北京市北京师范大学附属中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试 数学试卷， 班级： 姓名： 学号： 1.本试卷有三道大题，共8页。考试时长120分钟，满分100分。 生 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 知 3.考试结束后，考生应将答题纸交回。 一、 选择题（本大题共8小题，共16分） 1.围棋起源于中国，古代称之为“奕”，至今己有4000多年的历史.以下是 在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是(). A. B. C D 2.抛物线y=(x-1)2+2的最小值为（). A.1 B.-2 C.2 D.-3 3.⊙0的半径为4,0为原点，点P的坐标为(-3,4)，则P与⊙O的位置关系是 (). A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或点P在⊙O外 4.若方程(m-1)x+1-2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为（). A.1 B.-1 C.±1 D.不存在 5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，那么 ∠BCD是(). A.140° B.70°C.100° D.110° 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试第1页（共8页） 6.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过 连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百 分率为x,则可列方程(). A.2001-x)2=162 B.1621-x)2=200 C.2001+x)2=162 D.162(1+x)2=200 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下 列说法正确的是（) A.ac-0 B.b>0 C.b2<4ac D.此函数图象与直线y=c有两个公共点 0 5 8.已知函数y=x2+x-1在m≤≤1上的最大值是1，最小值是-，则m的取 值范围是（). B.-2Sm≤-月 A.m2-2 C.0sm≤2 D.m≤-克 二、填空题（本大题共8小题，共16分) 9.平面直角坐标系中与点P(-3,4)关于原点对称的点的坐标是 10.把二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位，再向左平移1个单位，可得 抛物线的表达式为 11.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有一个根是-2，则方程的另一个根 为 12.关于x的一元二次方程c2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是 13.如图，PA,PB是圆O的切线，切点分别为A, B,连接OB,AB.如果∠P=30°，那么∠OBA的度数 为 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试第2页（共8页) 14.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点 A(-3,-5),B(1,-2),则关于x的不等式 ax2+(b-m)x-n>0的解为 15.如图，将含有30°角的直角三角板放置在平 面直角坐标系中，OB在x轴上，若O作2，将三角 板绕原点O顺时针方向旋转90°得到△OAB,则 点A的对应点A:的坐标为 16.如图，⊙0的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O,圆 心O到AC的距离等于√3.下列说法中： ①AC的长为2； 0 ②∠ADC=120° ③D为劣弧AC上一点若CD=2AD,则∠DBC=20°； ④若点E是线段AC上一动点，连接OE,过点C作CF⊥OE于点F,则AF 的最小值是√5 所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共12小题，共68分） 17.(4分)解方程x2-4x-1=0 18.（5分)（已知关于x的方程x2-2mx+m-n=0有两个不相等的实数根 (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m 的值。 北京师大附中2025一2026学年（上）初三期中考试第3页（共8页） 19.(6分)已知二次函数y=x2-2x-3. (1)此二次函数图象与y轴的交点坐标 为 ,顶点坐标为 (2)在所给的平面直角坐标系中画出此 4-3-2-10 1 45x -1H 函数的图象（不用列表）； -2 (3)当-2<x<3时，结合图象，直接写 3 出函数值y的取值范围 20.(5分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕 点C逆时针旋转60°，得到线段CD,连接AD,BD. (1)依题意补全图形； (2)若BC=1,求线段BD的长. 21.(5分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于 点E. (1)求证：∠BCO=∠D; B (2)若CD=42,0E=1,求⊙0的半径 D 北京师大附中2025一2026学年（上）初三期中考试第4页（共8页) 22.(5分)下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程。 已知：⊙O及⊙O外一点P. 求作：直线PA和直线PB,使得PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B. 作法：如图， ①连接OP,作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q; ②以点Q为圆心，O2的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B; ③作直线PA和直线PB. 所以直线PA和PB就是所求作的直线 p。 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明. 证明：连接OA,OB. °OP是⊙2的直径， ∴.∠OAP=∠OBP= (填推理的依据). 。PA⊥OA,PB⊥OB .OA,OB为⊙0的半径， .PA,PB是⊙O的切线( )(填推理的依据). 23.(6分)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启 发，让人滋养浩然之气”.为响应全民阅读活动，某班利用午休时间开设图书 角.据统计，第-一天有8人次借阅图书，借阅图书的人次逐天增加，到第三天 累计借阅图书的人次达到38人次，借阅图书的人次的每天平均增长率相同. (1)求借阅图书的人次的每天平均增长率（请列方程解决此问)， （2)因条件限制，图书角每天接纳能力不超过30人次，在借阅人次的每天平 均增长率不变的条件下，该图书角能否接纳第四天的借阅人次，并说明理由。 北京师大附中2025一2026学年（上）初三期中考试第5页（共8页) 24.(6分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交 ⊙O于点D,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于 点E B (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若∠BAC=30°，BC=2√2.求CD的长. D 25.(6分)A虹的应用早已渗透到从医疗诊断、智能教育到智能家居、工业制 造等各个领域我们经常可以看到无人驾驶的快递车穿梭在路上，它早已在快 递运送中大展身手：既优化分拣与路线，又赋能无人车自主配送，让包裹送达 更智能高效.一辆无人驾驶快递车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括 A,B)共有T(T为≥2的正整数)站，从A地出发时，装上发往后面每站的邮 件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往 后面各站的邮件各1件，将A,B之间所有站按1,2,3.，T依次标记，记快 递车在第x站装卸完毕后剩余邮件数为y,根据以上资料，回答问题： (1)T=6时，站号x和剩余邮件数y满足如下关系，补全表格： 站号x 1 2 5 6 剩余邮件数y 5 8 9 8 0 (2)在平面直角坐标系xOy中描出T=6时各数对所 对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，此 时站号x和剩余邮件数y满足的函数关系式为 ;(不要求x的取值范围) (3)7=31时，第 站剩余邮件数y最大； 22.3455789x (4)T给定时，直接写出y和x满足的函数关系式为 (用含有T的 式子表示，不要求x的取值范围) 北京师大附中2025一2026学年（上）初三期中考试第6页（共8页） 26.（7分)已知抛物线y=-x2+2px+3 (1)直接写出抛物线的顶点坐标 (用含p的式子表示)； (2)点A(p+4,yA),B(-p,yB)在抛物线上，若yPyB,求p的范围； (3)点A(p叶4，ya),B(-p,yB)在抛物线上不同的两点，A、B之间的部 分记为图形G（包含点A、B),过M(0,-12)作垂直于y轴的直线I,若图 形G与直线1有交点，直接写出p的取值范围 27.(7分)如图，将正方形ABCD的CD边绕点C顺时针方向旋转a(0°<a<90) 得到CE,连接DE,作CP⊥DE于P,连接BE,交CP于点F,连接AF, 0 E (1)依题意补全图形： (2)求∠BED; (3)用等式表示BE,AF的数量关系，并证明 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试第7页（共8页) 28.(6分)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,2),直线I过点(a,0) 且垂直于x轴，点M关于直线1的对称点为点M'.对于坐标平面内的点N和图 形W做如下定义：若W上存在点P使△M'PW是以P为直角项点的等腰直角 三角形，则称点N是M关于I和图形W的“对垂点” 已知正方形ABCD的顶点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1). (1)若a=2,下列点中， (填序号)点是M关于1和A的“对垂点” ①(2，-2)②(5，-1)③（3,5)④(0,4) (2)若a=2,以点(0，t)为圆心，2为半径的圆上存在N是M关于l和线 段AB的“对垂点”，则t的取值范围是 (3)直线y=1上存在两个M关于1和正方形ABCD的“对垂点”，则a的取值 范围是 A C D C D 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试第8页（共8页) 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试 数学试卷答案及评分参考 一、 选择题（本大题共8小题，共16分) 题号 2 3 4 5 6 8 答案 A C B A D B 二、填空题 （本大题共8小题，共16分) 9.(3,-4) 10.y=2(x+1D2-2 11.5 12.k≤2且k≠0 13.15 14.-3<x<1 15.1,-V5) 16.①③ 三、解答题（本大题共12小题，共68分) 17.(4分)为=2+V5,名=2-V5 18.(5分)(1)>0；（2)m=3 19.(6分)(1)与y轴交点(0，-3)，顶点坐标是(1，-4)； (2)图象如图所示； (3)-4≤y<5. 20.(5分)(1)图略；(2)√7 21.（5分)(1)略；(2)3. 22.(6分)(1)如图 (2)90°（直径所对的圆周角为直角). (经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线). 23.(6分)解：(1)设每天平均增长率为x,则由题意得： 8+8(1+x)+8（1+x)2=38 化简得：4x2+12x-7=0 北京师大附中2025一2026学年（上)初三期中考试数学试卷答案及评分参考第1页（共2页） .（2x-1)（2x+7)=0, .x=0.5=50%或x=-3.5（舍) 答：每天平均增长率为50%. (2) 第四天的借阅人次为：8(1+50%)3=8×27=27<30 8 答：图书角能接纳第四天的借阅人次. 24.(6分)(1)略；（2)CD=2+2W5 25.（6分)（1)5 (2)y=-(x-3)+9或y=-x2+6x,图象略： (3)15或16； (4)y=-x2+Tx 26.(7分)(1)(p,p2+3);(2)p>2或p<-2;(3)p≤-V5或-1≤p≤1或p≥V5 27.（7分)(1)图略；(2)45°；（3)BE=√2AF 28.(6分)（1)①④； (2)-6≤t≤-4+2W2或2≤t≤4+2W2; 22