精品解析：广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，据此列不等式求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 在，，，，9.080080008……（每一个8多一个0）这5个数中，无理数共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 中是无理数，除以5后仍为无理数； 是开方不尽的数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 9.080080008……（每一个 8 多一个 0）是无限不循环小数，属于无理数； 综上所述，无理数有、、9.080080008……（每一个 8 多一个 0），共 3 个， 故选：B． 3. 下列表述中，能确定具体位置的是（ ） A. 小明家在沈河区 B. 小华坐在电影院的第10排 C. 沈阳市位于东经122度 D. 学校在小林家北偏东，距离800米的方向上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定位置的方法，解决本题的关键是确定位置所需的要素． 要确定具体位置，需同时具备方向和距离或两个坐标参数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，沈河区是较大范围，无法确定具体点，不满足题意； B选项，仅给出排数，缺少座位号，无法定位，不满足题意； C选项，仅给出经度，缺少纬度，无法确定具体点，不满足题意； D选项，通过北偏东50°的方向和800米的距离，可唯一确定学校的位置． 故选：D． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值在3和4之间； 故选C． 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可． 【详解】解：A、a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，而（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形； B、,所以设a=x，b=2x，c=x，而 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形； C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形； D、因为，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形． 故选：D 【点睛】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 6. 将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 7. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 8. 如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 4的平方根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义计算可求解． 【详解】解：∵， ∴4的平方根为， 故答案为：． 10. 已知，则在第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性以及象限中点的符号问题，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴第二象限， 故答案为：二． 11. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”，“>”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式可得随着的增大而减小，再结合，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，， ∴随着的增大而减小， ∵，都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 12. 如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高15，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是，的中点， ∵底面周长是10， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为13． 故答案为：13． 13. 如图，在中，，点为上一点，连接，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，证明得出，设，则，由勾股定理计算可得，从而得出，，作交于，由三角形面积公式计算得出，最后再结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 如图，作交于， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，再计算减法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，以及分母有理化，再计算加法即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解此方程组即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 详解】解：整理可得：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴原方程组的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，梯形的顶点均在正方形网格的格点上． （1）请写出点和点的坐标：（___，___），（___，___） （2）点与点关于轴的对称点分别为点和点，请在图中画出点和点． （3）连接、和，梯形内有一点，使得且．请在图中画出点，并写出点的坐标． 【答案】（1）2，3；4， （2）图见解析 （3），图见解析 【解析】 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，作图——轴对称变换，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征作图即可； （3）由（2）可得，，，从而得出，，由全等三角形的性质可得，，进而得出点在轴上，设，结合，得出，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由图象可得：，； 【小问2详解】 解：如图，点和点即为所作， ； 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴点在轴上， 设， ∵点在梯形内， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即，如图所示点P为所求， ． 17. 某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． （1）1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】（1）1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 （2）共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上． （1）求点的坐标． （2）点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为底，高是A点纵坐标6，根据三角形面积求得m的值，进而写出点C坐标． 【小问1详解】 解∶ )在一次函数的图象上， ． 点的坐标． 【小问2详解】 解：设点C的坐标为， ， ． ． 解得或． 点C的坐标是或． 19. 已知是关于、的二元一次方程组． （1）①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． （2）若方程组的解也满足方程，求的值； （3）若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】（1）①；② （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，计算即可得解； （3）由（1）可得，求出，结合无论取何值，代数式的值都是定值，即可得出，从而得解． 【小问1详解】 解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由（1）可得， ∴ ， ∵无论取何值，代数式的值都是定值， ∴， ∴． 20. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作“倍长中线法”． 【方法指导】（1）如图1，在中，，点为中点，若，，求的长．为解决此问题，小张使用“倍长中线法”：如图2，延长至点，使得，连接，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则______． 【问题解决】（2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，得出，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）延长至点，使得，连接，，证明，得出，，从而可得，由平行线的性质可得，由勾股定理求出，证明线段垂直平分，得出，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、；当点在射线上时；分别利用全等三角形的判定与性质并结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图2，延长至点，使得，连接， ， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∴； （3）如图：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当点在射线上时，延长至点使得，连接、、， ， 同理可得：，，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 初二年级数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，9.080080008……（每一个8多一个0）这5个数中，无理数共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列表述中，能确定具体位置的是（ ） A. 小明家在沈河区 B. 小华坐在电影院的第10排 C. 沈阳市位于东经122度 D. 学校在小林家北偏东，距离800米的方向上 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道题，原文：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 无法确定 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 4的平方根为__________． 10. 已知，则在第_______象限． 11. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”，“>”或“=”） 12. 如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为______． 13. 如图，在中，，点为上一点，连接，若，，，则______． 三、解答题（共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14 计算： （1）． （2）． 15. 解二元一次方程组：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，梯形的顶点均在正方形网格的格点上． （1）请写出点和点的坐标：（___，___），（___，___） （2）点与点关于轴的对称点分别为点和点，请在图中画出点和点． （3）连接、和，梯形内有一点，使得且．请在图中画出点，并写出点的坐标． 17. 某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． （1）1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ （2）若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上． （1）求点的坐标． （2）点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标． 19. 已知是关于、的二元一次方程组． （1）①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． （2）若方程组的解也满足方程，求的值； （3）若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 20. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作“倍长中线法”． 【方法指导】（1）如图1，在中，，点为中点，若，，求的长．为解决此问题，小张使用“倍长中线法”：如图2，延长至点，使得，连接，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则______． 【问题解决】（2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $