北京市陈经纶中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 北京市陈经纶中学期中诊断 高二年级 数学学科 班级 姓名 学号 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1.直线√3x+y-1=0的倾斜角为( ) 2.抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上，PF=6,则点P的横坐标为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.若直线1：x+y-m=0(m>0)被圆C:(x-1)+(y+1)2=4截得的弦长为√2m,则m= ( A.2v10 B.√2 C.2 D.22 5 4.已知正四面体OABC,点M在OA上，且OM=名OA,点N为8C的中点，则MN用 3 基底OA,0B,0C}表示为() A.204-10B+ .1 B.204+108-10C 3 3 2 C.-204-10B+ D.-204+108+ 3 3 5.在正方体ABCD-AB,C,D中，E,F分别为CD和AB的中点，则异面直线AF与DE. 所成角的余弦值是( A. D. 25 年级学科第1页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 6.设椭圆c的焦点为耳，B,离心率为e,则“e∈(1)”是“C上存在一点P,使得 PF·PE,<0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图所示，己知点A(4,O),B(O,4),从点P(2,O)射出的光线经直线AB反射后 再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是() A2√10 B.6 c.3√5 D25 8.A,B是圆C:(x-2)2+0y-m)2=4上两点，AB=23,若在圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9 上存在点P恰为线段AB的中点，则实数的取值范围为( A.[-5,-3[1,3]B.[-4,-2[2,4c.[1,3]D.[-5,3] ⑧，已知双曲线C:二-(>0，b>0)的左焦点为F,石顶点为A,过F作C的 一条渐近线的垂线FD,D为垂足.若|DF曰DA|,则C的离心率为( A.2√5 B.2 C.5D.√2 —年级一学科第3页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 10.如图，空间直角坐标系D-xz中，点N(:,片，5)，F(x2,y,2),定义 NF到=x-x,+以-y,+3-正方体ABCD-AB,C,D的棱长为3，E为棱BC的中点， 平面yDz内两个动点P,M,分别满足PD‖=2，∠AMD=∠CME,则PM的取值范围 是() 2外.P D A B M A. 2w62 5 B.[1④i+2] C. D.[135+2] 二.填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.与双曲线--1有共同的渐近线，并且过点A(6,8√2) 的双曲线的标准方程 916 为 12.己知两直线：2x+(3-m)y+1=0,42:2x+2y+m=0,当和l2垂直时，=一： 当和12平行时，= 13。若直线=-)与双曲线对少-1只有一个公共点，则无的一个取值为 14椭圆y2 a+a2-3 =1的焦点为耳，F,过原点的直线与该椭圆交于A,B两点，若 AB=2W3,△AFE的面积为1，△ARE的周长为 年级学科第6页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 15.在平面直角坐标系内，动点M与定点F(0,)的距离和M到定直线1：y=3的距离的 和为4.记动点M的轨迹为曲线W,给出下列四个结论： ①曲线W过原点； ②曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形： ③曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）： ④曲线W围成区域的面积大于8√· 则所有正确结论的序号是· 三。解答题共5小题，共85分 16.已知线段AB的端点B的坐标是(6,8)，端点A在圆x2+y2=16上运动，M是线段AB 的中点。 (1)求点M的轨迹方程；(4分) (2)记(1)中所求轨迹为曲线C,过定点(2,0)的直线l与曲线C交于P、9两点，并且 1P@=23,求直线l的方程.(9分) 17.如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面ABE为等边三角形，平面ABE⊥ 平面ABCD,AB=2,∠ABC=60°，M是AB的中点， E D B C (1)求证：EM⊥AC;(4分) (2)求二面角A-BE-C的余弦值；(9分) 年级学科 第10页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 18. 已知椭圆+y2 -1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为4V2,离心率为 5 2 (1)求椭圆的标准方程；(4分) (2)若直线1的斜率为)，直线l与椭圆C交于A,B两点.点P(2,)为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值.(10分) 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,AB∥DC,E为棱PB的中点，平面DCE 与棱PA相交于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为己 知 条件①：PB=BD;条件②：PA⊥BC D ● B (1)求证：AB∥EF;(4分) (2)求点P到平面DCEF的距离：(6分) ③)已知点M在棱PC上，直线M与平面DCEF所成角的正弦值为，求的值 (5分) 年级学科 第13页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 20.1 已知椭圆E:￥+1C>b>0)的长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆E的方程；(2分) (2)直线1过椭圆E的左焦点F,且与E交于M,W两点（不与左右顶点重合），点T(t,O)在 x轴正半轴上，直线M交y轴于点P,直线N交y轴于点Q,问是否存在t,使得TP.TQ 为定值？若存在，求出t的值及定值：若不存在，请说明理由.(13分) 21.给定正整数n≥2，设集合M={aa=(t,t2,,tn),t∈{0,1，k=1,2,,n}.对于集合M中 的任意元素B=(低，x2,,xm)和y=y2,…,y),记B·y=x1y+x2y2+…+xmym·设A二M,且 p,i=j则 集合4=仅u=化)1=12，】，对于A中任意元素48，若a,i≠， 称A具有性质T(n,p). (1)判断集合A={(1,1,0),1,0,1),(0,1,1)}是否具有性质T(3,2)？说明理由；(4分) (②)判断是否存在具有性质T(4,p)的集合A,并加以证明；(5分) (3)若集合A具有性质T(n,p),证明：+t2,+…+t=p(J=12,,n).(6分) _年级学科第19页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 北京市陈经纶中学期中诊断 高二年级 数学学科 班级 姓名 学号 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1.直线√3x+y-1=0的倾斜角为( ) B. C. D. 2π 3 2 3 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，即可得到倾斜角 【详解】直线Vx+1-0的斜率为-5：则倾斜角为号 故选：D. 2.抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上，PF=6,则点P的横坐标为( A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【分析】根据焦半径公式即可求解， 【详解】根据焦半径公式可得|PF=x,+号=x,+3=6,故x,=3, 故选：B 3.若直线：x+y-=0(m>0)被圆C:(x-1)'+(y+1)=4截得的弦长为√2，则m= ( ) A. 2W10 B.√2 C.2 D.22 5 【答案】C 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果 年级一学科第1页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 【详解】易知圆(x-1)+(y+1)=4的圆心为(1，-1)，半径为r=2, 设圆心到直线1的距离为d,由弦长公式可得22-dP=√2m→2√4-dP=√2m, 8- .d 2 所以圆心，-到直线：x+y-m=0(m>0)的距离d上-1二川 8-m2 2 2 解得m=2或m=-2,又>0，所以m=2, 故选：C 4.已知正四面体O4BC,点M在OA上，且OM=?1,点N为2C的中点，则用 基底OA,OB,0C表示为() A.20A-1oB+10c 3 2 2 B.+lon-Loc 3 2 2 C.c D.-二OA+OB+上OC 2 【答案】D 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得。 【详解】由点N为BC的中点，故ON=OB+OC), 则a-ow-a-ios-odoi-a+o8+oc 故选：D. M B 5.在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为CD和AB,的中点，则异面直线AF与DE. —年级—学科第2页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 所成角的余弦值是( ) A、3 3 4 B. C. 5 5 D.25 5 答案：B 6.设稀圆C的焦点为耳，乃，离心率为e,则“ec(兮)”是c上存在一点P,使得 P℉P耳，<0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量数量积的坐标表示，结合椭圆的几何性质，求出椭圆C上存在一点 P(化y)使得PFPE<0的等价条件，然后判断推出关系是否成立，从而可得答案 【详解】设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,(-c,0),(c,0),P(x,), 则PR=(-c-x,-y),P耳，=(c-x,-y), PEPE,=x-c2+y哈 椭圆C上存在一点P(x,)使得PEPE,<0即x-c2+<0, 等价于c2>(+),易知(+)m=b2, csbi-a-2ds 2 <e<1, 若ee()成立，5<e<1不一定成立，即充分性不成立； 手81成立，州e=》一定成立，所以必买度立 所以ee兮》”是“c上存在一点P,使得P四P瓜<0”的必要而不充分条件 故选：B. 年级学科第3页共22页 北京市陈经纶中学2025-2026学年第一学期期中诊断试卷编码：25-2601011202 7.如图所示，已知点A(4,O),B(0,4),从点P(2,O)射出的光线经直线AB反射后 再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是() A.2V10 B.6 c.35 D.2V5 答案：A 8.A,B是圆C:(x-2)2+(y-m)2=4上两点，AB=23,若在圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9 上存在点P恰为线段AB的中点，则实数的取值范围为( A.[-5,-3[1,3B.[-4,-2[2,4C.[1,3]D.[-5,3] 【答案】A 【分析】由4B=2√3得弦中点P到圆心C的距离CP=1,则点P在以C为圆心，1 为半径的圆上，又在圆C2上存在点P,则可转化为两圆有公共点问题求解即可 【详解】圆C:(x-2)2+(y-m)2=4,圆心C(2,m),半径r=2, 圆C2:(-2)2+(y+1)2=9,圆心C2(2,-1),半径2=3， 由P是弦AB的中点，且AB=2√3，则CP⊥AB, 所以c=2-(3=1, 故点P在以C(2,m)为圆心，以1=1为半径的圆上 年级学科第4页共22页