专题05 概率初步3大题型（期末真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题05 概率初步 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 2．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)下列事件中，是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．水到渠成 D．百步穿杨 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 5．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列事件中，是确定事件的是（    ） A． B．的图像开口向上 C．是负数 D．任画一个，它是 6．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)下列事件是不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．投一枚图钉，钉尖朝上 C．把一粒种子种在花盆中，种子发芽 D．水中捞月 7．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．确定性事件 D．随机事件 8．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)下列说法正确的是（   ） A．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查 B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则乙组数据比甲组数据稳定 C．某种彩票中奖的概率是，那么买100张这种彩票一定中奖 D．“篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件 9．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)对联是中国特有的一种文学形式，厦门鼓浪屿就有一副有名的对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”，在这副对联中任选一个汉字，与这个字是“山”的概率不同的汉字为（    ） A．雾 B．头 C．水 D．天 10．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)下列事件中，必然事件是（    ） A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上 11．(24-25九上·湖北武汉·调研)有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（   ） A．事件A，事件B都是必然事件 B．事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C．事件A，事件B都是随机事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)下列事件属于随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．煮熟的鸭子飞了 13．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 14．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)下列说法错误的是（   ） A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 地 城 考点02 用列举法求概率 1．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)同时掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于9的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)小数，小学和小美三位同学做“石头、剪刀、布”的游戏，三人同时随机出手一次，则三人出相同手势的概率是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次必有次正面朝上 B．连续抛掷次不可能正面都朝上 C．大量反复抛掷每次出现正面朝上次 D．抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 8．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)从英语单词“”的九个字母中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率为 ． 9．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 10．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含的式子表示）． 11．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张得到数字是奇数的概率为 ． 12．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)在英语单词中任意选一个字母，选出的字母为“”的概率为 ． 13．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)武汉，这座英雄的城市，不仅有着丰富的历史文化，还承载着深厚的红色记忆．小红和小丽计划周末到A（八七会议会址纪念馆）、B（武昌毛泽东旧居纪念馆）、C（武汉革命博物馆）、D（中共五大会址纪念馆）参加公益讲解活动． (1)若小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为___________； (2)若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，请用列表或画树状图法求小红和小丽选到相同场馆的概率． 14．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：球形火焰；动量守恒；奇妙“乒乓球”；又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ； (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 15．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 16．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． (1)求袋中黄球的个数； (2)如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 17．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同． (1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________； (2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由． 18．(24-25九上·湖北仙桃·期末)某校开展数学趣味知识竞赛活动，要求参赛学生从“A：幻方；B：数独；C：魔方”三个项目中选择个项目参加比赛．现将“A”“B”“C”分别写在3张无差别的不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，等候参赛选手随机抽取． (1)小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是______事件；（填“确定”或“随机”） (2)小亮同学选择两项参赛，他随机一次性抽取两张卡片，求都没有抽到项目“B”的概率． 37．(24-25九上·湖北武汉·调研)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率． (2)一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率． 20．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)一个不透明的布袋里有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸． (1)若从中任摸一个球，直接写出摸出球上的汉字刚好是“汉”的概率； (2)小红从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表法，求小红摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率． 21．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，随机从中任意摸出1个球，是红球的概率为 (1)直接写出袋子中白球的个数； (2)从袋子中先摸出一个球后不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图求两次摸到的球都是白球的概率． 22．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小慧购买了“二十四节气”主题邮票，她要将“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张邮票中的两张送给好朋友小雯．小慧将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小雯从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． (1)“立春”恰好被抽中是___________事件； A．不可能    B．必然    C．随机 (2)请用画树状图或列表法求出被抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 23．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)巴东有很多旅游景点是人们假期游玩的好去处.甲、乙两人计划，今年寒假从：神农溪，：巫峡口，：绿葱坡滑雪场三个景点中随机选择一个景点游玩.请用画树状图或列表的方法，求两人都选择去绿葱坡滑雪场的概率． 24．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．为让学生了解更多的数学文化，某校开展了一次数学历史知识试卷调查．对发放的试卷进行回收，对有效试卷的得分进行整理，得到下列不完整的统计表． 组别 分数段 频数 频率 A 0.2 B 40 a C 24 0.24 D b 请根据所给信息，解答以下问题： (1)本次调查回收的有效试卷共________份，表中________，________； (2)小平拟从《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 25．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)有、两组卡片，所有卡片除数字外完全相同，组有三张，分别标有数字1、2、-3；组有二张，分别标有数字-1，2．小明先从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，再从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，这样就确定点的一个坐标为． (1)用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； (2)求点落在第二象限的概率． 26．(24-25九上·湖北随州·期末)某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推． 方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中． 某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率： (1)两次抽奖的奖金和等于10元． (2)两次抽奖的奖金和不低于5元． 27．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)某校在学生中对“预防诺如病毒相关知识”知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下： 类别 频数 (1)表中的 ， ； (2)若该校有学生名，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为多少？ (3)若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用“列表或画树状图”的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率． 28．(24-25九上·湖北天门·期末)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． (1)请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； (2)若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 地 城 考点03 用频率估计概率 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（   ） A．24个 B．30个 C．20个 D．14个 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下： 射击次数 10 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 6 43 79 156 326 803 “射中9环以上”的频率 0.60 0.86 0.79 0.78 0.815 0.803 由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留小数点后两位）． 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 ． 4．(24-25九上·湖北武汉·调研)下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中的概率约是 （结果保留小数点后一位）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 1．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 【答案】C 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故选项不符合题意； B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故选项不符合题意； C. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故选项符合题意； D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故选项不符合题意； 故选：． 2．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)下列事件中，是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．水到渠成 D．百步穿杨 【答案】A 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查随机事件相关概念，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生，也有可能不发生的事件叫做随机事件，据此求解即可． 【详解】解：水中捞月是不可能事件；瓮中捉鳖是必然事件；水到渠成是必然事件；百步穿杨是随机事件． 故选A． 3．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用红球的个数除以球的总个数即可得出答案． 【详解】解：∵不透明袋子中装有6个红球，4个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，则抽到红球的概率是． 故选：B． 4．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．”是解题的关键． 根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是随机事件， 故选：A． 5．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)下列事件中，是确定事件的是（    ） A． B．的图像开口向上 C．是负数 D．任画一个，它是 【答案】A 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，二次函数图象的性质代数式的应用，掌握以上知识是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. ，是确定事件，故该选项符合题意；     B. 的图像开口向上，是随机事件，故该选项不符合题意；     C. 是负数，是随机事件，故该选项不符合题意；         D. 任画一个，它是，是随机事件，故该选项不符合题意；     故选：A． 6．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)下列事件是不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．投一枚图钉，钉尖朝上 C．把一粒种子种在花盆中，种子发芽 D．水中捞月 【答案】D 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可以有发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键． 根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不符合题意； B、“投一枚图钉，钉尖朝上”是随机事件，不符合题意； C、“把一粒种子种在花盆中，种子发芽”是随机事件，不符合题意； D、“水中捞月”是不可能事件，符合题意； 故选：D． 7．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．确定性事件 D．随机事件 【答案】D 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题主要考查基本事件，熟练掌握基本事件的定义是解题的关键．根据题意有多种可能性即可判断． 【详解】解：从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是随机事件． 故选D． 8．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)下列说法正确的是（   ） A．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查 B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则乙组数据比甲组数据稳定 C．某种彩票中奖的概率是，那么买100张这种彩票一定中奖 D．“篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件 【答案】D 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，随机事件以及方差．分别利用抽样调查和全面调查的区别，随机事件以及方差的意义，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、对参加中考进入考场考生的安检用全面调查，故本选项错误； B、若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误； C、某种彩票中奖的概率为，那么买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误； D、“篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件，故本选项正确； 故选：D． 9．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)对联是中国特有的一种文学形式，厦门鼓浪屿就有一副有名的对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”，在这副对联中任选一个汉字，与这个字是“山”的概率不同的汉字为（    ） A．雾 B．头 C．水 D．天 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据先求得随机选一个字是“山”的概率为，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】这段内容是关于概率的，对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”中，总共有14个汉字，其中“山”字出现了2次，，所以随机选一个字是“山”的概率为 而“雾”“头”“尾”“水”“天”这四个字在对联中分别出现的次数为、、、、， 与“山”字出现的次数不同的是“头”或“尾”的概率为，“雾”“水”“天”这3个字出现的概率为 故选：B． 10．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)下列事件中，必然事件是（    ） A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意； B、地球自西向东自转是必然事件，本选项符合题意； C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意； D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意； 故选：B． 11．(24-25九上·湖北武汉·调研)有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（   ） A．事件A，事件B都是必然事件 B．事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C．事件A，事件B都是随机事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 【答案】D 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了事件的分类：随机事件是可能发生的事件，必然事件是一定发生的事件，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾 ∴事件A是必然事件， ∵事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯， ∴事件B是随机事件， 故选：D． 12．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)下列事件属于随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．煮熟的鸭子飞了 【答案】B 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； 、购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； 、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 13．(24-25九上·湖北荆州沙区·期末)下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【答案】C 【来源】湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； D、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 14．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)下列说法错误的是（   ） A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 【答案】A 【来源】湖北省襄阳市高新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】根据事件的定义，调查方式，可能性，解答即可． 本题考查了事件的分类，调查方式，可能性，正确掌握分类，调查方式和可能性是解题的关键． 【详解】解：A. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，说法错误， 本选项符合题意； B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数是随机事件，正确； 本选项不符合题意；     C. 了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式，正确， 本选项不符合题意；     D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，正确， 本选项不符合题意； 故选：A． 地 城 考点02 用列举法求概率 1．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 先画出树状图，展示所有等可能的结果，再找出只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果有种， 只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率， 故选：． 2．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)同时掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于9的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题时还要注意是放回试验还是不放回试验． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和大于9的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：由题意可列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知一共有36种情况，点数和大于9的有6种情况． 所以点数和大于9的概率为． 故选：B． 3．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)小数，小学和小美三位同学做“石头、剪刀、布”的游戏，三人同时随机出手一次，则三人出相同手势的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及三人出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人的手势都相同结果有，，，共3种， 游戏中甲、乙、丙三人出相同手势的概率概率为． 故选：A． 4．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了列表法与树状图法．三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3． 画树状图为： 共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3， 所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率． 故选：C． 5．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族·期末)五张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形，现从中随机抽取2张，全部是中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】该题主要考查了中心对称图形的概念和概率求解，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．绕某个点旋转后能与自身重合的图形叫中心对称图形． 先根据中心对称图形的概念得到圆、矩形是中心对称图形，然后由列表法求得所有等可能的结果与全部是中心对称图形的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设圆、矩形、梯形、等边三角形、等腰三角形分别为A、B、C、D、E； 列表得： A B C D E A B C D           E                     ∴一共有20种情况， ∵是中心对称图形有圆、矩形，即A与B， ∴全部是中心对称图形有2种情况， ∴全部是中心对称图形的概率是． 故选：D． 6．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种， ∴恰好有两人左拐的概率为， 故选：B． 7．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次必有次正面朝上 B．连续抛掷次不可能正面都朝上 C．大量反复抛掷每次出现正面朝上次 D．抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 【答案】D 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”即可求解，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率， ∴“正面朝上”的概率为，是指抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于， 故选：． 8．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)从英语单词“”的九个字母中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率为 ． 【答案】 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有9个字母，每个字母被抽到的概率相同，抽中字母“”的情况有2种， ∴抽中字母的概率为， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 根据几何概率的计算方法解答即可． 【详解】解：由题意得：一个阴影小三角形的面积为， 则阴影部分面积为， 正方形网格的面积为， 任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含的式子表示）． 【答案】 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了几何概率，求出正方形的面积与阴影部分的面积，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可得解． 【详解】解：由题意可得，正方形的面积为，阴影部分的面积为， ∴在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖北孝感孝南区·期末)有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张得到数字是奇数的概率为 ． 【答案】 【来源】湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵2，3，4三个数中有一个奇数， ∴随机抽取1张得到数字是奇数的概率为． 故答案为：． 12．(24-25九上·湖北襄阳高新区·期末)在英语单词中任意选一个字母，选出的字母为“”的概率为 ． 【答案】/ 【来源】湖北省襄阳市高新区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：因为在英语单词中任意选出一个字母，共有4种等可能的结果，其中选出的字母为的结果有2种， 所以选出的字母为“”的概率为． 故答案为：． 13．(24-25九上·湖北武汉青山区·期末)武汉，这座英雄的城市，不仅有着丰富的历史文化，还承载着深厚的红色记忆．小红和小丽计划周末到A（八七会议会址纪念馆）、B（武昌毛泽东旧居纪念馆）、C（武汉革命博物馆）、D（中共五大会址纪念馆）参加公益讲解活动． (1)若小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为___________； (2)若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，请用列表或画树状图法求小红和小丽选到相同场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为． 故答案为：． （2）解：依题意列表如下： 小红 小丽 A B C D A （A， A） （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） （B， B） （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） （C， C） （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） （D， D） …… 由上表可知，小红和小丽在 四个场馆中各自随机选择 1 个，有 16 种等可能的结果，其中 “选到相同场馆” 的结果有 4 种． （选到相同场馆） ． 14．(24-25九上·湖北十堰竹溪县·期末)“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：球形火焰；动量守恒；奇妙“乒乓球”；又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ； (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 【答案】(1) (2)． 【来源】湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年上学期期末学业水平检测九年级数学试卷 【分析】本题考查了用画树状图或列表法求概率，用公式法求概率，解题关系是正确画出树状图或列出表格． （1）直接利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求解． 【详解】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了，，，， 小斌抽到动量守恒实验的概率是． 故答案为：； （2）画树状图： 两人抽到卡片可能出现的情况共有16种，其中抽到相同卡牌的结果由4种， 所以· 15．(24-25九上·湖北武汉东湖新技术开发区·期末)为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． （2）解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 16．(24-25九上·湖北宜昌夷陵区·期末)一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． (1)求袋中黄球的个数； (2)如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 【答案】(1)1个黄球 (2) 【来源】湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查的是概率公式，用列表法或树状图法求概率． （1）设袋中有黄球m个，根据“红球的概率是”列方程求解即可； （2）画树状图列举出所有情况，让两次摸出的都是红球的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】（1）解：设袋中有黄球m个， 由题意得，， 解得：， 经检验是方程的解， 因此袋中有1个黄球； （2）解：如下图： 共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，两次摸出的都是红球的概率为， 因此两次摸出红球概率为． 17．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同． (1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________； (2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了概率公式和列表法与树状图法；游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两个球中有红球的结果数为7，再根据概率公式计算出小张胜的概率和小王胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率为 故答案为：． （2）该游戏不公平． 理由如下： 画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，所以小张胜的概率；，小王胜的概率为 ∵ 所以该游戏不公平． 18．(24-25九上·湖北仙桃·期末)某校开展数学趣味知识竞赛活动，要求参赛学生从“A：幻方；B：数独；C：魔方”三个项目中选择个项目参加比赛．现将“A”“B”“C”分别写在3张无差别的不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，等候参赛选手随机抽取． (1)小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是______事件；（填“确定”或“随机”） (2)小亮同学选择两项参赛，他随机一次性抽取两张卡片，求都没有抽到项目“B”的概率． 【答案】(1)随机 (2)（都没有抽到项目“B”） 【来源】湖北省仙桃市 2024—2025 学年上学期九年级期末考试数学试题 【分析】本题考查随机事件的特点，列表法或画树状图求概率，通过列表法或树状图找出所有的等可能结果与所求事件的可能结果数是解题的关键． （1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点即可解答； （2）列表，共有6种等可能结果，其中两次随机抽得的卡片都没有抽到项目“B”的结果有2种，由概率公式即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：列表为： 第一次     第二次 A B C A B C 由表可得，小亮同学两次随机抽得的卡片共有6种等可能的结果，其中两次随机抽得的卡片都没有抽到项目“B”的结果有2种，所以其概率， ∴（都没有抽到项目“B”）． 37．(24-25九上·湖北武汉·调研)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率． (2)一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可； （2）利用列表法得到所有的情况数，取出的两个小球的标号之和小于6的情况数，进而可求出其概率． 【详解】（1）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种， 所有两次摸出的小球标号相同的概率为； （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 所有的等可能的结果数有种，两个小球的标号之和小于6的情况数有8种； 故两次取出的两个小球的标号之和小于6概率为． 20．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)一个不透明的布袋里有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸． (1)若从中任摸一个球，直接写出摸出球上的汉字刚好是“汉”的概率； (2)小红从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表法，求小红摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵口袋里装有分别标有汉字“湖”“北”“汉”“阳”的四个小球， ∴任取一个球，球上的汉字刚好是“汉”的概率是； （2）解：由题意，树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的情况有2种， ∴摸出的两个球上的汉字恰好能组成“汉阳”的概率是． 21．(24-25九上·湖北武汉（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）·期末)一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，随机从中任意摸出1个球，是红球的概率为 (1)直接写出袋子中白球的个数； (2)从袋子中先摸出一个球后不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图求两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市（江夏区、蔡甸区、黄陂区、新洲区）2024-2025 学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）设袋子中白球的个数为，根据概率公式得出方程，解方程即可求出白球的个数； （2）先列表展示所有等可能的结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：设袋子中白球的个数为， 根据概率公式可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 袋子中白球的个数是个； （2）解：列表如下： 第一个第二个 红1 红2 白1 白2 白3 红1 红1，红2 红1，白1 红1，白2 红1，白3 红2 红2，红1 红2，白1 红2，白2 红2，白3 白1 白1，红2 白1，红2 白1，白2 白1，白3 白2 白2，红1 白2，红2 白2，白1 白2，白3 白3 白3，红1 白3，红2 白3，白1 白3，白2 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球都是白球的结果有种， 两次摸到的球都是白球的概率． 22．(24-25九上·湖北咸宁通山县·期末)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小慧购买了“二十四节气”主题邮票，她要将“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张邮票中的两张送给好朋友小雯．小慧将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小雯从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． (1)“立春”恰好被抽中是___________事件； A．不可能    B．必然    C．随机 (2)请用画树状图或列表法求出被抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【答案】(1)C (2) 【来源】湖北省咸宁市通山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查的是事件的分类及用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据随机事件定义得出结论即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式求出答案． 【详解】（1）解：“立春”恰好被抽中是随机事件； 故选：C． （2）解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，    由图得，一共有12种等可能性的结果， 其中抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 23．(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期末)巴东有很多旅游景点是人们假期游玩的好去处.甲、乙两人计划，今年寒假从：神农溪，：巫峡口，：绿葱坡滑雪场三个景点中随机选择一个景点游玩.请用画树状图或列表的方法，求两人都选择去绿葱坡滑雪场的概率． 【答案】 【来源】湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】用树状图列举出可能出现的情况，再求出概率，即可求解． 本题考查了概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果：、、、、、、、、， 其中甲、乙两人都决定去：绿葱坡滑雪场的结果有1种， 两人都决定去绿葱坡滑雪场的概率． 24．(24-25九上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．为让学生了解更多的数学文化，某校开展了一次数学历史知识试卷调查．对发放的试卷进行回收，对有效试卷的得分进行整理，得到下列不完整的统计表． 组别 分数段 频数 频率 A 0.2 B 40 a C 24 0.24 D b 请根据所给信息，解答以下问题： (1)本次调查回收的有效试卷共________份，表中________，________； (2)小平拟从《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】(1)，， (2) 【来源】湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了统计表、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率． （1）根据组的数据求出有效试卷的份数，再根据组的频次求出，用减去组、组、组的频率求出组的频率，再根据有效试卷的份数求出值； （2）画树状图求出选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【详解】（1）解：从表中可以看出组的频次为，频率为， 本次调查回收的有效试卷共(份)， ，， 故答案为：，，； （2）解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，， 根据题意可以画出如下的树状图：    由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的结果有种， 选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率为． 25．(24-25九上·湖北孝感云梦县·期末)有、两组卡片，所有卡片除数字外完全相同，组有三张，分别标有数字1、2、-3；组有二张，分别标有数字-1，2．小明先从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，再从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，这样就确定点的一个坐标为． (1)用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； (2)求点落在第二象限的概率． 【答案】(1)共有6种等可能性的结果，分别是，，，，， (2) 【来源】湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了树状图法求概率，先根据树状图求出所有的结果数，再根据概率公式算出事件的概率， （1）利用树状图得到所有6种等可能的结果数； （2）根据第二象限点的坐标特征得到在这一象限的结果数，算出答案即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知共有6种等可能性的结果，分别是，，，，，； （2）解：由（1）得一共有6种等可能性的结果，其中点在第二象限的结果有1种， 点落在第二象限的概率为． 26．(24-25九上·湖北随州·期末)某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推． 方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中． 某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率： (1)两次抽奖的奖金和等于10元． (2)两次抽奖的奖金和不低于5元． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． （1）利用列表法即可求解； （2）利用列表法即可求解． 【详解】（1）解：列表为： 共有9种等可能的结果，两次抽奖的奖金和等于10元只有1种情况， ∴两次抽奖的奖金和等于10元的概率是； （2）解：由（1）列表得两次抽奖的奖金和不低于5元 ∴两次抽奖的奖金和不低于5元有8种情况， ∴两次抽奖的奖金和不低于5元的概率是． 27．(24-25九上·湖北宜昌宜都·期末)某校在学生中对“预防诺如病毒相关知识”知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下： 类别 频数 (1)表中的 ， ； (2)若该校有学生名，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为多少？ (3)若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用“列表或画树状图”的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率． 【答案】(1)， (2)人 (3) 【来源】湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题 【分析】本题考查的是频数分布表，样本估计总体，扇形统计图，用树状图法求概率． （1）根据扇形统计图用选项的占比乘以得出的值，进而根据频数分布表求得的值，即可求解； （2）用乘以选项的占比，即可求解； （3）根据画树状图法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：（人） 答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为人 （3）解：画树状图如图， 共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种， ∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为． 28．(24-25九上·湖北天门·期末)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． (1)请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； (2)若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)这个游戏不公平，理由见详解 【来源】湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）通过列表展示所有12种等可能性的结果数； （2）找出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数，然后根据概率公式计算两人获胜的概率． 【详解】（1）列表如下： 3 4 3 4 （2）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同， 其中点在第一象限或第三象限的结果有4种， 第二象限或第四象限的结果有8种， 所以小红获胜的概率， 小颖获胜的概率， ∵ 这个游戏不公平． 地 城 考点03 用频率估计概率 1．(24-25九上·湖北武汉硚口区·期末)在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（   ） A．24个 B．30个 C．20个 D．14个 【答案】A 【来源】湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设袋子里黑球的个数为个，根据题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设袋子里黑球的个数为个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴袋子里黑球的个数是24个， 故选：A． 2．(24-25九上·湖北武汉洪山区·期末)某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下： 射击次数 10 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 6 43 79 156 326 803 “射中9环以上”的频率 0.60 0.86 0.79 0.78 0.815 0.803 由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】0.80 【来源】湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.80，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80． 故答案为：0.80． 3．(24-25九上·湖北武汉汉阳区·期末)如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．如图，已知面积为的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在黑色部分的频率即可得出答案． 【详解】解∶黑色部分的面积约为， 故答案为∶． 4．(24-25九上·湖北武汉·调研)下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中的概率约是 （结果保留小数点后一位）． 【答案】 【来源】湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 【分析】本题考查了频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，，，， ∵结果保留小数点后一位 ∴这名球员投篮一次投中的概率约是 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $