29.1投影（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 29.1投影（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、 平行投影 1.投影的概念： 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面 2.平行投影：由平行光线所形成的投影称为平行投影. 注意：平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 题型1识别平行投影 例1．下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【变式1-1】．下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【变式1-3】．如图表示白天某一时刻两棵树及它们的影子，其中一棵树及影子被不透光的硬纸片遮住了，则遮住的可以是（   ） A． B． C． D． 题型2平行投影的作图 例2．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影． (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质； (2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长． 【变式2-1】．如图，、两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆在地面上的影子为，、、在一条直线上，请用尺规作出木杆此时在地面上的影子．（不写作法，仅保留作图痕迹） 【变式2-2】．如图1，国庆期间某广场旗杆附近搭建了一座花篮．图2为从该场景抽象出的数学模型，已知花篮高度，某一时刻花篮在阳光下的投影． （1）请你用尺规作图法在图2中作出此时旗杆在阳光下的投影；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在测量的投影时，同时测出旗杆在阳光下的投影，请你计算的长． 【变式2-3】．综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 题型3平行投影的计算 例3．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【变式3-1】．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【变式3-2】．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【变式3-3】．如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 知识点2 、中心投影 1.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． 2.中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 3.判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影。 4.视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区 题型4识别中心投影 例4．下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式4-1】．一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 【变式4-2】．在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 【变式4-3】．下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 题型5 与中心投影有关的作图与计算 例5．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【变式5-1】．如图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一棵大树，它的影子是，在图中画出表示大树高的线段． 【变式5-2】．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【变式5-3】．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 题型6确定盲区 例6．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 【变式6-1】．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【变式6-2】．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 【变式6-3】．如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 知识点3 、正投影的概念 1.正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影 2.正投影的规律 物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关. 规律：（1）.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 （2）.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段. 3.画几何体的正投影 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关 题型7 识别正投影 例7．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式7-2】．把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【变式7-3】．甲、乙两人在做了“圆的正投影”探究性实验后，得到了如下结论： 甲说：“圆的正投影一定还是圆．” 乙说：“你说得不对，圆的正投影应该是圆或椭圆．” 根据以上对话，结合平面图形的正投影规律，判断谁说得正确．若都不正确，请你说出正确的结论． 题型8几何体的正投影画图与计算 例8．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 【变式8-1】．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【变式8-2】．如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【变式8-3】．如图，已知线段，投影面为P．      (1)当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影； (2)当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长； (3)在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长． 题型9 利用平行投影求物高 例9．如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【变式9-1】．九（1）班的同学到郊外展开活动，在土坡旁看见一棵古树，班上同学很想知道古树的高．小王拿尺子量得古树在地面上的影子米，在斜坡上面的影子米，测得斜坡与地面成，同一时刻小李量得1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米．请你根据以上数据算出古树的高． 【变式9-2】．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【变式9-3】．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 题型10利用中心投影与相似解决生活问题 例10．如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上） (1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子； (2)求路灯O到地面的距离． 【变式10-1】．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【变式10-2】．如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【变式10-3】．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 题型11利用正投影作图与计算 例11．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【变式11-1】．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，． (1)BD的长为______． (2)如图2，当时． ①求的度数；（参考数据：，，，） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【变式11-2】．画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影． （1）正方体的一个面平行于投影面； （2）正方体的一个面倾斜于投影面，底面垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面． 【变式11-3】．如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm. (1)画出三棱柱在投影面P上的正投影; (2)求出三棱柱的表面积. 题型12与盲区相关的几何计算 例12．如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 【变式12-1】．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【变式12-2】．如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮． (1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)． (2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离． 【变式12-3】．如图,正方形ABCD的边长为4,M,N,P分别为AD,BC,CD的中点.现从点P观察线段AB,当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时,l将阻挡部分观察视线,在△PAB区域内形成盲区.设l的左端点从M点开始,运动时间为t秒(0≤t≤3).设△PAB区域内的盲区面积为y(平方单位). (1)求y与t之间的函数关系式; (2)请简单概括y随t的变化而变化的情况. 例13．小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【变式13-1】．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 【变式13-2】．如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌． 监视器的盲区在哪一部分？ 已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度． 【变式13-3】．如图，边长为的正方体其上下底面的对角线、与平面H垂直． (1)指出正方体在平面H上的正投影图形； (2)计算投影的面积． 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B．C． D． 2．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 4．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 5．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这是因为（ ） A．汽车开的很快 B．盲区减小 C．盲区增大 D．无法确定 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 10．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为 km． 11．如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 12．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 13．如图，一只小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在 处才不会被小猫发现． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是． 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线． 在图中画出表示大树高的线段． 若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树． 15．地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆．为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为米，身高为米的学生的影长为米．依据这些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)求旗杆的高度． 16．北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是______（填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是__________（填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变______（填“长”或“短”），白昼时间变______（填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图中的______（填序号），此过程太阳的直射点向______移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是______前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是______（填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 17．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 18．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 19．项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 20．为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 29.1投影（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、 平行投影 1.投影的概念： 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面 2.平行投影：由平行光线所形成的投影称为平行投影. 注意：平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 题型1识别平行投影 例1．下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 【变式1-1】．下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影的知识，定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平行投影的投影线是平行的．根据平行投影的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．如图， 属于中心投影，故不符合题意； B．如图， 属于中心投影，故不符合题意； C．如图， 属于中心投影，故不符合题意； D．如图， 属于平行投影，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 【变式1-3】．如图表示白天某一时刻两棵树及它们的影子，其中一棵树及影子被不透光的硬纸片遮住了，则遮住的可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影的知识．根据光线的平行即可判断小树在阳光下的影子． 【详解】解：根据已知给出的树的影子可知，被遮住的树的影子应该在小树的右侧，因此可以排除C、D两个选项， 根据给出的小树的影子不到小树的2倍，则被遮住的小树的影子也应该不到小树的2倍，因此排除B选项，故A正确． 故选：A． 题型2平行投影的作图 例2．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影． (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质； (2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长． 【答案】(1)见解析，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质、平行投影： （1）利用平行投影的性质即可求解； （2）利用相似三角形的判定及性质即可求解； 熟练掌握平行投影的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影， 作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质． （2）， ， 又， ， ， ，，， ， ． 【变式2-1】．如图，、两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆在地面上的影子为，、、在一条直线上，请用尺规作出木杆此时在地面上的影子．（不写作法，仅保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据太阳光线是平行光线，故根据尺规作图-作一个角等于已知角的方法步骤在右侧作，交延长线于点P，连接，线段即为所求作． 【详解】解：如图，线段即为所求作的木杆此时在地面上的影子． 【点睛】本题考查平行投影、尺规作图-作一个角等于已知角，能将问题转化为作以及熟练掌握基本作图方法步骤是解答的关键． 【变式2-2】．如图1，国庆期间某广场旗杆附近搭建了一座花篮．图2为从该场景抽象出的数学模型，已知花篮高度，某一时刻花篮在阳光下的投影． （1）请你用尺规作图法在图2中作出此时旗杆在阳光下的投影；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在测量的投影时，同时测出旗杆在阳光下的投影，请你计算的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据投影定义作图即可； （2）根据（1）的图形，证明△ABC∽△DEF，列得，代入数值求解即可． 【详解】解：（1）如图就是的投影． （2）由作图可知， ， ， ∴△ABC∽△DEF, ，即， ． 答：的长为． 【点睛】此题考查相似三角形的实际应用，相似三角形的判定及性质，平行投影的画法及应用，正确理解平行投影是解题的关键． 【变式2-3】．综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 题型3平行投影的计算 例3．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影；（2）见解析；（3）的长为；（4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于， 如图所示，就是的投影． （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 【变式3-1】．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． 【变式3-2】．小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 【变式3-3】．如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 【答案】米 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，平行投影，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．首先过点作于点，则四边形为矩形，根据同一时刻的太阳光线是平行的可得，根据相似三角形对应边成比例可知，设大树的高度为米，根据，可得方程，解方程即可求出大树的高度． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 设米，则米， 根据题意知， ， ， ， ， 米， 米，米， 在处测得的俯角为， ， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大树的高度约为米． 知识点2 、中心投影 1.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． 2.中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 3.判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影。 4.视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区 题型4识别中心投影 例4．下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式4-1】．一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行投影问题，根据中心投影得出平行四边形的投影图形解答即可． 【详解】解： 一个平行四边形的中心投影可能是与原来相似的平行四边形，也有可能是与原来不相似的四边形或一条线段， 故选：D． 【变式4-2】．在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影．熟练掌握中心投影定义是解题关键．平行投影是平行光线形成的投影；中心投影是由点光源发出的光线形成的投影． 根据中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，进而判断即可． 【详解】设大型字母“”宣传牌上方的点A，B，C三个物点的像点为． 连接并延长相交于一点O， ∴光源在O点， ∴是中心投影． 故选：C． 【变式4-3】．下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 【答案】B 【分析】本题考查中心投影与平行投影的区分．中心投影的光源为点光源，光线呈发散状；平行投影的光源视为无限远处，光线平行．据此判断即可． 【详解】解：中心投影由点光源（如台灯、蜡烛、路灯）发出的发散光线形成，各选项中的台灯（A）、蜡烛（C）、路灯（D）均为点光源，属于中心投影．而太阳距离地球极远，其光线可视为平行光线，形成的投影为平行投影，而非中心投影． 故选：B． 题型5 与中心投影有关的作图与计算 例5．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 【变式5-1】．如图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一棵大树，它的影子是，在图中画出表示大树高的线段． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心投影，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源，所以分别把和的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，从而可确定大树高的线段． 【详解】解：如图所示，线段即为所求． 【变式5-2】．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 【变式5-3】．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 题型6确定盲区 例6．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 【答案】17 【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出． 【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16， 在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2， 因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1， 因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米． 故答案为17. 【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【变式6-1】．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式6-2】．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 【答案】见解析. 【分析】根据题意画出盲区即可判断出答案． 【详解】从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨． 根据题意画出盲区即可判断出答案． 【点睛】本题考查盲区的知识，难度不大，注意掌握盲区的寻找方法． 【变式6-3】．如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变． 【分析】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可； （2）根据△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 【详解】(1)形成的盲区为梯形AEFB， ∵AB∥EF， ∴△PAB∽△PEF， ∴＝， ∴EF＝9， ∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化， ∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变． 所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 【点睛】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN的长不变，进而得出梯形CMND的面积不变是解题关键． 知识点3 、正投影的概念 1.正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影 2.正投影的规律 物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关. 规律：（1）.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 （2）.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段. 3.画几何体的正投影 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关 题型7 识别正投影 例7．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可． 【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 【变式7-1】．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式7-2】．把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【答案】 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 【变式7-3】．甲、乙两人在做了“圆的正投影”探究性实验后，得到了如下结论： 甲说：“圆的正投影一定还是圆．” 乙说：“你说得不对，圆的正投影应该是圆或椭圆．” 根据以上对话，结合平面图形的正投影规律，判断谁说得正确．若都不正确，请你说出正确的结论． 【答案】不正确，正确结论见解析 【分析】本题考查正投影，正确把握光线照射角度不同，则正投影的形状不同是解答的关键．根据光线与圆的位置关系，进而得出不同的投影． 【详解】解：两人说得都不正确．圆的正投影是圆（圆与投影面平行）或椭圆（圆倾斜于投影面）或线段（圆与投影面垂直）． 题型8几何体的正投影画图与计算 例8．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正投影的定义，确定从上方看和从左侧看到的图形是解题的关键． （1）画出圆柱从上向下看到的图形即可； （2）画出圆柱从左向右看到的图形即可． 【详解】（1）解：圆柱从上向下的正投影如图； ． （2）解：该圆柱体从左向右的正投影如图． 【变式8-1】．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 【变式8-2】．如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】见解析 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 【变式8-3】．如图，已知线段，投影面为P．      (1)当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影； (2)当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长； (3)在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，线段的正投影的长为2cm (3)画图见解析，线段的正投影的长为 【分析】（1）根据投影的作图方法作图即可； （2）根据投影的作图方法先作图，再根据平行投影的性质即可得到； （3）根据投影的作图方法先作图，再在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求； （2）解：如图②所示，即为所求； ∵平行于投影面P， ∴； （3）解：如图③所示，即为所求； 由题意得， ∴．    【点睛】本题主要考查了投影，解直角三角形，正确对应线段的投影是解题的关键． 题型9 利用平行投影求物高 例9．如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【答案】2.5米 【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，过点D作交于H，过点作，交于点，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米， 可得：， ， ， 米， （米， 故立柱的高为2.5米． 【变式9-1】．九（1）班的同学到郊外展开活动，在土坡旁看见一棵古树，班上同学很想知道古树的高．小王拿尺子量得古树在地面上的影子米，在斜坡上面的影子米，测得斜坡与地面成，同一时刻小李量得1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米．请你根据以上数据算出古树的高． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，平行投影，解直角三角形的应用．作于H，延长交于F，如图，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，由于同一时刻小李量得1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米，根据相似的性质得，可计算出，然后利用即可计算出． 【详解】解：作于H，延长交于F，如图， 在中，∵， ∴， ， ∵同一时刻小李量得1.5米的旗杆在地上面的影子长是2米， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即古树的高为． 【变式9-2】．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的影子落在墙上的长度为 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确地构造直角三角形． （1）连接，过点作的平行线即可； （2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可． 【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 【变式9-3】．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 题型10利用中心投影与相似解决生活问题 例10．如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上） (1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子； (2)求路灯O到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可． （1）连接、并延长，交点即为点，再连接并延长于底面的交点为，即为所求； （2）过作于点，设，根据得，据此求得，再根据可求得． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为路灯的位置，线段即为小明位于F处时的影子 （2）解：如图，过点O作于点H． ∵，，， ∴． ∴，． ∴，． 设，． 又∵，，，， ∴，， 解得，． 经检验，，是原方程的解． ∴路灯O到地面的距离为． 【变式10-1】．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】[数学思考]D；[解决问题] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题]根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； [解决问题]， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 【变式10-2】．如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置； （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 【变式10-3】．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【答案】(1)先变短后变长； (2)见解析 (3)路灯的高度是米． 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据光是沿直线传播的道理分析即可； （2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子； （3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长， 故答案为：先变短后变长； （2）解：如图，线段即为所求作影子； （3）解：如图，连接并延长交直线于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 即路灯的高度是米． 题型11利用正投影作图与计算 例11．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 【变式11-1】．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，． (1)BD的长为______． (2)如图2，当时． ①求的度数；（参考数据：，，，） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【答案】(1)250cm (2)①35°；② 【分析】（1）根据题意可得，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得，代入数据求解即可； （2）①过点作，根据，可得，根据，，即可求解； ②根据题意可知，则，根据求得，根据勾股定理可得，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得 ∴cm （2）①如图，过点作 cm， cm， ②如图，连接，过点作， 根据题意可知 伞能遮雨的面积为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键． 【变式11-2】．画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影． （1）正方体的一个面平行于投影面； （2）正方体的一个面倾斜于投影面，底面垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）当正方体在如图（1）的位置时，正方体的一个面及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形．正方形的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影是一个正方形． （2）当正方体在如图（2）的位置时，它的面和面倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形和；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段和．因此，正方体的投影是矩形，其中线段把矩形一分为二． 【详解】解：（1）如图（1），正方体的正投影为正方形，它与正方体的一个面是全等关系． （2）如图（2），正方体的正投影为矩形，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影． 【点睛】本题主要考查了正投影的应用，正确理解正投影的定义是解答本题的关键． 【变式11-3】．如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm. (1)画出三棱柱在投影面P上的正投影; (2)求出三棱柱的表面积. 【答案】(1)画图见解析；(2)见解析. 【分析】（1）根据正投影的画法即可画出； （2） 【详解】(1)三棱柱在投影面P上的正投影如图. (2)∵CD∥MH，∴CD=MH. 又∵MH=2 cm，∴CD=2 cm. 在Rt△ADC中，设AD=x cm， 则AC=2x cm，又CD=2 cm，由勾股定理，解得AC=cm. 三棱柱表面积S=2S△ABC+3S矩形ACC'A'，CC'=HK=6 cm， 因此，三棱柱表面积S=2××2×+3×6× = (cm2). 【点睛】本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法. 题型12与盲区相关的几何计算 例12．如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位． 【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区． （2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可． 【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区． (2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H. 由题意，得∠MON＝90°. ∵OG⊥MN，OH⊥EF， OG＝OH＝15， ∴∠EOF＝∠MON＝90°. ∴r＝＝15. ∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)． ∴1125÷0.8≈1406. ∴A票区约有1406个座位． 【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【变式12-1】．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°. 【分析】（1）连接点A与M楼的顶点，则可得出能否看到后面那座高大的建筑物； （2）构造直角三角形，设AM=x，则根据，可得出AM的长度，继而也可求出视角α的度数． 【详解】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内 　(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°. 【点睛】此题考查了盲区、视角的知识，关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【变式12-2】．如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮． (1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)． (2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离． 【答案】（1）详见解析；（2）点C到胜利街口的距离CM为24 m. 【分析】（1）根据生活常实作出图形； （2）由相似三角形性质求出. 【详解】解　(1)如图所示，CP为视线，点C为所求位置． (2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M， ∴∠CMD＝∠PND＝90°. 又∵∠CDM＝∠PDN， ∴△CDM∽△PDN， ∴＝. ∵MN＝30 m，MD＝12 m， ∴ND＝18 m. ∴＝， ∴CM＝24(m)． ∴点C到胜利街口的距离CM为24 m. 【点睛】考查了视点、视角和盲区的知识，同时考查了学生综合运用知识解决现实生活中问题的能力． 【变式12-3】．如图,正方形ABCD的边长为4,M,N,P分别为AD,BC,CD的中点.现从点P观察线段AB,当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时,l将阻挡部分观察视线,在△PAB区域内形成盲区.设l的左端点从M点开始,运动时间为t秒(0≤t≤3).设△PAB区域内的盲区面积为y(平方单位). (1)求y与t之间的函数关系式; (2)请简单概括y随t的变化而变化的情况. 【答案】（1）当0≤t≤1时,y=3t；当1<t≤2时,y=3；当2<t≤3时,y=9-3t；（2）1秒内,y随t的增大而增大;1秒到2秒,y的值不变;2秒到3秒,y随t的增大而减小. 【分析】（1）根据正方形的性质得AM=2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：当0≤t≤1时，梯形的上底为t，则下底为2t；当1＜t≤2时，梯形的上底为1，下底为2；当2＜t≤3时，梯形的上底为1-（t-2）=3-t，则下底为2（3-t），然后根据梯形的面积分别计算出三中情况下的梯形的面积即可； （2）根据一次函数的性质求解． 【详解】解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,点M,N,P分别为AD,BC,CD的中点,∴AM=2,盲区为梯形,且上底为下底的一半,高为2, 当0≤t≤1时,y=(t+2t)·2=3t, 当1<t≤2时,y=(1+2)×2=3, 当2<t≤3时,y=[3-t+2(3-t)]·2=9-3t. (2)1秒内,y随t的增大而增大;1秒到2秒,y的值不变;2秒到3秒,y随t的增大而减小. 【点睛】本题考查了视点、视角和盲区:把观察者所处的位置定为一点,叫视点.人眼到视平面的距离视固定的(视距),视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角.视线到达不了的区域为盲区. 例13．小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】(1) (2)①见解析；②3 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式13-1】．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 【答案】(1)， (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，而， ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【变式13-2】．如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌． 监视器的盲区在哪一部分？ 已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度． 【答案】米． 【分析】（1）根据盲区的定义，作出盲区，即可得出监控器监控不到的区域． （2）根据盲区的定义可确定监视器盲区的长度为BC的长度，然后利用比例关系可求出BC的长度． 【详解】（1）把墙看做如图的线段，则如图，ABC所围成的部分就是监控不到的区域： （2）由题意结合图形可得：BC为盲区， 设BC=x，则CD=x+5， ∴， 解得：x=5． 答：盲区在地面上的长度是5米． 【点睛】本题主要考查了结合解直角三角形考查了盲区的知识，找出盲区是关键，难度适中． 【变式13-3】．如图，边长为的正方体其上下底面的对角线、与平面H垂直． (1)指出正方体在平面H上的正投影图形； (2)计算投影的面积． 【答案】(1)矩形 (2) 【分析】（1）利用几何体的摆放角度可得正方体在平面H上的正投影图形是矩形； （2）首先利用勾股定理计算出长，再利用矩形的面积公式计算出投影的面积． 【详解】（1）解：正方体在平面H上的正投影图形是矩形； （2）∵正方体边长为， ∴， ∴ ∴投影的面积为． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，正投影，关键是正确计算出正方体底面对角线长度． 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 2．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 3．如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键． 根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合要求的选项． 【详解】路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：l随s的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随s的增大而增大， 小红的行走过程是由A走向C，再走回A， 故选：C． 4．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影，关键是正确确定投影中心位置．根据中心投影的意义，画出图形即可确定亮灯窗口． 【详解】解：如图所示，亮灯窗口为3楼窗口； 故答案为：C． 5．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 6．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 7．如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影、位似图形的性质，解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据中心投影的图形性质，将图形中高的比转化为相似比解答． 【详解】解：如图所示，垂直于水平面，依题意得： ，， 正方形与阴影相似，相似比为：． 由于面积比等于相似比的平方， 故地面上阴影部分的面积为． 故选A． 8．当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这是因为（ ） A．汽车开的很快 B．盲区减小 C．盲区增大 D．无法确定 【答案】C 【分析】前方哪些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面哪些矮一些的建筑物后面去了，说明看到的范围减少，即盲区增大． 【详解】解：根据题意我们很明显的可以看出“沉”下去的建筑物实际上是到了自己的盲区的范围内． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大小和方向不同，依此进行分析． 【详解】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长， ∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 10．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”． 他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点A和点B所在位置是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约1600km，在A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为 ，据此可以估算地球的周长约为 km． 【答案】40000 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，的长度为， ∴ 设地球的半径为， ∴ 解得：， ∴地球的周长为， 故答案为：40000． 11．如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 12．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 13．如图，一只小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在 处才不会被小猫发现． 【答案】，，， 【分析】观察图形，利用视角和盲区的知识，只有老鼠在盲区才不会被小猫发现． 【详解】解：老鼠要想不被猫发现就必须在猫的盲区内，小猫的盲区应该有B、G、A、E点，因此老鼠呆在这四点才不会被猫发现． 故答案为，，， 【点睛】本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是． 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线． 在图中画出表示大树高的线段． 若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；（2）利用AB，DE，确定大树的高，（3）运用视角连接AD，即可得出能否看见大树． 【详解】解：根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；如图所示：如图所示，小明的眼睛近似地看成是点，小明不能看见大树． 【点睛】本题考查平行投影，视点、视角和盲区. 15．地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆．为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为米，身高为米的学生的影长为米．依据这些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)平行 (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影； （2）设旗杆的高度为x米，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的， 故答案为：平行． （2）解：设旗杆的高度为x米， 根据题意可得， 解得：米， 故旗杆的高度为米． 16．北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是______（填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是__________（填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变______（填“长”或“短”），白昼时间变______（填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图中的______（填序号），此过程太阳的直射点向______移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是______前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是______（填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 【答案】（1）正北；（2）先变短再变长；自转；（3）长；短；③；南；（4）公转；（5）夏至日；冬季 【分析】本题主要考查了平行投影，解题的关键是熟练掌握影子的画法． （1）根据影子的画法进行判断即可； （2）根据图形进行回答即可； （3）根据表格记录数据进行解答； （4）根据地理知识进行解答即可； （5）根据地球公转特点进行解答即可． 【详解】解：（1）正午12点，竹竿影子的朝向是正北； （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是先变短再变长；此现象与地球的自转有关； （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变长，白昼时间变短，测量期间太阳直射点最接近图中的③，此过程太阳的直射点向南移动； （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的公转有关； （5）B图中影子比较短，因此测绘的时间可能是夏至日前后，假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是冬季． 17．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 18．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 【答案】(1)52 (2)塔的高度为 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键： （1）根据同一时刻，同一地点，不同物体的物高之比等于影长之比，进行求解即可； （2）设塔的高度为，解直角三角形，分别求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：52； （2）设塔的高度为， 在中，， 在中，， ∴， 解得：； 答：塔的高度为． 19．项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 【答案】(1) (2)抛物线的函数表达式 (3)①；② 【分析】本题平行投影的应用，二次函数的实际应用； （1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可； （2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可； （3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到； ②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点， ∴，， 设抛物线的函数表达式，代入，，可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）解：①由题意可得， ∵， ∴， 当时，解得， ∴，， ∴； ②由题意可得“弓形”的面积为， 四边形的面积为， ∴． 20．为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) (3)旗杆的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； （3）如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $