精品解析：青海省西宁市第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

西宁五中2025-2026学年 高二年级第一学期期中数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟； 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求． 1. 已知向量，且·=2，则x的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知直线与垂直，则（ ） A. 或2 B. C. D. 0 3. 平行直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ） A. B. C D. 以上都不对 5. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，错选不得分． 9. 已知空间向量，，则下列选项正确为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为 D. 以，为直径端点的圆的方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为__________． 13. 如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 14. 过点与圆相切的直线方程为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． （1）用为基底表示向量； （2）求的长． 16. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 18. 如图，在四棱锥中，平面为中点且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点． （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁五中2025-2026学年 高二年级第一学期期中数学试卷 总分：150分；考试时间：120分钟； 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求． 1. 已知向量，且·=2，则x的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积的表示直接列方程求解即可. 【详解】向量， 则·，解得. 故选B. 【点睛】本题主要考查了数量积的坐标表示，属于基础题. 2. 已知直线与垂直，则（ ） A. 或2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与直线垂直时斜率之间的关系即可列出方程求出的值. 【详解】解：直线与垂直 解得： 故选：C. 3. 平行直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将直线化为，再利用两条平行直线的距离公式即可． 【详解】直线可化， 平行直线与间的距离为． 故选：A． 4. 已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项. 【详解】设且， 则，， 则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面. 对于A选项，，，、、、四点不共面； 对于B选项，，，、、、四点共面； 对于C选项，，，、、、四点不共面. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题. 5. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故. 故选：D. 6. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于等于半径列式求解即可. 【详解】圆心到直线：的距离，因为直线和圆有公共点，所以解得． 故选：B 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 8. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【详解】由直线， 化为：， 联立方程组， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，错选不得分． 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算； 对于C、D分别代向量模的公式及夹角公式计算可得. 【详解】向量， 对于A. 若，则，所以，故此选项错误； 对于B. 若，，则，故此选项正确； 对于C. 若，则，则，故此选项正确； 对于D. 若，则，所以，故此选项正确； 故答案为：BCD 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 以，为直径端点的圆的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率定义可知A错误，由两直线平行的位置关系分类讨论参数取值可知B正确，易知若在坐标轴上的截距都为零时，直线方程为，即可得C错误，设圆上点坐标为，利用向量垂直的坐标表示可知D正确. 【详解】对于A：若倾斜角，该直线斜率不存在，直线的点斜式方程不适用，所以A错误； 对于B：当时，两直线分别为和，此时两直线平行，即充分性成立； 当两直线平行时可知，解得， 但当时，两直线方程均为，此时两直线重合，因此，即必要性成立；所以B正确； 对于C：若直线在两坐标轴上的截距都为零时，直线方程为， 若直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，代入点可得； 因此满足题意的直线方程为或；即C错误； 对于D：设圆上任一点的坐标为， 则，易知， 所以， 因此圆的方程为，即D正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】由题知:圆心（2，3）,半径为2.  因为直线被圆截得的弦长为,  所以圆心到直线的距离为 ,    由,  得 或 13. 如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． （1）用为基底表示向量； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量即可. （2）根据，对等式两边平方，结合已知条件运算即可求解. 【小问1详解】 根据已知条件有：. 【小问2详解】 根据已知条件有：，，， 则，， ， ， 即的长为； 16. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 【答案】（1） （2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是 【解析】 【分析】（1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹. 【小问1详解】 线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为. 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB垂直平分线的方程为，即. 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得. 故圆心的坐标为. 圆的半径 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，由于是线段的中点，且. 所以. 又由于点在圆上，故. 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 18. 如图，在四棱锥中，平面为中点且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接. 因中，为中点， 所以且. 又因为且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2） 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 设， 所以平面的法向量为设. 又， ，设面的一个法向量为， 则有：， 可求得平面的一个法向量为. 设二面角大小为，则， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力. 19. 已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点． （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）为定值． （2）圆C的方程为 （3）的最小值为，交点P的坐标为 【解析】 【详解】试题分析：（1）第一步，先设圆的标准方程，并分别求出点,的坐标，用坐标表示,,再表示面积，即是定值；（2）根据条件，，所以取的中点,可证,,∴C，H，O三点共线，那么根据直线的斜率求参数，再写出方程；（3）求折线最短距离问题，第一步，先做点关于直线的对称点，将折线距离转化为求与圆上点的最短距离问题，再求直线与直线的交点． 试题解析：（1）证明 由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值． （2）解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2． ∴圆心为C（2,1）或（－2，－1），∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5，由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5． （3）解：点B（0,2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′（－4，－2），则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝． 所以|PB|＋|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为． 考点：1．圆的方程；2．与圆由关的最值，定值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $