5.1.2 平行四边形的对角线的性质 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

第五章 平行四边形 1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的性质 刷基础 知识点1 平行四边形对角线的性质 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,AB=3,△ABO的周长比△BOC的周长小1,则▱ABCD的周长是( ) A.10 B.12 C.14 D.16 第1题图 第2题图 2.如图,在▱ABCD中,全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.如图,▱ABCD中,一条边AD的长是8，一条对角线AC的长为6，那么它的另一条对角线 BD的长x的取值范围是___________. 4.如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE. (1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数; (2)求证:AE=CF. 知识点2 平行四边形性质的综合应用 5.如图，在周长为20厘米的平行四边形 ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点 O,OE⊥BD交AD于点 E,连接BE,则△ABE的周长为( ) A.10厘米 B.12厘米 C.14厘米 D.16厘米 第5题图 第6题图 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O的线段 EF与AD，BC分别交于点E,F.如果AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为__________. 7.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,以 OD,CD为邻边作平行四边形DOEC,OE交BC于点 F,连接BE.求证:F为BC中点. 8.在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,______________(填写序号). 求证:BE=DF. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 刷提升 1.如图,平行四边形 ABCD中,对角线 AC,BD交于点E,∠CBD=90°,BC=4,AC=10,则这个平行四边形面积为( ) A.24 B.40 C.20 D.12 第1题图 第2题图 2.如图，∠AOB=30°,OB=4,点P为射线OA上任意一点，连接PB.以PO，PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段 PQ的最小值为____________. 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F，交BE于点G，P是EB延长线上一点，连接CP,FP.下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的有______________.(填序号) 第3题图 第4题图 4.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,AM=1,AN=2,∠MAN=60°,AM，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________. 5.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点 O 作OM⊥AC,交AD于点M,连接CM. (1)若△CDM的周长为8,求▱ABCD的周长; (2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数. 刷素养 6.如图,平行四边形ABCD中,AB=7,BC=5. CH⊥AB于点 H,CH=4,点 P 从点 D出发,以每秒1个单位长度的速度沿 DC-CH向点H运动，到点H停止，设点P的运动时间为t. (1)AH=_____________; (2)若△PBC是等腰三角形,求t的值. 参考答案 刷基础 1. C【解析】∵△ABO的周长比△BOC的周长小1,∴BC-AB=1.∵AB=3,∴BC=4,∴AB+BC=7,∴▱ABCD的周长为14. 2. C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC. ∵OD=OB,OA= OC,∠AOD =∠BOC,∴△AOD≌△COB(SAS); 同理可得出△AOB≌△COD(SAS); ∵AD=BC,AB=CD,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS ); 同理可得△ACD≌△CAB(SSS).因此共有4对全等三角形. 3.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴ 在△AOD中,由三角形的三边关系,得 4.(1)【解】∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°. ∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°. (2)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC. ∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°. ∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF. 5. A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分,∴ O 是 BD的中点.又∵OE⊥BD,∴OE为线段 BD的垂直平分线,∴BE= DE,∴△ABE 的周长为 AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD.∵平行四边形ABCD的周长为20 厘米,∴ AB+AD= 10(厘米). ∴△ABE的周长为10厘米.故选 A. 6.12【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,AD∥BC,∴∠OAE =∠OCF. ∵∠AOE =∠COF,∴△OAE≌△OCF(ASA),∴OF=OE= 1.5,CF=AE,∴四边形EFCD的周长为ED+CD+CF+OF+OE=ED+CD+AE+OE+OF=AD+CD+OE+OF=5+4+1.5+1.5=12. 7.【证明】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=OD. ∵四边形 DOEC为平行四边形，∴OD∥EC,OD=EC,∴EC∥OB,EC=OB, ∴∠BOF=∠CEF,∠OBF=∠ECF,∴△OBF≌△ECF(ASA), ∴BF=CF,即F为BC中点. 8.【解】若选①,即AE=CF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,AO=CO. ∵AE=CF,∴OE=OF. 又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(SAS),∴BE=DF. 若选②,即OE=OF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴BO=DO.∵OE=OF,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌ △DOF(SAS),∴BE= DF. 若选③,即BE∥DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO. 又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(AAS),∴BE=DF. 刷提升 1. A【解析】∵四边形 ABCD是平行四边形, ，则这个平行四边形面积为BD·BC=6×4=24.故选 A. 2.2 【解析】设 OB与PQ交于点 H.∵四边形PBQO 是平行四边形,∴ PH=HQ,OH= HB= 根据垂线段最短，可知当PQ⊥OA时,PQ最短.在Rt△POH中,∵∠AOB=30°, 即线段 PQ的最小值为2. 3.①②③④【解析】∵BC= EC,∴∠CEB=∠CBE. ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CEB=∠EBF,∴∠CBE=∠EBF,∴①正确. ∵BC = EC,CF⊥BE,∴∠ECF=∠BCF,∴②正确. ∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CFB.∵∠ECF=∠BCF,∴∠CFB=∠BCF,∴BF=BC,∴③正确. ∵FB=BC,CF⊥BE,∴GB是CF的垂直平分线.∵点P在直线GB上,∴PF=PC,∴④正确. 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE,AB=CD,∴∠BAM=∠CEM,∠B=∠ECM.∵ M为BC 的中点,∴ BM= CM,∴△ABM≌△ECM(AAS),∴ AB= CE= CD,AM=EM= 1. ∵ N为边 DC的中点,∴ NE=即 2,且∠MAN= 60°,∴△EAN是等边三角形, 5.【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD=BC. ∵OM⊥AC,∴OM垂直平分线段AC,∴AM=MC, ∴△CDM的周长为CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8, ∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=2×8= 16. (2)由(1)得 AM=CM,∴∠MAC=∠MCA. ∵CM平分∠ACD,∴∠MCA=∠MCD,∴∠MAC=∠MCA=∠MCD. ∵∠ADC=78°,∴3∠MAC+78°=180°,∴∠MAC=34°. ∵AD∥BC,∴∠BCA=∠MAC=34°. 刷素养 6.(1)4【解析】∵BC=5,CH=4,CH⊥AB,∵AB=7,∴AH=AB-BH=7-3=4. (2)【解】当点P在DC边上时,∵△PBC是等腰三角形,∴PC=BC.∵BC=5,∴PC=5. ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=7,∴CD=AB=7,∴DP=DC-PC=7-5=2,∴t=2÷1=2. 当点P在CH上时，∵△PBC是等腰三角形，∴PC=PB. ∵PC=t-7,∴PH=4-(t-7)= 11-t. ∵BH=3,∠BHP=90°,BP=PC=t-7,∴3²+(11-t)²=(t-7)²,解得 由上可得，t的值是2或 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $