1.2.3 反比例函数图象与性质的应用题型 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第一章 反比例函数 2.3反比例函数图象与性质的应用题型 题型1 利用反比例函数解与旋转相关的问题 1.如图,在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b的图象与函数 的图象相交于点 B(1，6)，并与x轴交于点A.点C是线段AB上一点,△OAC与△OAB的面积比为2:3. (1)求k和b的值; (2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点 C的对应点 落在 x轴正半轴上，得到判断点 是否在函数 0)的图象上，并说明理由. 题型2 利用反比例函数解与轴对称相关的问题 2.如图,已知直线l:y=x+4与反比例函数 的图象交于点 A(-1,n),直线经过点A,且与关于直线x=-1对称. (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积. 题型3 利用反比例函数解与平移相关的问题 3.如图，反比例函数y= 的图象经过点(2,4)和点A(a,2). (1)求该反比例函数的表达式和a的值. (2)若点 A 先向左平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，仍落在该反比例函数的图象上，求m的值. 题型4 利用反比例函数解与中心对称相关的问题 4.已知一次函数y₁=ax-1(a为常数，a≠0)的图象与x轴交于点 A，与反比例函数的图象交于B，C 两点，点B的横坐标为-2. (1)求出一次函数的表达式并在图中画出它的图象； (2)求出点 C的坐标，并根据图象写出当y₁＜y₂时对应自变量x的取值范围； (3)若点 B与点 D关于原点中心对称，求出△ACD的面积. 题型5 利用反比例函数解与图象交点相关的问题 5.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于A(2,3),B(6,n)两点. (1)求一次函数的表达式； (2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于点 M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求 的值. 题型6 利用反比例函数解与最值相关的问题 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边 OC,OA 分别在坐标轴上,且OA =2,OC=4，连接OB.反比例函数 的图象经过线段 OB 的中点 D,并与AB,BC分别交于点 E,F. 一次函数y=k₂x+b的图象经过E,F 两点. (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)点 P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时，点P的坐标为_. 题型7 利用反比例函数解与不等式相关的问题 7.如图，一次函数y₁=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 为常数且m≠0)的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式 的解集是( ) A. x<-1 B.-1<x<0 C. x< -1或0<x<2 D.-1<x<0或x>2 8.如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数 (n为常数，且n≠0)的图象在第二象限交于点 C. CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE 的面积； (3)直接写出不等式 的解集. 题型8 利用反比例函数解与图形面积相关的问题 9.如图,矩形ABCD的两边AB,BC 的长分别为3,8,C,D在y轴上,E是AD的中点,反比例函数 且x<0)的图象经过点 E,与BC交于点 F,且CF-BE=1. (1)求反比例函数的表达式； (2)在y轴上找一点P，使得 矩形ABCD,求此时点 P的坐标. 题型9 利用反比例函数解与一次函数、几何综合的问题 10.如图,一次函数y=x+1与反比例函数 的图象相交于A(m,2),B两点,分别连接OA,OB. (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积;第10题微课 (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形? 若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.【解】(1)∵函数y=x+b的图象与函数 0)的图象相交于点 B(1,6),. ∴b=5,k=6. (2)点A'不在函数 的图象上. 理由如下： 如图,过点 C作CM⊥x轴于M,过点 B作 BN⊥x轴于N,过点 A'作A'G⊥x轴于G. ∵点B(1,6),∴ON=1,BN=6. ∵△OAC与△OAB 的面积比为2:3, 即点C的纵坐标为4. 把y=4代入y=x+5,解得x=-1,∴C(-1,4). ∵y=x+5中,当y=0时,x=-5,∴A(-5,0).∴OA=5. 由旋转的性质得 在Rt△A'OG中, ∴点A'的坐标为 ∴点A'不在函数 的图象上. 2.【解】(1)∵直线 l:y=x+4经过点A(-1,n),∴n=-1+4=3,∴点A的坐标为(-1,3). ∵反比例函数 的图象经过点A(-1,3),∴k=-1×3= -3, ∴反比例函数的表达式为 (2)∵直线经过点A,且与关于直线x=-1对称,∴设直线的表达式为y=-x+m, 把A(-1,3)的坐标代入得3=1+m,解得m=2,∴直线的表达式为y=-x+2. 将直线 、直线 与x轴的交点分别记为B、C，易知B(-4,0),C(2,0). 将直线 与y轴的交点记为D,易知D(0,2), ∴图中阴影部分的面积为 3.【解】(1)将点(2,4)的坐标代入 得k=2×4=8，∴反比例函数的表达式为 把点A(a，2)的坐标代入 得 ∴a=4,∴A(4,2). (2)将点A先向左平移m个单位，再向下平移m个单位后得点(4-m,2-m),把点 (4-m,2-m)的坐标代入 得(4-m)(2-m)=8,解得 m=0(舍去)或m=6.则m的值为6. 4.【解】(1)∵点B的横坐标为-2且在反比例函数的图象上， ∴此时 ∴点B的坐标为(-2,-3). ∵点B(-2,-3)在一次函数y₁=ax-1的图象上,∴-3=a×(-2)-1,解得a=1, ∴一次函数的表达式为y₁=x-1.∴x=0时,y₁=-1;x=1时,y₁=0. ∴图象过点(0,-1),(1,0). 函数图象如图所示. (2)解方程组 得 或 ∵点B的坐标为(-2,-3),∴点C的坐标为(3,2), 由图象可得，当y₁<y₂时对应自变量x的取值范围是x<-2或0<x<3. (3)∵点B(-2,-3)与点 D关于原点中心对称, ∴点D(2,3).作DE∥y轴交AC于点E,如图所示. 将x=2代入y₁=x-1,得y₁=1,∴E(2,1). 即△ACD的面积是2. 5.【解】(1)∵反比例函数 的图象过A(2,3), ∴m=6，∴反比例函数的表达式为 将B(6，n)的坐标代入上式，得 . B(6,1). 将A(2,3),B(6,1)的坐标分别代入y=kx+b,得 解得 ∴一次函数的表达式为 (2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线， 则直线的表达式为 当y=0时, 解得x= -8; 当x=0时,y=-4. ∴设M(-8,0),N(0,-4),∴OM=8,ON=4, ∴在Rt△MON中, 将 与 联立，得 解得 ∴设P(-6,-1),Q(-2,-3), 6.【解】(1)∵四边形 OABC为矩形,∴OA=BC=2. 又∵OC=4,∴B(4,2). ∵D是OB的中点,∴D(2,1). ∵反比例函数 的图象经过点 D，∴k₁=2×1=2. ∴反比例函数的表达式为 对于 令y=2,则x=1;令x=4,则 ∴点E的坐标为(1,2),点 F的坐标为 将E，F的坐标分别代入y=k₂x+b,得 解得 ∴一次函数的表达式为 7. C【点拨】由函数图象可知，当一次函数y₁=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数 (m为常数且m≠0)的图象上方时，x的取值范围是x<-1或0<x<2,∴不等式 的解集是x<-1或0<x<2,故选C. 8.【解】(1)∵OB=2OA=3OD=12,∴点B(0,12),OA=6,OD=4.∴点A(6,0),点D(-4,0). ∵CD⊥x轴,y轴⊥x轴,∴OB∥CD.易知△ABO∽△即 则点C坐标为(-4,20),∴n=-4×20=-80, ∴反比例函数表达式为 把点 A(6,0),B(0,12)的坐标分别代入y=kx+b得 解得 即一次函数表达式为y=-2x+12. (2)当 时，解得x₁=10,x₂= -4. 当x=10时,y=-8,∴点E的坐标为(10,-8). 10=140. (3)不等式 的解集为-4≤x<0或x≥10. 9.【解】(1)∵E是AD的中点,∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理得 ∵CF-BE=1,∴CF=6.∴F的横坐标为-6. 设F(-6,m),则E(-4,m+3). ∵E，F都在反比例函数的图象上，∴-6m=-4(m+3),解得m=6. ∴反比例函数的表达式为 ∴CP=8. 易知 C(0,6),∴P(0,14)或P(0,-2). 10.【解】(1)把A(m,2)的坐标代入y=x+1,得2=m+1,解得m=1,∴A(1,2), 把A(1,2)的坐标代入 得 ∴反比例函数的表达式为 (2)令 解得x=1或x=-2, 对于y=x+1,当x=-2时,y=-1,即B(-2,-1),当x=0时,y=1,∴OC=1, (3)存在,点P的坐标为(-1,1)或(-3,-3)或(3,3). 1 学科网（北京）股份有限公司 $