精品解析：福建省宁德市第三教研共同体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

宁德市第三教研共同体2025—2026学年第一学期高二期中质量检测 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校､班级､姓名填写清楚. 2.每题得出答案后，填入答题卡中. 3.考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线经过两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（ ） A. B. 1015 C. 2029 D. 2030 5. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，且在轴上截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子从它出生的第三个月开始，每月又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：.这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中.若从该数列的前2025项中按照奇数和偶数这两种类型用分层随机抽样的方法抽取6项，再从这6项中抽出2项，则这两个数的和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 85 B. 15 C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 点到直线的距离为7 C. 直线的倾斜角为 D. 直线一个方向向量为 10. 柜子里有3双手套，3双手套的颜色分别为红色､黄色､蓝色，如果从中随机地取出2只，设事件“取出的手套颜色不相同”，事件“取出的手套都是左手的”，事件“取出的手套是同侧手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是同一双手套”，则下列关系正确的有（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥 C. D. 11. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（ ） A B 若，则且 C. 若存在正整数，使，则 D. 数列的前项和 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第13题，第一个空2分，第二个空3分.请将答案填在答题卡相应位置.） 12. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为__________. 13. 已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答） 14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的公差不为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求. 16. 甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响. （1）求甲恰好比赛2局后获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率； （3）求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答） 17. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 18. 已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 19. 数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数. （1）求的值. （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市第三教研共同体2025—2026学年第一学期高二期中质量检测 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校､班级､姓名填写清楚. 2.每题得出答案后，填入答题卡中. 3.考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线经过两点，则的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾角正切值之间的关系，判断结果即可. 【详解】由题意可知， 设的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质即可得到答案. 【详解】，解得. 故选：D. 3. 三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 4. 在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（ ） A. B. 1015 C. 2029 D. 2030 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，求出数列的前项，即可得到数列的周期性，根据数列的周期性求数列的前项和即可. 【详解】因为，，所以， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 因为，所以， 即. 故选：A 5. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 6. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】对直线l是否经过原点分类，结合条件，求出l的方程． 【详解】若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为，即； 若直线l不经过原点，可设直线l的方程为， 把点代入可得，解得， 直线l的方程为，即， 综上可得直线l的方程为或； 故选：C. 7. 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子从它出生的第三个月开始，每月又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：.这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中.若从该数列的前2025项中按照奇数和偶数这两种类型用分层随机抽样的方法抽取6项，再从这6项中抽出2项，则这两个数的和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的规律找出奇数偶数的个数，进而得出6项中包含的奇数和偶数个数，最后根据古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意可知数列从第一项起，每三项的最后一项为偶数，而， 则该数列的前2025项中奇数有个，偶数有个， 则用分层随机抽样的方法抽取6项，其中包含个奇数，个偶数， 设奇数为，偶数为， 从这6项中随机抽出2项共有， ，共个， 其中这两个数的和为奇数的有，共个， 则这两个数的和为奇数的概率为. 故选：C 8. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 85 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 点到直线的距离为7 C. 直线的倾斜角为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标； B选项，利用点到直线距离公式得到答案； C选项，通过斜率与倾斜角的关系求解即可； D选项，根据方向向量的定义判断. 【详解】A选项：， 易知过定点：，故A正确； B选项：点到直线的距离为： ，故B错误； C选项: 直线的斜率为， 而斜率等于倾斜角的正切值， 故直线的倾斜角为，故C正确； D选项：由直线的一般式， 可知该直线的一个方向向量为， 易知本选项的一个直线方向向量为，与向量不共线，故D错误. 故选：AC 10. 柜子里有3双手套，3双手套的颜色分别为红色､黄色､蓝色，如果从中随机地取出2只，设事件“取出的手套颜色不相同”，事件“取出的手套都是左手的”，事件“取出的手套是同侧手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是同一双手套”，则下列关系正确的有（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的手套为：黄1，黄2；红1，红2；蓝1，蓝2，（1为左，2为右） 从中随机取出2只共有：黄1黄2，黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1， 黄2红2，黄2蓝1，黄2蓝2，红1红2，红1蓝1， 红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，蓝1蓝2，共15种情况， 事件A包括：黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1， 红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，黄2红2， 黄2蓝1，黄2蓝2，共12种情况； 事件B包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，共3种情况； 事件C包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，黄2红2，黄2蓝2，红2蓝2，共6种情况； 事件D包括：黄1红2，黄1蓝2，黄2红1，黄2蓝1，红1蓝2，红2蓝1，共6种情况. 对于A选项：由上述各个情况可知：事件与事件的积事件概率为0，故，所以A错误； 对于B选项：，故事件与事件互斥，B正确； 对于C选项：由上述各个情况易知C正确； 对于D选项：，故D正确； 故选：BCD. 11. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则且 C. 若存在正整数，使，则 D. 数列的前项和 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用数列的规律来分组研究，每一组的项数和分数都是有规律的，然后利用分组求和，再来研究该数列的和，从而可作出判断. 【详解】由，当时，， 所以，故A正确； 根据数列的各项的排列规律，分母相同的项可以看作为一组， 可知当时，应为第组的最后一项，为第组的第一项， 则，故B正确； 由于， 则， 当时，，当时，， 所以，则， 即此时的，故C正确； 由，故D错误； 故选：ABC 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第13题，第一个空2分，第二个空3分.请将答案填在答题卡相应位置.） 12. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式即得. 【详解】由题可知这段时间内线路不正常工作的情形就是两个开关都不能够闭合， 此时的概率为， 根据对立事件概率可知：这段时间内线路正常工作的概率为， 故答案为： 13. 已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列的基本性质，以及等差数列前项和公式，列出方程，求出公差，写出通项公式和前项和公式，进而求出的最小值. 【详解】由可得，解得， 所以，， 可知当或时，取最小值，即. 故答案为：，. 14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”最短总路程为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的公差不为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2）55 【解析】 【分析】（1）通过等差数列通项公式和等比中项，求出，结合，求出公差，进而求出的通项公式； （2）通过等差数的性质知构成以为首项，公差为的等差数列，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即， 化简得，又，所以，解得或， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是等差数列，则构成以为首项，公差为的等差数列， 又由（1）知，则， 所以. 16. 甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响. （1）求甲恰好比赛2局后获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率； （3）求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，判断这两局比赛的胜负情况，根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. （2）根据比赛结果，对比赛过程进行分类讨论，再根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. （3）根据比赛结果，对比赛过程进行分类讨论，再根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. 【小问1详解】 记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件， ， 即甲恰好比赛2局后获胜的概率为. 【小问2详解】 记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”事件， ， ， ， ， ， . 故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 【小问3详解】 记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件， ， ， . 故甲赢得比赛的概率为. 17. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质和前项和的概念，逐一求出数列的前三项； （2）根据等差数列的性质，求出数列的通项公式，进而根据数列通项和前项和为的关系，求出数列通项公式； （3）根据已知条件，求出构造数列的通项公式，进而根据裂项相消求和方法，求出新的数列前项和. 【小问1详解】 由题意可得，即， 所以， 解得. 【小问2详解】 由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则. 当时，； 当时，， 因为满足上式， 所以的通项公式为. 【小问3详解】 因为，且， 所以当时， . 当时，也符合上式， 所以， 所以 . 18. 已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）①；②最小值6， 【解析】 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【小问1详解】 方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. 【小问2详解】 方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 19. 数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数. （1）求的值. （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）①利用错位相减求和，即可得出结果；②由①可知，求出，将不等式化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以， 因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有，所以； （2）①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为， 即， 所以， 所以， ， 两式相减得， 所以； ②由①可知，所以， 所以由不等式得恒成立， 令，则， 所以可得， 当时，，即， 所以的最大值为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $