,|<a|的大小决定抛物线的开口程度， |a|相等说明抛物线的开口大小相同， 即抛物线的形状相同本题易忽略a=-4 而出错. 8.【解】∵抛物线y=ax²与直线 相交于A(-2,m)、B(3,n)两点, 解得 即抛物线为 直线为 如图所示，分别过A、B两点作xy.轴的垂线段 AD、BE，垂足分别为D、E两点,过A点作AC⊥BE于C点，则 AC=|3-(-2)|=5,BC = BE -CE= BE -AD= 在 Rt△ABC中,∵AC²+BC²=AB², 9.【解】(1)∵点A,B在函数 的图象上，∴当x=-2时, 当x=4时, 设直线 AB的函数表达式为y=kx+b,将点A，B的坐标代入，得 解得 ∴直线 AB 的函数表达式为 (2)在 中,令x=0,则y=2,∴点C的坐标为(0,2). (3)4 【点拨】如图,过OC的中点，作AB的平行线交抛物线于点 P₁,P₂,此时△P₁AB的面积和△P₂AB的面积等于△AOB的面积的一半. 作直线 P₁P₂关于直线AB的对称直线，交抛物线于点P₃,P₄,此时△P₃AB的面积和△P₄AB的面积等于△AOB的面积的一半.∴这样的点P共有4个. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 二次函数 3 二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质认知 认知基础练 练点1 二次函数y=x²与y=-x²的图象 1.下列说法：①抛物线y=x²的开口向上；②抛物线y=-x²的开口向上；③抛物线y=x²与抛物线y= -x²的开口大小相同；④抛物线y=x²与抛物线y= -x²的开口方向相反.正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.下列关于抛物线 y=x²和y= -x²的异同点说法错误的是( ) A.抛物线y=x²和y=-x²有共同的顶点和对称轴 B.抛物线y=x²和y=-x²的开口方向相反 C.抛物线y=x²和y=-x²关于x轴成轴对称 D.点A(-3,9)在抛物线y=x²上，也在抛物线y=-x²上 练点2 二次函数y=x²与y= -x²的性质 3.已知都在函数y=x²的图象上，则( ) 4.下列函数中,当时,y随x的增大而减小的是( ) 纠易错 求函数的最值问题时忽略自变量的取值范围而出错 5.函数日的最大值为___________，最小值为_________. 思维发散练 发散点1 利用二次函数的图象上的点的坐标的特征解决与一次函数的综合题 6.已知抛物线y= -x²与直线y=3x+m都经过点(2,n). (1)画出抛物线y= -x²,并求出m，n的值. (2)抛物线与直线是否存在另一个交点?若存在，请求出另一个交点的坐标；若不存在，请说明理由. 发散点2 利用抛物线的坐标特征解答与四边形相关的综合问题 7.已知平面直角坐标系中，A(m,n),B(-m,n)为抛物线y=x²上的两点,C(0,h)为y轴上的点. (1)四边形AOBC 是否可以为菱形?若为菱形，此时n，h(n，h均为正数)之间存在什么数量关系? (2)四边形 AOBC 是否可以为正方形?若为正方形，求出A，B，C三点的坐标，否则，请说明理由. 参考答案 1. D 【点拨】∵1>0,∴抛物线y=x²的开口向上，①正确;∵-1<0,∴抛物线y=-x²的开口向下，②错误;∵|1| = | -1|,∴ 抛物线y=x²与抛物线y= -x²的开口大小相同，③正确；∵抛物线y=x²的开口向上，抛物线y=-x²的开口向下，∴④正确,故选 D. 2. D 【点拨】当x= -3时,由y=x²得y=9,由y=-x²得y= -9,故点A(-3,9)在抛物线 y=x²上，不在抛物线y= -x²上,故选 D. 3. C 【点拨】∵抛物线y=x²开口向上，∴在对称轴y轴的左侧,y随x的增大而减小.∵a< -1,∴a-1<a<a+1<0,∴y₃<y₂<y₁.故选 C. 4. D 【点拨】选项 A,二次函数y=x²的图象开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧(x>0时)，y随x的增大而增大，故本选项错误；选项B，正比例函数y=2x的图象，k>0，y随x的增大而增大，故本选项错误；选项C，反比例函数 的图象在第二、四象限内，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；选项D，反比例函数 的图象在第一、三象限内，当x>0时，在第一象限y随x的增大而减小，故本选项正确；故选D. 5.0;-4 点易错 本题易忽略x的取值范围，当x=0时，y取得最大值，最大值为0；当x=-2时，y取得最小值，最小值为-4. 6.【解】(1)如图. ∵抛物线y=-x²与直线y=3x+m都经过点(2,n),∴n=-2²,n=3×2+m.∴n=-4,m= -10. (2)存在. 联立方程 解得 或 ∴另一个交点的坐标为(-5,-25). 7.【解】(1)四边形 AOBC 可以为菱形.如图所示，设AB与OC 交于D点. ∵四边形AOBC为菱形, ∵A点为(m,n)、C点为(0,h),∴ (2)四边形 AOBC 可以为正方形. 设AB与OC交于D点,∵四边形AOBC为正方形, ∵A(m,n)为抛物线y=x²上的一点， 或h=0(不合题意,舍去). ∴m=1,n=1. ∴A、B、C三点的坐标分别为A(1,1),B(-1,1),C(0,2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $