精品解析：广东省广州市天河中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

广州市天河中学初中部2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 Ⅰ卷 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了考查二次函数性质，掌握的顶点坐标为是解题的关键． 3. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：A． 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，故原方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 5. 在抛物线y＝x2－4x－4上的一个点是（ ） A. （4，4） B. （3，－1） C. （－2，－8） D. （－1，1） 【答案】D 【解析】 【分析】先分别计算当自变量为4、3、-2、-1时，所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行判断即可； 【详解】解：选项A中，当x=4时，y＝x2－4x－4＝−4，点（4，4）不在抛物线上，故选项A错误； 选项B中，当x=3时，y＝x2－4x－4=−7，点（3，-1）不在抛物线上，故选项B错误； 选项C中，当x=−2时，y＝x2－4x－4=8，点（-2，-8）不在抛物线上，故选项C错误； 选项D中，当x=−1时，y＝x2－4x－4=1，点（-1，1）在抛物线上，故选项D正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法一般步骤以及注意事项是解题的关键. 7. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 8. 2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程． 【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得： x（x﹣1）=380． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解． 9. 点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别把点，代入抛物线解析式，再由，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图是二次函数图象的一部分．对称轴是，且过点，下列说法：①，②，③，④当时，y随x的增大而减小，⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键。 根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再利用抛物线的对称性和增减性及巧妙利用数形结合的数学思想即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 由图可得，函数图象交y轴于上半轴， ∴， ∴，①错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵图象与x轴的一个交点坐标为且图象关于直线对称， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象得，当时，；当或时， ∴当时，， ∴，③正确； 由函数图象可得，当时，y随x的增大而减小， ∴④正确； ∵函数过， ∴， ∴， ∴ ， 由得， ， ∴⑤正确， 综上所述，正确的有②③④⑤，共四个， 故选D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．根据因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 ∴该方程的解为：，． 故答案为：，． 12. 如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为15，则四边形的面积为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】如图，连接，先根据平行四边形的性质可得，进而得到．即可证明，同理可证 即四边形的面积等于四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 在与中， ∵， ∴， 同理： ∵ ， ． ∴ ． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键． 13. 已知方程的两根分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），如果的两个实数根是，则，，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 此题中，故． 【详解】解：方程的系数， ∴． 故答案为：． 14. 下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 15. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为_____ 【答案】16 【解析】 【分析】边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长． 【详解】∵解方程x2-7x+12=0得：x=3或4 ∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形； ∴菱形的边长为4． ∴菱形ABCD的周长为4×4=16． 故答案为：16 【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 16. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E正好落在边上，连接，，且交于点P．则以下结论正确的是________． ①是等腰三角形；②；③；④若，，则． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由矩形和旋转的性质可得，，从而得到，从而得证①②；过点B作于点M，过点E作于点N，通过证明，，即可证明③；然后结合全等三角形的性质和勾股定理解直角三角形，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得，即是等腰三角形，故①正确； ∴． ∴， ∴，故②正确； 如图，过点B作于点M，过点E作于点N． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴，． 由旋转得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴， ∴，即，，故③正确； ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， 由旋转得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， ∴①②③④都正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】此题考查了矩形的判定性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识． 三、用心答一答（解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的几种解法以及步骤． 根据配方法求解即可． 详解】解： 或 ∴， 18. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素． 由旋转得到旋转角，再由角度和差计算求解． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到， ∴， ∵， ∴． 19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图． （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【答案】（1）△AB 1C 1如图所示；见解析；（2）△A 2B 2C 2如图所示；见解析． 【解析】 【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1； （2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【详解】（1）△AB1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 20. 已知抛物线中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求这个二次函数的解析式和m的值； （2）根据表格的数据，在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、画二次函数的图象、二次函数与不等式的关系等知识点，正确画出二次函数图象是解答本题的关键． （1）把点代入，求出a的值即可； （2）利用描点法画出函数图象，即可； （3）直接观察图象，即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，； 【小问2详解】 解：在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象如下： 【小问3详解】 解：观察图象得：当时，x的取值范围为． 21. 已知关于x一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． （1）根据一元二次方程有实数根则求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 某果园有棵果树供游客采摘．当每棵果树采摘价格定为元时，果树果实会全部被摘完；若每剩余一棵果树未采摘，则每棵果树的采摘定价需增加元．若果园在某一时间段把每棵果树采摘的定价增加元（为正整数且）． （1）当果园采摘收入为元，求的值； （2）如果游客采摘果实，果园需要对每棵果树支出元的维护费用，则每棵果树采摘定价为多少时，果园利润最大？ 【答案】（1） ； （2） 元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用． 因为当每棵果树采摘的定价增加元，则剩余棵果树未采摘，根据果园采摘收入为无，可列方程解方程求出的值，注意把超出范围的值舍去； 设果园的利润为元，可知，所以当时果园利润最大，因为，可知当时果园利润最大，计算出当时的采摘价格即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当每棵果树采摘的定价增加元，则剩余棵果树未采摘， 根据题意可得：， 整理得：， 解方程得：，， ， 的值是； 【小问2详解】 解：设果园的利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 当时，果园利润最大，最大利润为元， 又， 当时，利润最大， 此时每棵果树的定价为元． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）详见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 24. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向右平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上，求a的值； （3）点C关于x轴的对称点为M，将线段绕某点旋转得到线段（点A与点F对应，点M与点N对应）．若点F与点N都在抛物线上，求的面积． 【答案】（1） （2）3 （3）15 【解析】 【分析】（1）分别令和，即可求解； （2）根据平移的性质可得，从而得到点，然后点代入抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意可得点，设点，，再由旋转的性质可得，可求出点，，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：∵将点C向右平移个单位长度得到点D，， ∴， ∵点D关于原点的对称点为点E， ∴点， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）， ∴a的值为3； 【小问3详解】 解：根据题意得：点， 设点，， ∵将线段绕某点旋转得到线段，， ∴，解得：， ∴点，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点问题，中心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知一条抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，其中． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）当时，在这条抛物线上取一点P（不与C重合），使得，求点的横坐标； （3）若过点A的直线l与的边交于点Q（不包含端点），设的面积为，四边形的面积为，若，求点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理、解不等式，各知识点综合应用是解题的关键． （1）根据点，设抛物线的交点式，用待定系数法将时的点代入求解即可； （2）根据，设，分别表示出的三边长，借助勾股定理解出点的横坐标； （3）分别表示出、，代入不等式求解，需注意点在边上． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的交点式为， 当时，将代入解析式得，， 解得， 故函数解析式为，即． 【小问2详解】 当时，，，由（1）知，抛物线解析式为， 设， 由于，， 为直角三角形，且边长分别为： ， ， ， 根据勾股定理有， 即， 化简得， 即 解得（即点，舍去），， 故点的横坐标为． 【小问3详解】 设抛物线的交点式为， 将代入，解得，即， 所以抛物线解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入， 解得， ， 设点的横坐标为，则， 的底，高为点的纵坐标， ， 如图所示，， 根据题意，将、分别代入， 得， ，， 解不等式左边，， 解得， 解不等式右边，， 解得， 结合，最终点Q的横坐标的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学初中部2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 Ⅰ卷 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A B. C. D. 5. 在抛物线y＝x2－4x－4上的一个点是（ ） A. （4，4） B. （3，－1） C. （－2，－8） D. （－1，1） 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 7. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 8. 2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分．对称轴是，且过点，下列说法：①，②，③，④当时，y随x的增大而减小，⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 方程的解是___________． 12. 如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为15，则四边形的面积为___________． 13. 已知方程的两根分别为，，则________． 14. 下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 15. 菱形ABCD一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为_____ 16. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E正好落在边上，连接，，且交于点P．则以下结论正确的是________． ①是等腰三角形；②；③；④若，，则． 三、用心答一答（解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 19 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图． （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 20. 已知抛物线中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求这个二次函数的解析式和m的值； （2）根据表格的数据，在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 22. 某果园有棵果树供游客采摘．当每棵果树采摘价格定为元时，果树果实会全部被摘完；若每剩余一棵果树未采摘，则每棵果树的采摘定价需增加元．若果园在某一时间段把每棵果树采摘的定价增加元（为正整数且）． （1）当果园采摘收入为元，求的值； （2）如果游客采摘果实，果园需要对每棵果树支出元的维护费用，则每棵果树采摘定价为多少时，果园利润最大？ 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 24. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向右平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上，求a的值； （3）点C关于x轴的对称点为M，将线段绕某点旋转得到线段（点A与点F对应，点M与点N对应）．若点F与点N都在抛物线上，求的面积． 25. 已知一条抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，其中． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）当时，在这条抛物线上取一点P（不与C重合），使得，求点横坐标； （3）若过点A的直线l与的边交于点Q（不包含端点），设的面积为，四边形的面积为，若，求点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $