精品解析：上海中学东校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海中学东校2025学年第一学期中期素质评估 高二数学 2025.11 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（14题，每题3分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为. 故答案为：. 2. 已知，如果，那么实数的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为：4. 3. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算可得答案. 【详解】由题意底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为， 故答案为： 4. 长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，，解之可得对角线的长，由此可求外接球的半径. 【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c， 则有：，即① ，即② ∴ ∴长方体的对角线的长为：， 即外接球的直径，所以， 故答案： 5. 半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨将球设为正方体的内切球，从而可得正方体的边长为，进而可得，求出R的值即可. 【详解】不妨将球设为正方体的内切球，正方体的边长， 由球心到墙角顶点的距离为2， 则，可得，解得. 故答案为： 6. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______． 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可. 【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以 故答案为：8 7. 一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把展开图还原成正方体，确定的位置，作出异面直线所成的角，然后求角的余弦． 【详解】把展开图还原成正方体，如图中位置， 由正方体性质知与平行且相等，即是平行四边形，，直线与所成角为（或其补角）， 同样棱与侧面垂直，垂直，则可得， 设正方体棱长为1，，，， 中，． 所以直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_______________ 【答案】3 【解析】 【分析】 由余弦定理即可求出. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理得，解得（舍去）或. 故答案为：3. 9. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，由此可求EF长度的范围. 【详解】过作，交于点，交于，则易知底面， ∵平面，又易得平面，，且平面， 平面平面，又平面，平面， 又平面平面，平面 ∴ ∵为中点,为中点，则为中点, 即在线段上, ，， ，， 则线段长度的取值范围为：， 故答案为：. 10. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据给定条件求出展开图扇形圆心角，再求出圆锥底面圆半径即可作答. 【详解】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图， 从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，最短距离即为线段BM长，则有， 而M是线段中点，又母线长为4，于是得，即， 设圆锥底面圆半径为r，从而有：，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 11. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线过点，且方向向量为，再由空间中点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】由题意，直线过点，且方向向量为， 又由，可得，可得， 所以， 又由， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 12. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【解析】 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 13. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，利用余弦定理求得，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的方向向量为，根据直线是两平面与的交线计算出直线的一个方向向量，最后利用直线与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以，故则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 二、选择题（4题，每题3分） 15. 在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】直接由平行直线及异面直线的定义判断充分性及必要性即可. 【详解】“两条直线平行”能推出“这两条直线没有公共点”，满足充分性；“两条直线没有公共点”不能推出“两条直线平行”， 两条直线可能异面，不满足必要性，故“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件. 故选：A. 16. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A. B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 17. 已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足( ) A. 最大值为16 B. 最小值为4 C. 为定值8 D. 与的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解作答. 【详解】以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图， 则，设， ，，， 所以，即是定值8. 故选：C 18. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案. 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 所以该四棱锥的高. 故选：C. 三、简答题（总共5题，19、20、21每题10分，22题12分，23题14分） 19. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【小问1详解】 依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 20. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 21. 已知平面向量，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且． （1）试求函数关系式； （2）求使的t的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据列方程即可得出k关于t的函数； （2）解不等式得出t的范围. 【小问1详解】 由，，得，，． 因为，所以 ，于是，即． 【小问2详解】 由，得，即，解得或． 22. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 23. 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度； （2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； （3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，求出，，利用余弦定理求出答案； （2）作出辅助线，证明线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，显然，从而求出答案； （3）先求出四边形的面积，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【小问1详解】 延长BC，ED相交于点F， 因为，所以， 故为等边三角形，所以， 因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得：， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：，，， 所以， 由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE， 所以BC⊥平面ABE， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ， 因为AQ平面ABE， 所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形， 由三线合一得：AQ⊥BE， 因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE， 所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为. 【小问3详解】 延长BC，ED相交于点F， 由（1）（2）得：BF⊥BE，且为等边三角形， 故，， 故四边形的面积为， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 因为，，故只需使△ABE的面积最大， 由余弦定理得：， 故， 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立， △ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为， 该四棱锥的体积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学东校2025学年第一学期中期素质评估 高二数学 2025.11 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（14题，每题3分） 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 2. 已知，如果，那么实数的值为______. 3. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为______． 4. 长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为___________． 5. 半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 6. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______． 7. 一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______． 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_______________ 9. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________． 10. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________ 11. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为___________． 12. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数） 13. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 二、选择题（4题，每题3分） 15. 在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 16. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A. B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 17. 已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足( ) A. 最大值为16 B. 最小值为4 C. 为定值8 D. 与的位置有关 18. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、简答题（总共5题，19、20、21每题10分，22题12分，23题14分） 19. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 20. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 21. 已知平面向量，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且． （1）试求函数关系式； （2）求使的t的取值范围． 22. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 23. 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度； （2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； （3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $