精品解析：四川省泸州市三校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联合考试数学试题

泸州市三校联盟2025年高三上期第一次联合考试 数学试题卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出，再求即可得解. 【详解】因，，则，而， 所以. 故选：B 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系来判断充分必要条件可得. 【详解】由，得，即，解得. 又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算，结合投影向量的定义计算即可. 【详解】已知，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】首先得，然后结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，故两式作差可得： ，即，，又，故. 故选：C. 6. 若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和差的正弦公式，解得，，相除求得的值． 【详解】解：由，， 可得，， 解得，，， 故选：A． 7. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值. 【详解】由函数在上单调递增，得， 解得，由的图象关于点对称，得， 解得，于是，， 所以. 故选：C 8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解. 【详解】将不等式变形，可得， 要使不等式恒成立，需满足： 当时，，因此需， 当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则， 下面验证时，恒成立， 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 当时，， 所以时，不等式恒成立， 所以，令，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故选：. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用极差的定义判断选项A；利用方差的性质判断选项B；利用百分位数的定义判断选项C；利用平均数的定义和计算公式判断选项D. 【详解】对于选项A: 因为数据的极差为6， 所以. 根据可知：，. 所以，所以A正确. 对于选项B： 因为数据的方差为4，， 所以根据方差的性质可知：数据的方差为. 所以B正确. 对于选项C： 因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，所以C错误. 对于选项D： 因为数据的平均数为3，， 所以数据的平均数为. 所以数据,的平均数为. 所以D正确. 故选：. 10. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，令，则， 又为偶函数，则，A对； 由上，得①， ①式，将代换，得②，B错； 在②式，将代换，得，C对； 由且，即周期2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 故选：AC 11. 数列中，且，，．（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若中存在连续3项依次成等差数列，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目中递推关系可表示出数列的通项公式为，A选项将代入通项公式中可表示出，指数利用等比数列求和公式进行求解即可；B选项利用通项公式表示出，再借助导数求出最小值即可；C选项利用连续3项依次成等差数列列出，再结合递推关系求出，进行检验即可；D选项利用通项公式及递推关系得出数列的单调性，即可判断. 【详解】由题意可知：, ，两边取对数得，， 令，则，且， 是首项为，公比为的等比数列，， ，， 对于A选项，若，则， ，故A正确； 对于B选项，若，则，，， ， 令，，，且， 则，， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，，故B正确； 对于C选项，若中存在连续3项依次成等差数列，设为， ，代入递推关系得，， ，即， 当时，不符合题意舍去， ，即，或， 且，且，， 若，则，与矛盾，故C错误； 对于D选项，， ，， ， 是递减正项数列，逐渐趋近于，总和远小于， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从二项分布，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为:. 13. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：. 14. 在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得的最大值，即可得答案. 【详解】由题意可得：， ， 所以 ， 解得，则， 设的外心为，外接圆的半径为， 由正弦定理得：，解得， 可得． 由平面向量的线性运算知，， 所以， 由图可知：． 当且同向时，， 所以最大值为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：平面向量解题方法 1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用． 提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数． （1）求； （2）设函数，求的值域和图象的对称中心． 【答案】（1） （2）值域是， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质即可得解； （2）由（1），利用三角恒等变换化简，利用正弦函数有界性和对称性求解. 【小问1详解】 由为奇函数，则，由，得. 【小问2详解】 由（1）得， 则 . ∵，∴， 即，则的值域是. 令，∴， 则图象的对称中心是. 16. 已知函数，. （1）当时，求在处切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，得出函数的单调区间和最小值为，结合题意，，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 则且， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，可得， 令，可得或， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为当时，恒成立，所以，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围为. 17. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解； （2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得，即可得周长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可知可转化为， 即， 即，， 由在中，， 则； 【小问2详解】 在中， 由， 即， 又直线为的平分线， 则， 所以， 即， 又由余弦定理可得，即， 可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析；该校学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得时，，然后通过构造可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，然后可求其最大值. 【小问1详解】 根据已知条件得，报名人数为，未报名参加答题活动的人数为55人， 报名参加答题活动的男生人数为人，报名的女生为15人， 设男生人数合计为人，则 列联表如下： 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 30 15 45 未报名参加答题活动 20 35 55 合计 50 50 100 假设该校报名参加答题活动与性别没关联． 计算 比较临界值，因为9.09>7.879，所以拒绝假设（即不成立）， 即该校学生报名参加答题活动与性别有关联． 小问2详解】 ①由题意得 ① ② ①－②得： ②依题意甲同学每轮答题得1分的概率为，得2分的概率为， 甲同学答题得n分即得后得1分下一轮得或得后下一轮得2分， ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． ， 显然当n-1为奇数时，有最大值；此时是递减涵数， 故的最大值为． 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值； （2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式有，利用导数证明，即可证结论； （3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当，时，且， 则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 当时，则且， 可得， 由存在两个极值点，， 则是在上的两个不同根， 所以，可得， 由 ， 所以，， 所以， 令，，则， 令，则在上单调递增， 故， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递增，， 综上，，即，得证； 【小问3详解】 由题设且， 因为，为函数的极值点， 则， 所以，即， 显然，则， 由，则， 故，易知， 由，，是一个三角形的三边长，则，即， 所以， 令且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时， 综上，，而， 由在上单调递增， 当，则， 当，， 则， 故，即的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市三校联盟2025年高三上期第一次联合考试 数学试题卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若，，，则是（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 6. 若，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 10. 定义在R上偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 数列中，且，，．（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若中存在连续3项依次成等差数列，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从二项分布，则_____________． 13. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 14. 在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数． （1）求； （2）设函数，求的值域和图象的对称中心． 16. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $