3.3 《二次函数y=ax²的图象和性质》课件 2024—2025学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

3.3 二次函数y=ax2的图象和性质 【学习目标】 1. 理解二次函数y=ax2的图象及有关概念， 2. 掌握二次函数y=ax2的性质及a的作用， 重点：二次函数y=ax2的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质 难点：二次函数y=ax2的性质的应用 情境引入 观察学生在投篮时篮球的运动轨迹. 抛射物体时所经过的路线,也称“抛物线” 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 努力是会上瘾的，尤其是尝到了甜头 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 1.列表 2.描点 3.连线 自主学习 1.根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2 的图象有哪些性质，并与同伴交流. 议一议 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． x o y=x2 y 2.说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 2. 顶点都在原点; 4.当a>0时，开口向上,图象有最低点； 当a<0时，开口向下,图象有最高点． 二次函数 y=ax2 的图象性质： 知识归纳 3. 抛物线关于y轴 (或直线 x=0 )对称; 1. 图象是一条抛物线; 合作探究 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 二 二次函数y=ax2的性质 (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 知识要点 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当 x＞0 时，图象呈上升趋势， y随x取值的增大而增大； 当 x＜0 时，图象呈下降趋势， y随x取值的增大而减小 成果展示 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当 x＞0 时，图象呈下降趋势， y随x取值的增大而减小； 当 x＜0 时，图象呈上升趋势， y随x取值的增大而增大 . 知识要点 成果展示 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x o y=x2 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 议一议 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 当 x<0 时，y 随 x 取值的增大而减小. 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而增大； y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y=2x2 y=x2 仔细观察右边的图象回答： 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 总结归纳 2. 图像关于y轴对称; 例1已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 典例精析 已知 是二次函数，且当x＞0时， y随x增大而增大，则k= . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此， 解得 k=2 2 练一练 例2：已知二次函数 y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 典例精析 例3. 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的 图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积 之和． < 在同一直角坐标系中，画出函数 的图像. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … -8 -4.5 -2 -0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 再探新知 练一练：画出函数 y = -x2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 1. 列表 2. 描点 3. 连线 探究新知 开口大小与a的 大小有什么关系？ 抛物线 y=ax2 (a>0) y= ax2 (a<0) 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 最值 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 开 口大小 |a|越大，开口越小 随堂练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =3x2 上 y轴 （0, 0） y =-3x2 下 y轴 （0, 0） 上 y轴 （0, 0） 下 y轴 （0, 0） 1. 填空 课堂小结 同学们，通过今天这一节课的学习，你有哪些收获？ $$