1.2反比例函数的图象与性质（2）（七大题型提分练）数学鲁教版五四制九年级上册

1.2反比例函数的图象与性质（2）（七大题型提分练） 题型一、反比例函数图象与性质的基本判断 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（  ） A．点在它的图象上 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象位于第一，三象限 2．（23-24九年级·四川宜宾·期中）函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为；②当时，；③当时，；④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．其中正确结论的序号是（    ）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（23-24九年级·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 4．（2024·江苏盐城·一模）如果某函数图象上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“玉函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做该函数的一对“玉点”．根据该约定，下列关于的函数：；；；中，是“玉函数”的有 （请填写序号）． 题型二、由反比例函数的对称性求点的坐标 5．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 8．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 题型三、由比例系数求特殊图形的面积 9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 10．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 12．（2024九年级·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 题型四、根据图形的面积求比例系数 13．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（    ） A． B．4 C．2 D． 14．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 15．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 16．（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值； (2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”） 题型五、求反比例函数的解析式 17．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 18．（22-23九年级·浙江丽水·期末）已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 19．（2024·广东广州·二模）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求的面积． 20．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 题型六、反比例函数与一次函数问题 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）若一次函数和反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 22．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 23．（2024·湖北咸宁·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点在轴上，若，求点的坐标． 24．（2024·浙江杭州·二模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 题型七 、反比例函数与几何问题 25．（21-22九年级上·江西景德镇·期末）双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 26．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 27．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 28．（2019·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形的边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点D． (1)求双曲线的解析式； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作轴于点Q，记的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围． 1．（2024·山西晋中·三模）已知反比例函数，则下列说法正确的是（　　） A．当时，y随x的增大而增大 B．当点在该反比例函数的图象上时，则点也在该反比例函数的图象上 C．点和点在该反比例函数的图象上，当时， D．该反比例函数的图象关于轴对称 2．（2024·湖北宜昌·二模）对于反比例函数，给出下列结论：①其图像经过点；②其图像与直线一定有两个交点；③当时，y的取值范围是；④若，是其图像上的两点，且，则点A，B一定不在同一象限． 其中正确的选项是（    ）． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是(    )    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接AB，且轴．点是轴上一点，连接PA，PB，若，，则与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为 （请用“”连接）． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 8．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点、在反比例函数上，以、为邻边作平行四边形，点恰好落在反比例函数上，若四边形的面积是，则的值是 ．    9．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 10．（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 11．（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024·河南南阳·三模）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 13．（2024·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2反比例函数的图象与性质（2）（七大题型提分练） 题型一、反比例函数图象与性质的基本判断 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）关于反比例函数，下列说法中不正确的是（  ） A．点在它的图象上 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象位于第一，三象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、当时，则，所以点在它的图象上，故不符合题意； B、由反比例函数可知图象关于原点中心对称，故不符合题意； C、当时，随的增大而减小，故符合题意； D、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级·四川宜宾·期中）函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为；②当时，；③当时，；④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．其中正确结论的序号是（    ）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①将两函数解析式组成方程组，即可求出点坐标；②根据函数图象及点坐标，即可判断时，与的大小；③将代入两函数解析式，求出的值，即为的长；④根据一次函数与反比例函数的图象和性质即可判断出函数的增减性．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道函数图象交点坐标与函数解析式组成的方程组的解之间的关系是解题的关键． 【详解】解：①将组成方程组得， ， 由于， 解得， 故点坐标为，故①正确． ②由图可知，时，故②错误，； ③当时，；，则，故③正确； ④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小，故④正确． 可见，正确的结论为①③④． 故选：A． 3．（23-24九年级·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．根据反比例函数的图像与性质逐一判断． 【详解】解：在反比例函数中，；图像不与坐标轴相交， ， 图像位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，； 正确的说法有个， 故答案为：． 4．（2024·江苏盐城·一模）如果某函数图象上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“玉函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做该函数的一对“玉点”．根据该约定，下列关于的函数：；；；中，是“玉函数”的有 （请填写序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图象上点的特征，设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为，再根据“玉函数”的定义逐项判断即可得到答案，熟练掌握图象上点的特征是解题的关键． 【详解】解：设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为， 当时，， ∴当时，，即也在图象上，故符合题意； 当时，， ∴当时，，即不在图象上，故不符合题意； 当时，， ∴当时，，即在图象上，故符合题意； 当时，， ∴当时，，即不在图象上，故不符合题意； 综上可知：是“玉函数”， 故答案为：． 题型二、由反比例函数的对称性求点的坐标 5．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径． 【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点， ∴可知圆的半径， ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故选：C． 7．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）已知点为函数图象上一点，点为该函数图象上不与点重合的另一个点，且满足，则所有可能的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得点坐标． 【详解】解：点的坐标为， 根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，可得第一象限内点坐标为，在第三象限内点坐标为或， 点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标满足反比例函数的解析式． 8．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 题型三、由比例系数求特殊图形的面积 9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 【答案】D 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 10．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积． 【详解】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 11．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 12．（2024九年级·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 题型四、根据图形的面积求比例系数 13．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵反比例函数的图象经过点B，， ∴， 故选：B． 14．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比函数的几何意义，双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据、在双曲线上得到，再根据点是的中点可推出，，得到，从而得到，最后由，得到，解方程即可． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意可知， 为斜边的中点 为的中位线， ，即，， 中为底时与中为底时等高 双曲线的解析式为，即 ， 由 得： 解得： 故选：A． 15．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何意义解答即可． 【详解】解：连接、，由的几何意义， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ， ， ， ． 故答案为：． 题型五、求反比例函数的解析式 16．（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值； (2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】(1) (2)假 【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键． （1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得； （2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可． 【详解】（1）过点E作轴于点C，作轴于点D， ∵是“美好点”， ∴， 解得， ∴， 代入反比例函数， 得， （2）假设是“美好点”， 则， ∴，矛盾， ∴不是“美好点”， ∴原命题是假命题． 故答案为：假． 17．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，熟记相关结论是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）分别求出当和时的函数值即可求解； （3）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得： ， ∴ （2）解：由（1）得：， 当时，； 当时，； ∴ （3）解：∵， ∴反比例函数在一、三象限，随的增大而减小 ∵， ∴ 18．（22-23九年级·浙江丽水·期末）已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）观察表格中x，y的变化规律即可得出y关于x的函数表达式； （2）当时，，当时，，根据该函数在每一象限内，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 当时，． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，正确进行计算是本题解题关键． 19．（2024·广东广州·二模）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标和点为中点，求出的值，根据旋转得出点的坐标，根据待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）作轴于，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，求得，，，得到点的坐标，过作轴于，根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点为中点， ∴，， 将绕着点逆时针旋转得到， 即，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， 故将代入，求得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：作轴于，如图： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于，如图： ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求反比例函数解析式，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，割补法求几何图形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格见解析 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 题型六、反比例函数与一次函数问题 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）若一次函数和反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据题意画出函数图象，即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数图象，如图所示： 由图得，当一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时， 则有：或，当一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，则有：或， 当时，不等式的解集即为的解集为， 当时，不等式的解集即为的解集为， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 22．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解． 【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，    设点，则， ∵于点N， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， 解得，， ∴点； 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， ∴点，则， ∵， 则， 故选：C． 23．（2024·湖北咸宁·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）将代入，可求得的值，即可确定反比例函数解析式为；把代入并求解，即可确定点坐标，设一次函数的解析式为，然后将点、坐标代入，求解即可求得一次函数的解析式； （2）首先求得，结合，可解得，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得，经检验，是方程的解， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线， 当时，可得，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 24．（2024·浙江杭州·二模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)点坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得，， 解得， 所以一次函数解析式为． （2）设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为，． 点在函数图象上， ， 解得，， 因为点坐标为， 所以舍去， 所以点坐标为． 题型七 、反比例函数与几何问题 25．（21-22九年级上·江西景德镇·期末）双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【答案】D的坐标为（8，6） 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是利用反比例函数解析式求出点的坐标． 26．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 27．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正方形的性质及已知，求得正方形的边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图像上，即可求得k的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）中所求，可得长度，即点F的横坐标，从而求得点F的纵坐标，最后求出的长． 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 由勾股定理得， ． ， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，即反比例函数的解析式为． （2）解：， ，即点的横坐标为7． 由反比例函数的解析式，得点的纵坐标为． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质． 28．（2019·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形的边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点D． (1)求双曲线的解析式； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作轴于点Q，记的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查反比例函数的图象，运用函数图象经过点求函数解析式是解答本题的关键．根据反比例函数图象经过线段的中点以及知道点坐标用待定系数法求解即可． （2）本题主要考查动点在反比例函数图象上求面积问题，解答本题关键在于用合理设出点的坐标，用坐标之差表示出三角形边长．根据反比例函数解析式已知，合理设出点与的坐标，用坐标表示出三角形的边长再求面积．动点不与点D重合，需要分情况考虑动点在D的上方和下方． 【详解】（1）解：∵，点在轴上，且反比例函数经过的中点，将点代入反比例函数解析式得， 解得：， ； （2）①当P在线段的上方时如图1，此时， ∵点P在反比例函数的图象上运动， ∴设， ∴； ②当P在线段下方运动时，此时，如图2， 同理 综上 1．（2024·山西晋中·三模）已知反比例函数，则下列说法正确的是（　　） A．当时，y随x的增大而增大 B．当点在该反比例函数的图象上时，则点也在该反比例函数的图象上 C．点和点在该反比例函数的图象上，当时， D．该反比例函数的图象关于轴对称 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，灵活运用反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：A、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故A选项错误； B、反比例函数图像上的点关于原点对称、关于对称，即B选项正确； C、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故C选项错误； D、反比例函数图像上的点关于原点对称、关于对称，即D选项错误． 故选B． 2．（2024·湖北宜昌·二模）对于反比例函数，给出下列结论：①其图像经过点；②其图像与直线一定有两个交点；③当时，y的取值范围是；④若，是其图像上的两点，且，则点A，B一定不在同一象限． 其中正确的选项是（    ）． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数图像上点的坐标特点及函数的增减性进行逐一分析解答． 【详解】解：①当时，，所以，其图像经过点，故①正确， ②令，整理得，此时，其图像与直线一定有两个交点，故②正确， ③当时，y的取值范围是或；故③错误； ④， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， 当，时，，此时点A，B在同一象限；当，时，，此时点A，B一定不在同一象限，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选：D 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是(    )    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的性质；将代入，得，进而求得，即可判断A选项；根据函数图象可得反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，即可判断B选项；根据交点的横坐标结合函数图象即可判断C选项；连接、，设直线与轴交于点，将代入得出，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：将代入，得，则， 将代入 得，则 ∴A. 两图象的交点的坐标为，故该选项正确，不符合题意； B. 一次函数随x的增大而增大，反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， 根据函数图象可得，若，则的取值范围是或，故该选项正确，不符合题意； D. 连接、，设直线与轴交于点，    将代入，则， ∴，即， ∵，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，首先设，表示出，再根据都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求解，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键． 【详解】解：设， ∵矩形， ∴， ∵为的中点， ∴也为的中点， ∵点在轴上， ∴的纵坐标为， ∴， ∵为的中点， ∴点， ∴点， ∵的面积为，， ∴， ∴， 解得， 故选：． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接AB，且轴．点是轴上一点，连接PA，PB，若，，则与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．设点A的坐标为，由轴，得点，根据，得，由此解出，进而表示点B的坐标，再根据得由此解出，进而得点B，然后利用待定系数法求出直线的表达式，据此可得点C的坐标， 【详解】点A在反比例函数的图象上， 设点A的坐标为， 轴， 点B的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， ， ， ， 解得：， 点B的坐标为， 点， ， ， ， ， 整理得：， ， 由，解得， 由，解得，不合题意，舍去 当时，点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将点B的坐标为，代入得， ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时， 点C的坐标为 故选：C 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为 （请用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 则，，的大小关系为， 故答案为：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 8．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点、在反比例函数上，以、为邻边作平行四边形，点恰好落在反比例函数上，若四边形的面积是，则的值是 ．    【答案】 【分析】连接，交于点，作轴，轴，轴，设点，根据平行四边形的性质及三角形的面积公式可得点的坐标，利用中点坐标公式可得点的坐标即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，交于点，作轴，轴，轴， ∵反比例函数解析式为， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，点， ∵四边形是平行四边形，四边形的面积是， ∴， ∴， 整理得， 即， ∴或（不合题意舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴点，， ∴， ∵点恰好落在反比例函数上， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用． 9．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 10．（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 三、解答题 11．（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用： （1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式； （2）先由直线解析式求得，根据的面积的面积的面积求得的面积； （3）根据题意得到，即，即可求得的长，从而求得P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 故反比例函数的表达式为：； 将点代入得：， 故点， 将点，代入得 ， 解得， 故一次函数解析式为； （2）解：由一次函数可知，当时，当时， 所以，， 则的面积的面积的面积； （3）解：存在，点P的坐标为或； ∵的面积等于的面积的3倍． ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 12．（2024·河南南阳·三模）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)10 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； （3）解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 13．（2024·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据的面积为2和反比例函数图象的位置，可以确定m的值，代入点坐标即可求出； （2）根据图象可直接写出； （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 【详解】（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）由（1）知，， 结合图象可知的解集为或． （3）如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时取得最大值，最大值为 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， ， 故当取得最大值时，点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质、轴对称的性质和应用，利用待定系数法求函数解析式，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． ( 49 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$