1.3.2 用完全平方公式因式分解 课时训练2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

第一章 因式分解 3 公式法 第2课时 用完全平方公式因式分解 刷基础 知识点1 完全平方公式 1、下列各式是完全平方公式的是( ) 2、已知4x²+1加上一个单项式后能成为一个整式的平方，给出下面五个单项式:,其中，符合要求的共有( ) A.5个 B.2个 C.3个 D.4个 3、若,则 _____________. 4、若多项式 是完全平方式,则a的值是____________. 知识点2 用完全平方公式因式分解 5、下列各式中能用完全平方公式分解因式的是( ) 6、下列因式分解正确的是( ) 7、因式分解：______________. 8、分解因式： 知识点3 用完全平方公式因式分解的应用 9、关于 x，y的多项式的最小值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 10、利用 1个面积为 a×a的正方形，1个面积为 b×b的正方形和2个面积都为a×b的长方形可拼成一个大正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式_____________. 11、因式分解： _____________. 12、若 的积中不含x项与x³项. (1)求p,q的值; (2)是否为完全平方式? 如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由. 13、a,b,c是△ABC 的三边长，且有. (1)求a,b的值. (2)若c为整数,求c的值. (3)若△ABC 是等腰三角形，求这个三角形的周长. 刷提升 1、已知,则的值为( ) A.16 B.12 C.10 D.无法确定 2、已知 ,若,则M与N的大小关系是( ) A. M＞N B. M＝N C. M＜N D.不能确定 3、两实数a，b同号，满足,若为整数,则 ab的值为( ) A.1或 B.1或 C.2或 D.2或 4、已知,则的值为_____________. 5、若，，是直角三角形ABC的三边长，且,则△ABC 的面积为_____________. 6、已知 则代数式的值是_____________. 7、已知a,b,c满足,,则 ______________. 8、下面是某位同学对多项式进行因式分解的过程： 设. 原式(第一步) ((第二步) ((第三步) .(第四步) 请问： (1)该同学因式分解的结果是否彻底?_________(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最终结果：______________. (2)请你仿照以上方法，尝试对多项式进行因式分解. 9、教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题. 例如：分解因式; 例如：对于代数式,当时,有最小值，最小值是-8.根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式:. (2)当a，b为何值时，多项式有最小值?求出这个最小值. (3)当a，b为何值时，多项式有最小值? 并求出这个最小值. 参考答案 刷基础 1. A 【解析】9x²-6x+1,符合完全平方公式法的式子的特点，故A选项符合题意；x²+x+1,不符合完全平方公式的式子的特点，故B选项不符合题意；x²+2x-1,不符合完全平方公式的式子的特点，故C选项不符合题意；x²-9=(x+3)(x-3)，不符合完全平方公式的式子的特点，故D选项不符合题意. 故选A. 2. D 【解析】∵·4x²+1+4x=(2x+1)²,4x²+1-4x²=1²,4x²+1+4x⁴= (2x²+1)²,4x²+1-1= 4x²=(2x)²,而和-2x相加不能得出一个整式的平方，∴符合要求的有4个. 3.-4 【解析】因为x²+ax+4=(x-2)²=x²-4x+4,所以a=-4. 4.±2 【解析】∵∵x²+2ax+4=x²+2ax+2²,∴ 2ax=±2×x×2,解得a=±2. 5. C 【解析】x²-2x+1=(x-1)². 6. D 【解析】a²+b²不能因式分解，故A选项不符合题意；a³-6a²+9a=a(a²-6a+9)=a(a-3)²,故B选项不符合题意；x²-2x+4不能因式分解，故C选项不符合题意； 故D选项符合题意. 7.-a(a-1)² 【解析】∵-a³+2a²-a=-a(a²-2a+1)=-a(a-1)².故答案为-a(a-1)². 8.【解】(1)原式=9x²-6xy+y²=(3x-y)². (2)原式=(a²+b²)²-(2ab)²=(a²+2ab+b²)(a²-2ab+b²)=(a+b)²(a-b)². 9. A 【解析】原式=x²-4xy+5y²+8y+15=x²-4xy+4y²+y²+8y+16-1=(x-2y)²+(y+4)²-1. ∵(x-2y)²≥0,(y+4)²≥0,∴(x-2y)²+(y+4)²-1≥-1,∴原式的最小值为-1.故选 A. 10. a²+2ab+b²=(a+b)² 【解析】两个正方形的面积分别为 a²，b²，两个长方形的面积都为ab，组成的大正方形的边长为 a+b，面积为(a+b)²,所以a²+2ab+b²=(a+b)². 【解析】 ，故答案为 12.【解】 的积中不含x项与x³项, (2)4x²-4px-27q是完全平方式，分解因式如下：4x²-4px-27q=4x²-12x+9=(2x-3)². 13.【解】(1)∵a²+b²=4a+10b-29,∴(a²-4a+4)+(b²-10b+25)=0,∴(a-2)²+(b-5)²=0, ∴a-2=0,b-5=0,∴a=2,b=5. (2)∵a,b,c是△ABC 的三边长,∴3<c<7.又∵c为整数,∴c=4或c=5或c=6. (3)∵△ABC是等腰三角形,a=2,b=5,根据三角形的三边关系可知，只有当c=5时这个三角形才为等腰三角形，∴ 5+5=12.故这个三角形的周长为12. 刷提升 1. A 【解析】将m²=4n+a与n²=4m+a相减得m²-n²=4n-4m,(m+n)(m-n)=-4(m-n), 即m+n=-4,∴m²+2mn+n²=(m+n)²=(-4)²=16.故选A. 2. A 【解析】∵a≠c,∴a-c≠0,∴M-N=a²-ac-ac+c²=a²-2ac+c²=(a-c)²>0,∴ M>N. 3. A 【解析】∵a²+b²=4-2ab,∴ (a+b)²=4,∴(a-b)²=(a+b)²-4ab=4-4ab≥0, ∴ab≤1.∵ab>0,∴0<ab≤1,∴0≤4-4ab<4.∵a-b为整数,4-4ab为平方数, ∴4-4ab=1或0,解得 或1.故选A. 4.4或-4 【解析】由a²b²+a²+b²=10ab-16,得a²b²-8ab+16+a²-2ab+b²=0,即(ab-4)²+(a-或a=b=-2,∴a+b=4或-4. 5.24 【解析】∵ a²+b²+c²+200=12a+16b+20c,∴a²-12a+36+b²-16b+64+c²-20c+100=0, ∴(a-6)²+(b-8)²+(c-10)²=0,∴a-6=0,b-8=0,c-10=0,∴a=6,b=8,c=10,∴两直角边长分别为6,8,则△ABC 的面积为 6.6 【解析】∵ ∴2(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=1+1+4=6. 7.6　【解析】∵a+b=5,∴a=5-b,∴c²=(5-b)·b+b-9,∴c²+b²-6b+9=0,∴c²+(b-3)²=0,∴c=0,b-3=0,∴b=3,∴a=2,∴ab-c=2×3-0=6. 8.(1)不彻底(x-2)⁴ (2)【解】设x²-2x=y.原式=y(y+2)+1=y²+2y+1=(y+1)²=(x²-2x+1)²=(x-1)⁴. 9.【解】(1)m²-4m-5=m²-4m+4-9=(m-2)²-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)·(m-5). (2)2a²+3b²-4a+12b+18= 2(a²-2a)+3(b²+4b)+18=2(a²-2a+1)+3(b²+4b+4)+4=2(a-1)²+3(b+2)²+4,∴当a=1,b=-2时,2a²+3b²-4a+12b+18有最小值，最小值为4. (3)∵a²-4ab+5b²-4a+4b+27=a²-4a(b+1)+4(b+1)²+(b-2)²+19=(a-2b-2)²+(b-2)²+19, ∴当a=6,b=2时,多项式a²-4ab+5b²-4a+4b+27有最小值19. 1 学科网（北京）股份有限公司 $