第03讲第二章 认识无理数、平方根与立方根讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦无理数、算术平方根、平方根与立方根核心知识点，从无理数的定义与特征切入，逐步延伸至算术平方根、平方根的概念性质及区别联系，再到立方根的定义与特征，构建连贯的数与代数学习支架。 该资料通过典例与变式结合的题型设计，如无理数识别培养抽象能力，规律探索题发展推理意识，长方体熔铸正方体等实际应用题提升应用意识。课后作业分层设置，助力学生课中理解概念，课后查漏补缺，强化知识掌握。

北师大版八年级上册数学辅导精品讲义 第03讲 认识无理数、平方根与立方根 知识清单 知识点01 认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数．有限小数和无限循环小数都称为有理数． 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． 知识点02 算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． 知识点03 平方根的概念与性质 1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算． （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根． 2.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0. 3.平方根的性质    知识点03立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 题型精讲 题型1   无理数的识别 1. 【典例】在，，，，，这六个数中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2. 【变式1】下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有 个． 题型2   算术平方根与平方根概念理解 3. 【典例】下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 4. 【变式1】下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3   求一个数的算术平方根 5. 【典例】 的算术平方根是 ． 6. 【变式1】（1）= ，= ，= ，= ，= ，对于任意实数0，猜想= ． （2） ， ， ， ，对于任意非负数a，猜想 ． 题型4   利用算术平方根的非负性解题 7. 【典例】若，则 ． 8. 【变式1】若实数，满足，则的值是 ． 题型5   求算术平方根的整数部分和小数部分 9. 【典例】若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 10. 【变式1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 题型6   与算术平方根有关的规律探索题 11. 【典例】按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 12. 【变式1】先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 题型7   求一个数的平方根 13. 【典例】（1）9的平方根等于 ；（2）的平方根是 ；（3）的平方根是 ． 14. 【变式1】81的算术平方根是 ；的平方根是 ． 题型8   已知一个数的平方根，求这个数 15. 【典例】一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 16. 【变式1】如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 题型9   求代数式的平方根 17. 【典例】已知与 互为相反数，求的平方根． 18. 【变式1】一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 题型10   利用平方根的定义解方程 19. 【典例】 求下列各式中的值． (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型11   立方根概念理解 20. 【典例】下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 21. 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 题型12   求一个数的立方根 22. 【典例】 ． 23. 【变式1】根式的化简 ； ； ； ； 题型13   已知一个数的立方根，求这个数 24. 【典例】若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 25. 【变式1】已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 题型14   立方根的性质 26. 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 27. 【变式1】若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 题型15   利用开立方解方程 28. 【典例】求式子中的值：． 29. 【变式1】求下列各式中x的值： (1) ； (2)． 题型16   平方根与立方根的综合 30. 【典例】已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 31. 【变式1】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 题型17   立方根的应用 32. 【典例】如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）． 33. 【变式1】已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 课后作业 一、单选题 34. 下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 35. 下列说法正确的是（   ） A．7是49的算术平方根 B．是16的算术平方根 C． 是的算术平方根 D．0.01是0.1的平方根 36. 实数的立方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 37. 下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．3是9的算术平方根 C．的立方根是2 D．立方根等于本身的实数有两个 38. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 39. 在实数∶中，无理数有 个． 40. 如果，则的算术平方根为 ． 41. 计算： ． 42. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根 ． 43. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 三、解答题 44. 求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 45. 求下列各式中x的值： (1)； (2)． 46. 已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 47. 为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长． 48. 已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 参考答案： 1. B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个之间依次增加个），（两个之间依次增加个）．直接根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，，这六个数中， 无理数有：，，共个， 故选：B． 2. 4 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：3.1416，，是有理数； ，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数． 故答案为：4． 3. C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. A 【分析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：①的平方根是，原说法错误； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0的平方根等于本身，原说法错误； 正确的为④， 故选A． 5. 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 6. 2 3 5 6 0 4 9 25 36 【分析】本题考查了算术平方根．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． （1）由进行解答； （2）由进行计算． 【详解】解：（1），，，，，对于任意实数a，猜想． （2），同理，，，对于任意非负数a，猜想． 7. #### 【分析】本题主要考查偶次方及算术平方根的非负性，代数式求值，根据偶次方及算术平方根的非负性求出的值，代入即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 8. 1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 10. ． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 11. （1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 12. (1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 13. (1)， (2)， (3) 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与平方根的定义，理解定义是解题的关键． 14. 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，，先计算出得数，再根据算术平方根的定义求解；先计算，再根据平方根的定义可直接求解． 【详解】解： 3的算式平方根为； ，的平方根为． 故答案为：，． 15. 1 【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：1． 16. 49 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数， 所以 解得 ∴ ． 即这个数是故答案为： 17. 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 18. (1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 19. (1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 20. D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 21. B 【分析】若，则叫做的立方根，；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意； B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意； C.负数有立方根，结论错误，不符合题意； D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根定义，理解定义是解题的关键． 22. 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．根据一个数的立方等于，这个数就是的立方根即可得解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 23. 3 3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根．解题的关键在于灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 【详解】解：，，，， 故答案为：3，，3，． 24. 8 【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．找到立方根等于2的数即可． 【详解】解：， 这个数是8， 故答案为：8． 25. 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 26. D 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的概念和性质是解题的关键．根据算术平方根、立方根、平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意； B．，原式计算错误，故选项不符合题意； C．，原式计算错误，故选项不符合题意； D．，原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 27. B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 28. 【分析】本题主要考查了利用立方根的性质解方程，熟练掌握立方根的性质是解题关键．首先将原方程整理为，根据立方根的性质可得，求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴． 29. (1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 30. (1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 31. (1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 32. 【分析】本题考查立方根在实际问题中的应用．正确列出方程是解题关键．设长方体的长、宽、高分别为：，根据体积可建立方程求解，即可求出表面积． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为： 则：， 解得：， ∴表面积为：． 33. (1)正方体的棱长为cm，体积为cm3 (2)cm 【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根． （1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可． 【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：， 解得：或（舍去），即棱长为cm， 体积为(cm3)， 答：正方体的棱长为cm，体积为cm3； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：， 解得：， 所以每个小正方体的棱长为cm． 答：每个小正方体的棱长为cm． 34. D 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 35. A 【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题 根据算术平方根和平方根的意义，逐项判断即可． 【详解】解：A、7是49的算术平方根，正确，故此选项符合题意； B、是16的平方根，4是16的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、是的平方根，6是的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； D、0.01是0.1的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 36. B 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴实数的立方根是， 故选：B． 37. B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、3是9的算术平方根，选项说法正确，符合题意； C、的立方根是，选项说法错误，不符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，有3个，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 38. C 【分析】本题考查立方根及平方根的计算，熟记立方根、平方根的定义及计算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，选项只有一个结果，计算错误，不符合题意； 故选：C． 39. 2 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【详解】解：0，是整数，是分数，它们不是无理数；，是无限不循环小数，是无理数，共2个． 故答案为：2． 40. 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，进而得到，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 41. 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 42. 2 【详解】本题主要考查了求一个数的立方根，根据算术平方根和平方根求原数，根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值后代入中计算，然后利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2． 43. 【分析】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，根据数轴得，则可得，，进而可求解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：由数轴得：， ，， ， 故答案为：． 44. (1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程： （1）根据平方根定义即可求解； （2）移项后，根据平方根定义即可求解； （3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解； （4）移项后，根据平方根定义即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． （2）移项，得：, ． （3）整理得：， ． （4）移项，得：， ， ，． 45. (1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 46. 2 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 47. 这两个正方体的棱长分别为和 【分析】此题主要考查了正方体的体积公式和立方根的定义．解决本题的关键是理解铸造前后总体积不变，需注意正方体的棱长应是体积的三次方根．因为长方体钢块铸成两个正方体后体积不发生改变，可设小正方体棱长为，由题意列方程即可求出其棱长的值． 【详解】解：设小正方体棱长为，则大正方体的棱长为，由题意得： ， 即， ， ， ， 答：这两个正方体的棱长分别为和． 48. (1)； (2)． 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴， ． （2）∵． ∴16的平方根是． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $