24.2解一元二次方程随堂练习 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

24.2解一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ） A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 4．已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 5．方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 7．解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 8．解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 9．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 10．若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 11．关于的方程的根的情况是（    ）． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 12．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 二、填空题 13．一元二次方程的根是 ． 14．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ． 15．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 16．一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 17．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 三、解答题 18．阅读下列内容，并解答问题． 我们知道，边形的对角线条数公式为．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理，得，解得，． 不合题意，舍去， ，即该多边形是八边形． (1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”你认为A同学的说法正确吗？请说明理由． 19．用适当的方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 20．【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 21．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程． 22．解方程： (1)； (2)． 23．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解； (3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值； 24．解方程：． 《24.2解一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C C A B C A 题号 11 12 答案 B C 1．A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 3．B 【分析】该题考查了直接开平方法解方程，根据选项中的k值得出方程，求解即可． 【详解】解：A． 时，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； B． 时，，，方程有两个相等的实数根，正确，符合题意； C． 时，，方程没有实数根，故错误，不符合题意； D． 时，，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； 故选：B． 4．B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 5．C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 6．C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 10．A 【分析】根据方程根的定义，把代入即可得出，再根据直接开平方法即可得出另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 11．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 【详解】解：一元二次方程中， ， ∴， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 12．C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 13．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 14．和 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为， ∴关于y的一元二次方程可得， 解得和． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 15．3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及其与根的关系，具体涉及判别式的计算公式 和无实数根的条件 ．解题的关键在于准确应用判别式公式，建立并解不等式，最终得出 的取值范围．根据一元二次方程无实数根的条件，需满足判别式小于零，从而建立不等式求解m的取值范围． 【详解】解：一元二次方程无实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(1)这个多边形的边数是7 (2)A同学的说法不正确．理由见解析 【分析】本题考查多边形的对角线，一元二次方程的应用．本题中列式比较容易，主要是理解多边形的边数为正整数． （1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可； （2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可． 【详解】（1）解：根据颗意，得． 整理，得， 解得． 不合题意，舍去 ，即这个多边形的边数是7． （2）解：A同学的说法不正确．理由如下： 当，即时，解得， ∴符合方程的正整数n不存在， ∴多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确． 19．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）运用开平方法求解； （2）因式分解法求解即可； （3）公式法求解即可； （4）先移项，再运用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 或 解得：，； （3）解： ， ∴， ∴，． （4）解： 或， ∴，． 20．（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 21．(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入方程得出，即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得，，则原方程可得化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵是方程的根， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰直角三角形，c为斜边， ∴，， ∴， ∴原方程可得化为：， 解得：，． 22．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， 则或， 解得，． 23．(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论； （2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值， （3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值． 【详解】（1）证明：当，即时，原方程为， 解得：； 当，即时， ， ∴方程有实数根． 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴，，且 （3）由（2）可得， ∵整数，k为正整数． ∴或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，． 24．或 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法计算即可． 【详解】 或 解得：或 学科网（北京）股份有限公司 $