精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高二上学期期中质量调查数学试卷

天津一中2025-2026-1高二年级数学学科期中质量调查试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行得的值，又由两平行线的距离公式即可求解，进而求解. 【详解】由直线与直线平行，所以， 又直线与之间的距离是， 所以，所以或（舍去）， 所以， 故选：C. 2. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，以及抛物线准线的概念，求出点的坐标即可. 【详解】由题意可得，点到准线的距离为3， 可知抛物线的准线方程为， 所以点的纵坐标为2， 代入得，解得， 所以点的坐标为或 故选：C. 3. “”是方程“”表示双曲线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先通过直线与圆相切求出圆的参数，再计算两圆的圆心距，结合半径和与差判断位置关系. 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径（）. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径. 由点到直线距离公式得. 结合，解得，故圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 两圆的圆心距：. 因为，所以两圆外切. 故选：B. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 6. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图. 可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 7. 双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，解得，根据计算得到答案. 【详解】设，则 解得：，同理 ，根据得到 解得 故选： 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力. 8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为.A是上位于第一象限上一点，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合勾股定理、余弦定理可得，据此可求渐近线方程. 【详解】设，故， 由双曲线的定义可得，， 所以，所以， 所以，，故， 所以， 所以，即，故渐近线方程为：， 故选：C. 9. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 10. 已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对称两点，则，由与椭圆相交得范围， 由中点在直线上又在直线上得之间的关系，利用的范围求范围. 【详解】设椭圆上关于直线对称的两点为，中点为， 则得，且， 设，则由，得， 则，解得， 且，所以，所以， 又，所以，得， 又，所以， 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0 【解析】 【分析】分直线在x轴和y轴上的截距为零和不为零，分别设出直线方程，将点P（2，4）代入求解. 【详解】当直线在x轴和y轴上的截距为零时，设直线方程为， 因为直线直线l过点P（2，4）， 所以，则直线方程为， 当直线在x轴和y轴上的截距不为零时，设直线方程为 ， 因为直线直线l过点P（2，4）， 所以，则直线方程为 ， 综上直线在x轴和y轴上的截距相等时，直线l的方程为x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0， 故答案为：x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0 12. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 13. 已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为： 14. 椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以 设椭圆的左焦点为，则，， 所以的周长， 因为，所以， 所以，即的周长的取值范围为， 故答案为：. 15. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接．利用对称性可得是矩形，，利用焦点三角形面积公式求出，由矩形性质得，据此可得a、b关系，由即可求得答案． 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接， ∵以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， ∴根据对称性可知该圆也过左焦点为， ∴， ∵和互相平分， ∴四边形是平行四边形，且为矩形， ∴，， 又根据双曲线焦点三角形面积公式，得， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16. 已知直线与椭圆1（a＞b＞0）交于A，B两点，点A关于轴的对称点记为P，且的面积为3，则椭圆恒过定点 _________ 【答案】 【解析】 【分析】由面积得，结合椭圆方程可判断. 【详解】由，得， 设，则，且， ， 所以，即，又，所以椭圆恒过点，满足， 解得， 所以椭圆恒过点， 故答案为： 三．解答题（共4小题，共46分） 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 设圆心，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合； ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 18. 已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入坐标即可列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解， （3）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. 【小问1详解】 将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线过且斜率为，方程为， 联立，消去得， 整理得， 设，则， 由弦长公式（为直线斜率）， ，代入得. 【小问3详解】 由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故,故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令 设直线，避免斜率不存在情况)，联立， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又 所以直线 所以直线的方程为 19. 已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2． （1）求双曲线C方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值； （3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|． 【答案】（1）；（2）-；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）解：设F2，M的坐标分别为,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C的方程为；（2）设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，再求出和的值，即得的值；（3）由题意，即证：OA⊥OB，分y0≠0和y0=0两种情况证明，原题即得证. 【详解】（1）解：设F2，M的坐标分别为 因为点M在双曲线C上，所以，即，所以 在Rt△MF2F1中，，，所以 由双曲线的定义可知： 故双曲线C的方程为： （2）解：由条件可知：两条渐近线分别为 设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则 则点P到两条渐近线的距离分别为 因为P（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又， 所以=••cos（π-θ）=-•=- （3）证明：由题意，即证：OA⊥OB． 设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2 ①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得： 所以：， 又 所以 ②当y0=0时，易知上述结论也成立．  所以 综上，OA⊥OB，所以． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. 已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求的横坐标. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过点和焦距求出，即求得椭圆方程与离心率； （2）通过设直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建立方程求出坐标. 【小问1详解】 由题意可知，，由焦距，则， 所以， 所以椭圆方程为，离心率 【小问2详解】 若斜率不存在，则，则； 设直线方程，， 则，消元可得； 则， 设，由点是直线上一点，， 则存在，使得，则， 由,则， 故，代入可得， , 故点的横坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-1高二年级数学学科期中质量调查试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 若两平行直线与之间距离是，则（ ） A. B. C. 5 D. 7 2. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. “”是方程“”表示双曲线的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线左、右焦点分别为.A是上位于第一象限上一点，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A B. C. D. 10. 已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 12. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 13. 已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 14. 椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为_____ 15. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为_______． 16. 已知直线与椭圆1（a＞b＞0）交于A，B两点，点A关于轴的对称点记为P，且的面积为3，则椭圆恒过定点 _________ 三．解答题（共4小题，共46分） 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 18. 已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 19. 已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值； （3）过圆O上任意一点Q作圆O切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|． 20. 已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求的横坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $