专题04 复数 【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题04 复数 一、填空题 1. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若复数在复平面内对应的点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，复数与复平面内点的一一对应关系，得出复数虚部. 【详解】由题意知，虚部为1. 故答案为：1. 2.（2025上海市徐汇中学高三三模） 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数相等可得答案. 【详解】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 3. （2025华东师大三附中高三三模）复数的虚部是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即得. 【详解】， 故复数的虚部是. 故答案为： 4. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由复数的乘法运算与纯虚数的概念求解即可 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 故答案为：2 5．（2023·上海奉贤·统考一模）若，其中是虚数单位，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】因为，则，即， 所以. 故答案为： 6. （2025上海市崇明区高三三模）若复数（是虚数单位），则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【详解】复数，则， 所以. 故答案为： 7. （2025届上海市大同中学高三三模）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 8. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出，再根据复数模的公式计算可得结果. 【详解】因为，则. 所以. 故答案为： 9. （2025建平中高三下学期三模）复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为： 10. （2025七宝中学高三三模）已知为虚数单位，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得，可求. 【详解】，故. 故答案为：. 11.（2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习） 设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 12. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 13. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 14. （2024学年宜川中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数模的运算有且，即可得. 【详解】由，则，故. 故答案为： 15.（2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习） 已知i为虚数单位，复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法运算法则可得，代入模长公式可得. 【详解】由可得， 所以 故答案为： 16. （2025行知中学高三6月模拟）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 【答案】和 【解析】 【分析】由韦达定理构造方程，再求解方程即可. 【详解】设这两个数分别是，则， 因此这两个数是方程的两个根， 整理得，解得， 所以这两个复数为和． 故答案为：和 17. （2025上海市格致中学高三三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 18 （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可得，进而可得，再根据复数的乘法进行运算即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则， 所以 故答案为：. 19.（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案. 【详解】由题意是关于的实系数方程的一个根， 则，即， 即得， 故， 故答案为： 二、选择题 20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题知， 复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为， 故选：B. 21．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是纯虚数，是实数，则（    ） A．－ B． C．－2 D．2 【答案】A 【分析】由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数. 【详解】由题意设， 则， 因为是实数，所以，得， 所以， 所以， 故选：A. 22．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出，最后确认是充要条件. 【详解】依题意，， ， 故， 若该式为纯虚数，则，解得. 故选：C. 一、填空题 23. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 24. （2025上海市育才中学高三三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 25. （2025上海宝山区高三三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用复数的几何意义画图计算即可. 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是. 故答案为： 26. （2025华东师范二附中高三三模）复数，，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】由题意可得，由三角不等式可得. 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 27．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ． 【答案】2＃＃＋2 【分析】根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算． 【详解】设复数z在复平面中对应的点为 ∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆 表示点到点的距离，结合图形可得 故答案为：． 28．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题 29. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】先进行复数化简，再根据几何意义得解. 【详解】，化简，即,即. 根据复数几何意义知道，对应的点为，在第四象限. 故选：D. 30. （2024青浦区高三三次学业监测）已知复数z和，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是实数 B. 一定是虚数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则是纯虚数 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 31.（2022·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，其中i是虚数单位），则的最大值为    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，方程为； 复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为， 即为椭圆 上的点与圆 上的点的距离. 的最大值即为点到圆心 的距离的最大值加半径. 设. 所以 . 故选：B 32.（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】设，，复数在复平面内对应的点为，则，， 因为，所以，所以， 所以，则，则在轴上运动， 设，，复数在复平面内对应的点为， 则， 所以，所以， 则在以为圆心，为半径为圆上运动， 所以， 所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离， 因为圆心到轴的距离，所以； 故选：D 33.已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案； （2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案. 【详解】（1）．因为在复平面内的对应点落在第一象限，所以即解得．因此，实数a的取值范围是． （2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得．把代入，得，，所以 34.已知复数，为虚数单位，. （1）若为实数，求的值； （2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）计算为实数，则，得到，计算得到答案. （2）化简得到，计算，，得到，根据范围解不等式得到答案. 【详解】（1）为实数，则 因为，所以， （2）， 所以， 因为，所以，进而， 解得. 【点睛】本题考查了复数和向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题04 复数 一、填空题 1. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若复数在复平面内对应的点为，则________． 2.（2025上海市徐汇中学高三三模） 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z虚部为______. 3. （2025华东师大三附中高三三模）复数的虚部是______． 4. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______. 5．（2023·上海奉贤·统考一模）若，其中是虚数单位，则 ． 6. （2025上海市崇明区高三三模）若复数（是虚数单位），则____________. 7. （2025届上海市大同中学高三三模）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 8. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 9. （2025建平中高三下学期三模）复数，则______． 10. （2025七宝中学高三三模）已知为虚数单位，则__________. 11.（2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习） 设为虚数单位，若复数满足，则________. 12. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设为虚数单位，若复数满足，则________. 13. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 14. （2024学年宜川中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 15.（2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习） 已知i为虚数单位，复数，则______. 16. （2025行知中学高三6月模拟）已知两个复数的和为4、积为6，这两个复数为___________.． 17. （2025上海市格致中学高三三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 18 （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 19.（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 二、选择题 20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ） A． B． C． D． 21．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是纯虚数，是实数，则（    ） A．－ B． C．－2 D．2 22．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、填空题 23. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 24. （2025上海市育才中学高三三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 25. （2025上海宝山区高三三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 26. （2025华东师范二附中高三三模）复数，，则的最大值是__________. 27．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ． 28．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 二、选择题 29. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若，则复数对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 30. （2024青浦区高三三次学业监测）已知复数z和，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是实数 B. 一定是虚数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则是纯虚数 31.（2022·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，其中i是虚数单位），则的最大值为    ） A．3 B．5 C． D． 32.（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是    ） A． B．2 C．3 D．1 33.已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 34.已知复数，为虚数单位，. （1）若为实数，求的值； （2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $