精品解析：上海市文来中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025年文来中学 高二期中试卷 2025.11 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 异面直线定义：不同在________平面内的两条直线． 【答案】任何一个 【解析】 【分析】略 【详解】略 2. 两条异面直线所成角的取值范围为______（用弧度制表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义及性质写出范围即可. 【详解】由空间两条直线所成角只能是为或锐角或直角， 当两条直线所成角为时，两条直线平行，不满足异面， 所以异面直线所成角范围是. 故答案为： 3. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为， 由题意可得，， 圆锥的侧面积为，圆锥的表面积， 故 故答案为： 4. 如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算可得. 【详解】 如图，将直观图还原成平面图， 则，，， 所以， 所以边的实际长度为. 故答案为：. 5. 如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所成角或其补角，最后求角即可. 【详解】 如图，连接，，， 因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角， 因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以. 故答案为：. 6. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【详解】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 7. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3，由球心到该截面的距离为1，则球的半径， 所以球的表面积为． 故答案为：. 8. 在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，围成几何体是两个同底的圆锥，然后结合圆锥的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，为直角三角形的斜边， 以AB所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为斜边边上的高，即， 所以围成的几何体的体积为. 故答案为： 9. 如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条 【答案】4 【解析】 【分析】利用异面直线的定义判断得解. 【详解】正六棱柱中与直线异面的侧棱有,共有4条. 故答案为：4. 10. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 11. 正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，，可得为侧面与底面所成二面角的平面角，求出其余弦值即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成二面角的平面角，则, 由于正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则． 所以 故答案为： 12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若， 则点的轨迹所围成图形的面积是.其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角结合和、即可判断①，根据空间中的垂直关系转化即可证明平面，即可求证线线垂直进而判断②，根据点到面的距离为最小值，利用等体积法即可求解③，根据圆的面积即可判断④. 【详解】由于，所以即为直线与所成的角或其补角， 由于底面，平面， 所以，又，所以，①正确； 由于底面平面，所以， 又，平面，所以平面， 取中点为，连接， 由于为的中点，所以， 所以平面，平面，则， 又，中点为，所以, 平面，所以平面，平面，则， 平面， 所以平面，平面，所以， 平面，所以平面，平面， 所以，故②正确； 当平面时，最小，设此时点到平面的距离为， ， 所以， 由于，故为等边三角形，， 所以，故③正确； 由③得点到平面的距离为，不妨设在平面的投影为， 所以点到平面的距离为， 由于被平分，所以到平面的距离为， 由②知平面，所以三点共线，即， 又，所以， 因此点的轨迹围成的图形是以点为圆心，以为半径的圆， 所以面积为，故④错误. 故答案为：①②③ 二、选择题 13. 已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（ ） A. 平面 B. 平面或平面 C. 平面 D. 平面或平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的线、面位置关系，和线面平行的性质和判定定理，即可判断结果. 【详解】如图所示， 因为平面，所以存在直线平面，使得， 因为，所以或与重合，此时平面或平面， 当平面时，因为平面且，所以平面， 综上，平面或平面. 故选：D. 14. 下列说法错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱长一定相等 B. 侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C. 圆柱的母线长与高相等 D. 底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱、直棱柱、圆柱及圆锥的定义逐项判断即可. 【详解】选项A:由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确； 选项B:由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确； 选项C:由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确； 选项D:若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误. 故选：D. 15. 已知一个圆台的母线长为，高为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积公式结合条件可得圆台底面圆半径，然后根据圆台的体积公式即得. 【详解】设圆台底面圆半径分别为，则由圆台侧面积公式得， 所以， 又由题可知，所以， 所以， 所以圆台的体积为． 故选：B. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平面分别交棱、于点、，利用面面平行的性质得出、，结合等角定理得出、，进而可求得、、、的长，再利用勾股定理可求出的长，即为所求. 【详解】设平面分别交棱、于点、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故. 因此，平面与侧面的交线长为. 故选：A. 三、解答题（共78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. （1）证明：与共面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. 【小问2详解】 连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 18. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． （1）若AD平面PBC，证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】（1） 由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【解析】 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，确定为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可. （2）利用等体积法，结合的面积即可求解. 【小问1详解】 由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. 【小问2详解】 根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 20. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是的中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，再结合面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，可得，，再结合线面垂直的判定定理，即可证明； （3）设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，又，，所以可得，故在棱上存在点，使得三棱锥的体积为. 【小问1详解】 因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，即， 又平面，平面，所以平面， 又，是的中点，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）得，四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形， 所以， 又，是的中点，平面，所以， 又侧面底面，侧面与底面相交于， 所以底面， 又平面，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面； 【小问3详解】 当时，可得，，是的中点，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，可得， 为等腰直角三角形，其面积， 所以， 设三棱锥的高为，三棱锥的高为， 则，又， 所以， 又点在棱上，所以. 所以，在棱上存在点，使得三棱锥的体积为，此时，的值为. 21. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）求证：平面平面； （2）求的值； （3）记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 【答案】（1）证明：因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，所以， 又，所以 ， 又，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得即可证明从而得证； （2）根据，利用等体积法计算可得； （3）设是面与的交线，过点作平面使得，设，即可得到，设，同上方法可得，即可求出，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接，则平面， 设点到平面的距离为， 因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为， 底面正方形的面积为，又， 依题意可得，所以 ，即，解得； 【小问3详解】 设平面与的交线为，， 过点作平面使得，（即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接则，又，所以, 又所以， 又平面与的交线为，，所以，所以）， 设， 所以，所以， 同理可得，所以， 设，同上方法可得， 所以， 而，所以， 又与侧面所成的角分别为，则 而， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年文来中学 高二期中试卷 2025.11 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 异面直线定义：不同在________平面内的两条直线． 2. 两条异面直线所成角的取值范围为______（用弧度制表示）． 3. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是__________． 4. 如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为___________. 5. 如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 6. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 7. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 8. 在中，，，．以AB所在的直线为轴旋转一周，求所围成的几何体的体积______． 9. 如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条 10. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 11. 正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______． 12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论： ①直线与所成角的大小为； ②； ③的最小值为； ④若， 则点的轨迹所围成图形的面积是.其中所有正确结论的序号是_______. 二、选择题 13. 已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（ ） A. 平面 B. 平面或平面 C. 平面 D. 平面或平面 14. 下列说法错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱长一定相等 B. 侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C. 圆柱的母线长与高相等 D. 底面是正三角形的棱锥是正棱锥 15. 已知一个圆台的母线长为，高为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. （1）证明：与共面； （2）证明：平面. 18. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． （1）若AD平面PBC，证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）求点到平面的距离. 20. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是的中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为．点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）求证：平面平面； （2）求的值； （3）记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $