第27章 相似（单元测试·冲刺卷）数学人教版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章相似 (参考答案) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 D B C A A D B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.30 12.5 13.0.8或2 14.罗 15.10W2 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题7分) 【详解】(1)解：a:b:c=2:3:5, 设a=2kb=3kc=5k, ∴3a+2b-c=3×2k+2×3k-5k=14, k=2, a=4,b=61c=10; (2)由题意，x2=bc=60, :x=V60=2W15 17.(本题8分) 【详解】(1)：四边形ABCD是矩形， :∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD=6, ∠PED+∠EPD=90°， 由折叠知，∠EPG=∠A=90°， ·∠HPC+∠EPD=90°， 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠PED=∠HPC ·△EDP△PCH: (2):四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=9, ·AB=CD=6,AD=BC=9, :P为CD中点， ÷CP=DP=3, 设PE=AE=x,则DE=9-x, PE2=DE2+DP2, ÷x2=(9-x)2+32, 解得x=5,即PE=5, DE=9-X=4, :△EDP△PCH, 器=脂， 婴=， 2.PH=4. 18.(本题8分)小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆CD的高度.如图，A,B,C在同一条直线上， A,E,D也在同一条直线上，BE⊥AC,垂足为B,交AD于E,DC⊥AC,垂足为C, BE=1.5m,AB=3m,BC=9m. D B (1)求旗杆CD的高度； (2)小明在BC上取点F,连接DF,EF,使得∠DFE=90°，且BF>CF,求BF的长（结果精确到 0.1m,参考数据：√5心2.24). 【答案】(1)6m (2)7.9m 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键 (1)先求出线段AC的长，再证明△ABE∽△ACD,最后利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 2/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)可证明△BEF~△CD,得到品=要，据此求解即可。 【详解】(1)解：：AB=3m,BC=9m, :AC=AB+BC=12m, :BE⊥AC,CD⊥AC, .∠ABE=∠ACD=90o, 又：∠A=∠A: .△ABE△ACD, 罷=器，即器=号， ∴CD=6m, 答：旗杆CD的高度为6m: (2)解：BE⊥AC,CD⊥AC, ∠EBF=∠FCD=90°， ∠DFE=90°， .∠BFE+∠BEF=∠BFE+∠CFD=90°， ∠BEF=∠CFD, ·△BEF∽△CFD, :器=器，即品=聘 61 解得BP=牛5≈7.9m(已检验是原方程的解)或BF=35 2 2 (舍去) 答：BF的长约为7.9m 19.(本题9分) 【详解】(1)解：：四边形OABC是矩形， :.0A=BC,AB=0C, :B的坐标为(4,8)，E为AB的中点， :AB=0C=8,0A=BC=4,AE=BE=AB=4, E(4,4), .k=4×4=16, :双曲线的解析式为y=, :点D在双曲线y=(x>0)上， 3/10 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .0C×CD=16, .CD=2, 点D的坐标为(2,8)； (2)解：“BC=4,CD=2, .BD=2, :∠BCF=∠DBE=90o, 当△FBC△DEB时，噩=器， 即登=罗， ∴CF=2, .0F=8-2=6, .F(0,6), 此时设直线BF的解析式为y=ax+C, 把B(4,8),F(0,6)的坐标代入， (8=4a+c a=克 得{c=6 解得c=6' :.直线BF的解析式为y=x十6 综上所述，若△FBC和△DEB相似，则直线BF的解析式y=X+6. 20.(本题9分) 【详解】(I)解：解：如图，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M,BN⊥x轴，垂足为点N, YA M :点A在反比例函数y=-是图象上，点B在反比例函数y=是图象 上， SA4w0=2,S△BON=号， :∠A0B=90°， :∠A0M=∠0BN,∠AMO=∠ONB=90°， ÷△AMO△ONB, 4/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =(器)尸--号， …器=： (2)解：：点A在反比例函数y=-会图象上，点B在反比例函数y=是图象上， &SA4AN0=婴，SABON=-号， 由0知艺器-（器）2-号=月。 :0B=20A, …器=， :粤=()2= |k=, :反比例函数y=-奈(x<0)图象在第二象限， ak=景 21.(本题10分) 【详解】解：(1)：∠AMD=90°， ∠AMB+∠DMC=90°， :∠B=90°， .∠AMB十∠BAM=90°， :∠BAM=∠DMC, :ABIICD,∠B=90°， ∠C=∠B=90°， :△ABM∽△MCD, 故答案为：； (2):∠AMC=∠BAM+∠B,∠AMC=∠AMD+∠CMD, ÷∠BAM+∠B=∠AMD+∠CMD. :∠B=∠AMD, :∠BAM=∠CMD, :∠B=∠C, 5/10 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .△ABM△MCD: (3)同探究的方法得出，△BDM~△CME, …器=器， :点M是边BC的中点， ÷BM=CM=5V2, :CE=8, 器 解得BD=空， :∠B=∠C=45°， :∠A=1800-∠B-∠C=90°， ·AC=AB=号8C=10, AD =AB-BD=10-=,AE=AC-CE=2. 在Rt△ADE中，DE=VAD2+AE2=V()+22=号 22.(本题11分)》 【详解】(1)解：BE⊥DF, 理由如下： 设BE与CD交于点M,与DE交于点N,如图所示： 图1 :四边形ABCD是正方形， :BC=DC,∠BCD=90o, :△ECF是等腰直角三角形， ·CF=CE,∠ECF=90°， ·∠BCD=∠ECF, ·∠BCD+∠DCE=∠ECF+∠DCE, 6/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCE=∠DCF, 在△BCE和△DCF中， BC=DC ∠BCE=∠DCF CE=CF :△BCE≌△DCF(SAS), ÷∠CBE=∠CDF, :∠BMC=∠DME,∠CBE+∠BMC=90°， ∠CDF+∠DME=90°， ÷∠BND=90°， BE⊥DF, 故答案为：BE⊥DF; (2)解：(1)中的结论仍然成立， 理由如下： 设BE与CD交于点G,与DE交于点H,如图所示： D 图2 :四边形ABCD是矩形， ∠BCD=90°， :∠ECF=90°， ·∠BCD十∠DCE=∠ECF+∠DCE, ·∠BCE=∠DCF, :器=器， :△BCE△DCF, ÷∠CBE=∠CDF, :∠BGC=∠DGE,∠CBE+∠BGC=90°， ∠CDF+∠DGE=90°， ÷∠BHD=90°， 7110 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE⊥DF. 23.(本题13分) 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-2,0),点B(0,4), ∫-2-2b+c=0 1b=1 C=4 ，解得c=4· .抛物线解析式为y=-x2+x十4： (2)解：y=-x2+x+4=-(x-1)2+号， 对称轴为直线x=1,设对称轴交x轴于点H,过点P作PG⊥y轴，垂足为G, :∠PB0=∠BAO,∠PGB=∠BOA, .△PGBM△BOA, 器=8， “品=， :BG=克， :0G=, :P(1,): :∠PG0=∠G0H=∠PH0=90°， :.四边形PGOH是矩形， :PH=0G=, :S△PAB=S△0AB十S梯形脚BOH~S△PAH =支×2×4++如.支×(2+1)×子=： (3)解：设新抛物线的表达式为y=-x2+x十4-m, 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则D(0,4-m), :对称轴为直线x=1,DE‖FH, E(2,4-m),DE=2, 过点F作FH⊥y轴，垂足为H, B D F .DE‖FH,而E0=20F, .△DE0△FH0, :開=器=品=， :.FH=1,0H=D0, :将x=-1代入y=-x2+x+4-m得：y=号-m, 当点D在y轴正半轴上时，F(-1,号-m), :FH⊥y轴， 0H=m-3, 器=器=1. m=3, 当点D在y轴负半轴上，则F(1,号-m) “0H=m-号， 册=器=1， 9/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 m=5, :综上所述：m的值为3或5. 10/10 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 相似 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题3分）如图，点C把线段分成线段和，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点C黄金分割，与的比叫做黄金比，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 6．（本题3分）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 7．（本题3分）已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A． B．15 C． D．或 8．（本题3分）如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．若，则点是的黄金分割点 D．若点是的黄金分割点，则 10．（本题3分）在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）已知和中，有，且和的周长之差为，则的周长为 12．（本题3分）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，面积为20，对角线与反比例函数的图象相交于点，若点为的中点，则 ． 13．（本题3分）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 14．（本题3分）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是 ． 15．（本题3分）将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 17．（本题8分）如图，矩形中，E、F分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为G，交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． 18．（本题8分）小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 19．（本题9分）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 20．（本题9分）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（本题10分）如本题图1，在四边形中，，，点在边上，当时． （1）可知___________（不要求证明）． 探究： （2）如本题图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． 拓展： （3）如本题图3，在中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长． 22．（本题11分）综合与探究 【问题情境】如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】(1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23．（本题13分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 相似 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A．B．C．D． 3．（本题3分）如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题3分）如图，点C把线段分成线段和，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点C黄金分割，与的比叫做黄金比，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 6．（本题3分）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 7．（本题3分）已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A． B．15 C． D．或 8．（本题3分）如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．若，则点是的黄金分割点 D．若点是的黄金分割点，则 10．（本题3分）在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）已知和中，有，且和的周长之差为，则的周长为 12．（本题3分）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，面积为20，对角线与反比例函数的图象相交于点，若点为的中点，则 ． 13．（本题3分）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 14．（本题3分）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是 ． 15．（本题3分）将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 17．（本题8分）如图，矩形中，E、F分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为G，交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． 18．（本题8分）小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 19．（本题9分）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 20．（本题9分）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（本题10分）如本题图1，在四边形中，，，点在边上，当时． （1）可知___________（不要求证明）． 探究： （2）如本题图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． 拓展： （3）如本题图3，在中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长． 22．（本题11分）综合与探究 【问题情境】如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】(1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23．（本题13分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 相似 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的基本性质、代数式求值等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 由比例的基本性质可得，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 2．（本题3分）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 3．（本题3分）如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∵ ∴ ， 故选C． 4．（本题3分）如图，点C把线段分成线段和，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点C黄金分割，与的比叫做黄金比，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用．设，，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程求得x的值，继而求得的值即可． 【详解】解：设，，则， 由得：， 则． 整理得：， 解得： ， （不合题意，舍去）． ∴． ∴． 故选：A． 5．（本题3分）根据下列条件不能判定和相似的是（    ） A．，，，，， B．，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键．根据相似三角形的判定定理，逐项分析是否满足两角对应相等、三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等，即可得出答案． 【详解】解：A．∵， ， ， ∴， ∴，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴，， ∴，故B不符合题意； C．，，， 但与的夹角不是，无法满足两边成比例且夹角相等的条件，且只有一角相等，不能判定相似，故C符合题意； D．，，， ∴，且夹角相等， ∴ ，故D不符合题意． 故选：C． 6．（本题3分）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 7．（本题3分）已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A． B．15 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理．根据勾股定理，分别计算两个直角三角形中未知边和的可能值，再根据两个三角形不相似的条件，排除相似组合，得到的可能值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵第一个直角三角形的边长： 则斜边可能为或， 若为斜边，则， 若为直角边，则斜边为，， 对于第二个直角三角形，边长： ∵ 斜边可能为或， 若为斜边，则； 若为直角边，则斜边为 ，， ∵ 两个直角三角形不相似， ∴ 不能同时且（此时三边对应成比例）， 也不能同时且（此时三边对应成比例）， ∴可能情况：① ，则； ② ，则， ∴ 的值为 或． 故选：D 8．（本题3分）如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过作轴于点，过作轴于点，证明，则，由四边形是菱形，所以，，，由直角三角形的性质，勾股定理求出，，然后代入得，求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 9．（本题3分）如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．若，则点是的黄金分割点 D．若点是的黄金分割点，则 【答案】D 【分析】设，过点作，根据平分交于点，得出，，根据，则，即可表示出，即可判断A选项；设的边上的高为h，根据等面积法表示出，即可判断B选项；由，得，证明，，得出，则点是的黄金分割点，即可判断C选项；根据顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比，讨论即可判断． 本题考查了黄金分割，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．掌握以上知识点是解决问题的关键． 【详解】解：A：设，过点作， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； B：设的边上的高为h， 则， ∴，故B正确； C：由，得， ∵平分交于点， ， ，， ， ， ∵， ， ， ∵， ， 即点是的黄金分割点，故C正确； D：根据选项C可知若，则点是的黄金分割点，， 即， 则， 即顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比． 如图， 当时，作等腰三角形， 则， 利用“”可证，则， 故，即点是的黄金分割点． 故若点是的黄金分割点，则存在或满足条件，故D错误． 故选：D． 10．（本题3分）在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知确定CE：：2，再证明 可得，，进一步证明 ，判定①对，然后证明可得得出②对，可证，进而可证，则，故③错误；可得在中，，则，再证明 ，由，即可得④对从而得出结论． 【详解】解：正方形ABCD中，，E是BC的中点， ，，， ：：2， ，，， ， ，， ，， ， 又， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， 在和中，，， ， ， ， ∴， 又∵， ， ， ， ， ∴， ，故③错误； 在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确， 故选：C 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质，理解题意是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）已知和中，有，且和的周长之差为，则的周长为 【答案】30 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由三边对应成比例可得三角形相似，周长比等于相似比，设未知数表示周长，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为． ∴的周长：的周长． 设的周长为，则的周长为． 根据题意，， 解得， ∴的周长为． 故答案为：． 12．（本题3分）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，面积为20，对角线与反比例函数的图象相交于点，若点为的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，过点作轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，再根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的面积为20， ∴，， 过点作轴，则：， 又∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵双曲线过第一象限， ∴； 故答案为：5． 13．（本题3分）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 14．（本题3分）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．根据抛物线与y轴交点得，结合矩形的性质进一步证明，由得，设，，结合，即，化解得，利用二次函数的性质的对称轴求得m，即可求得最大值a． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点为，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，， 则，即， 化解得，， ∴，解得， 则， 故答案为：． 15．（本题3分）将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键．连接和，先证，根据相似三角形的性质得，，然后在中利用勾股定理即可求解．　 【详解】如图，连接和， 在矩形和矩形中，． ， ， ， ， ， ，即． ， ， ， ． 在中， ，令，则， ， ． 故答案为：． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴． 17．（本题8分）如图，矩形中，E、F分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为G，交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ， 由折叠知，， ， ， ； （2）四边形是矩形，， ，， 为中点， ， 设，则， ， ， 解得，即， ， ， ， ， ． 18．（本题8分）小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）先求出线段的长，再证明，最后利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）可证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， 答：的长约为． 19．（本题9分）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得解得， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 20．（本题9分）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 21．（本题10分）如本题图1，在四边形中，，，点在边上，当时． （1）可知___________（不要求证明）． 探究： （2）如本题图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． 拓展： （3）如本题图3，在中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出． （1）根据同角的余角相等得到，根据平行线的性质得到，根据两角相等的两个三角形相似证明结论； （2）根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2），， ． ， ， ， ； （3）同探究的方法得出， ， ， 点是边的中点， ， ， ， 解得， ， ， ， ，， 在中，． 22．（本题11分）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见详解 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（本题13分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 【答案】(1) (2)； (3)m的值为3或5． 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式； （2）对称轴为直线，过点P作轴，垂足为G，证明，即，可得P的坐标，根据，代入数据即可求解； （3）新抛物线的表达式为，由题意可得，过点F作轴，垂足为H，由得到，那么，则，然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴对称轴为直线，设对称轴交轴于点，过点P作轴，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ； （3）解：设新抛物线的表达式为， 则， ∵对称轴为直线，， ∴，， 过点F作轴，垂足为H， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， ∴将代入得：， 当点D在轴正半轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当点D在y轴负半轴上，则， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述：m的值为3或5． 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度较大，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质等知识点． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $