专题05 平面向量【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题05 平面向量 一、填空题 1. （2025上海市徐汇中学高三三模）空间向量的单位向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【详解】，，. 故答案为： 2. （2025上海宝山区高三三模）已知，则在上的数量投影是__________. 【答案】 【解析】 【分析】向量在上的数量投影为，先求出和的值，再代入公式计算. 【详解】已知，，可得. 已知，可得. 根据向量投影的定义，在上的数量投影为，将，代入可得： . 故答案为：. 3. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算及投影向量的概念求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 4. （2025华东师大三附中高三三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 5. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求. 【详解】设与的夹角为，则， 因为在上的投影向量为，可得， 故，即与的夹角为. 故答案为：. 6. （2025华东师范二附中高三三模）已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 7.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷） 已知空间向量，，共面，则实数______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 8. （2025七宝中学高三三模）已知两个单位向量满足则的夹角为______ 【答案】 【解析】 【分析】两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角. 【详解】两边平方得， 设的夹角为， 即， 因为为单位向量，所以，解得， 因为，所以. 故答案为： 9. （2025届上海市大同中学高三三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 11. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知向量、满足，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. 12. （2025上海市崇明中学高三三模）已知向量，满足，，，则等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解. 【详解】因为向量，满足，，， 所以，解得， 所以， 故答案为: . 一、填空题 13.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 【答案】16 【解析】 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 14. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积定义求解作答. 【详解】依题意，在上的投影向量， 所以. 故答案为：0. 15.（2025杨浦区高三5月质量检测） 中，，若在上的投影为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点， 因为向量在上的投影为，可得，所以， 又因，则. 故答案为：. 16. （2025上海市育才中学高三三模）在中，，，平分线交BC于点D，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【详解】在中，，，则，又平分，即有， 因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 17. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：. 18.（2025行知中学高三6月模拟） 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】向量与向量夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可． 【详解】由题意， 与向量的夹角为钝角，则， 即，解得， 又由，得，∴所求的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形． 19. （2025上海市崇明中学高三三模）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、选择题 20. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 21. （2024学年宜川中学高三模拟）已知中，，且，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，确定点的轨迹，借助圆的性质求出最大值. 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 22. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 23. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 24. （2025届上海市大同中学高三三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 25.（24-25松江高三模拟）已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件代入，分别求得，再利用几何意义求的最小值. 【详解】． ． ,． 的几何意义为点到，的距离之和． 关于轴的对称点坐标为， . 故选：B． 26.（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决. 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 27.【闵行2023二模12】已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系， 则取，设， 结合已知条件可得，， 利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【解析】因为，所以 即，于是有 因为，所以 法一：如图所示，在平面直角坐标系中取， 则，设 ，即 因为，所以 ，解得 则 对称轴：，且 故的取值范围是 法二：如图，得，故四边形为菱形 设，则 ，即，即，由 当时，；当时， 28.已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解. 【详解】由题意，令，，所以，， 所以，由向量加法、减法的几何意义可得， 所以， 所以，当且仅当，且时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 29已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 30.（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用辅助角与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围． 【详解】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 31.（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　　． 【分析】设＝（2，0），＝（x，y），求出点A的轨迹是圆，再由＝λ+μ计算，将其化简为关于λ的二次函数，由此得到||的最小值为m与x的关系，再利用导数求其最大值． 【解答】解：由题意设＝（2，0），＝（x，y）， 因为|+|＝1，所以＝1，即（x+2）2+y2＝1， 所以点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，且x∈[﹣3，﹣1]． 因为λ+2μ＝1，所以＝λ+μ＝（λx，λy）+（2μ，0）＝（λx+2μ，λy）＝（λx+1﹣λ，λy）， 所以＝（λx+1﹣λ）2+（λy）2＝[（x﹣1）2+y2]λ2+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1， 因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣6x﹣2＞0，所以关于λ的二次函数开口向上， 当λ＝时，取得最小值，所以m2＝（﹣6x﹣2）•+2（x﹣1）•+1＝•， 令y＝f（x）＝（x∈[﹣3，﹣1]），则f′（x）＝， 所以函数f（x）在[﹣3，﹣]上单调递增，在（﹣，﹣1]上单调递减， 所以f（x）的最大为f（﹣）＝＝，即m2≤×＝， 所以m的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是难题． 32.（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为 　　． 【答案】 【详解】因为， 所以， 如图所示，过点作于，过点作于， 因为的面积是的面积的倍，所以，从而， 在的两边同时点乘， 得， 又， 从而，即， 整理可得， 所以， 当且仅当时取等号，此时的最大值为， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题05 平面向量 一、填空题 1. （2025上海市徐汇中学高三三模）空间向量的单位向量的坐标是__________． 2. （2025上海宝山区高三三模）已知，则在上的数量投影是__________. 3. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 4. （2025华东师大三附中高三三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 5. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． 6. （2025华东师范二附中高三三模）已知向量，若，则_________． 7.（2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷） 已知空间向量，，共面，则实数______ 8. （2025七宝中学高三三模）已知两个单位向量满足则的夹角为______ 9. （2025届上海市大同中学高三三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________ 11. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知向量、满足，，，则________． 12. （2025上海市崇明中学高三三模）已知向量，满足，，，则等于____________． 一、填空题 13.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 14. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则________． 15.（2025杨浦区高三5月质量检测） 中，，若在上的投影为．则______． 16. （2025上海市育才中学高三三模）在中，，，平分线交BC于点D，若，则______． 17. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 18.（2025行知中学高三6月模拟） 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 19. （2025上海市崇明中学高三三模）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题 20. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 21. （2024学年宜川中学高三模拟）已知中，，且，，则的最大值为______. 22. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 23. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____. 24. （2025届上海市大同中学高三三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 25.（24-25松江高三模拟）已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26.（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 27.【闵行2023二模12】已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 . 28.已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 29已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 30.（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 31.（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　　． 32.（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $