江苏省苏州市工业园区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省苏州市工业园区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段可以组成三角形的是(    ) A. 2，3，4 B. 5，6，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 2.下列各数中，无理数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式：、、、中，分式共有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    ) A. B. C. D. 6.已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是(    ) A. 13cm B. 13cm或17cm C. 17cm D. 16cm 7.若分式方程有增根，则k的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是(    ) ①的面积的面积；②；③；④ A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.比较大小：          填“>”、“<”或“=”号 10.分解因式：______. 11.若分式有意义，则x的取值范围是      . 12.如图，≌，若，，则CF的长为      . 13.如图，在中，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，DF，GE分别交边BC点D、E且的周长为32cm，则BC的长为______ 14.如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值______. 15.如图，BE、CF分别是的高，M为BC的中点，，，则的周长是      . 16.如图，等边的边长为3，于点D，E为射线CD上一点，以BE为边在BE左侧作等边，则DF的最小值为      . 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 因式分解： ； 18.本小题6分 计算： ； 19.本小题5分 如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一P点，不写作法，保留作图痕迹 20.本小题5分 如图：，，求证： 21.本小题5分 先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值. 22.本小题6分 解方程 ； 23.本小题6分 如图，在中，BD平分，CD平分，于点 若，，求的度数； 若，，求的面积. 24.本小题6分 如图，AD平分，于E，于F， 求证：； 若，，求BE的长. 25.本小题5分 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业.某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 26.本小题8分 阅读理解题.我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”.例：分式，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为 已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”.若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“和谐值”. 已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数. ①求E所表示的代数式. ②求所有符合条件的x的值. 27.本小题10分 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据______证明≌，则，即点C为AB的中点 【类比解答】 如图2，在中，CD平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______. 【拓展延伸】 如图3，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，DE与AB相交于点线段BE与FD的数量关系为______直接写出 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、，能构成三角形； B、，不能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形． 故选： 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、，2是有理数，故此选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意． 故选： 无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个8之间依次多1个等形式． 3.【答案】B  【解析】解：分式有：、，共2个， 故选： 一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、选项是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、选项分解错误，不符合题意； C、选项不是因式分解，不符合题意； D、选项是因式分解，符合题意； 故选： 根据因式分解的定义逐项判断即可． 本题主要考查了因式分解的定义，提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解： 在和中， ，， 当时，满足SSS，可证明≌，故A可以； 当时，满足SSA，不能证明≌，故B不可以； 当时，满足SAS，可证明≌，故C可以； 当时，满足HL，可证明≌，故D可以； 故选： 由图形可知，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和 6.【答案】C  【解析】解：当3cm是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当7cm是腰时，周长 故它的周长为 故选： 题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：， ， 解得：， 分式方程有增根， ， 故选： 解分式方程得，根据分式方程有增根得，代入即可求出k的值． 本题考查了分式方程的增根，掌握解分式方程的步骤是的关键． 8.【答案】B  【解析】解：因为BE是中线， 所以， 所以的面积的面积，故①正确； 因为CF是角平分线， 所以， 因为AD为高， 所以， 因为， 所以，， 所以， 因为，， 所以，故②正确； 因为AD为高， 所以， 因为， 所以，， 所以， 因为CF是的平分线， 所以， 所以， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误； 故选： 根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形内角和即可推出②；根据三角形内角和求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型． 9.【答案】>  【解析】【分析】 此题考查无理数的大小比较.先把2变形为，再与进行比较，即可得出答案. 【解答】 解：，， 故答案为： 10.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 原式利用完全平方公式分解即可． 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意可知：， ， 故答案为： 根据分母不为零即可求出答案． 本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型． 12.【答案】3  【解析】解：≌， ， ， ， 故答案为： 根据全等三角形的性质，，即可列式作答． 本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13.【答案】32  【解析】解： ，EG分别是AB，AC的垂直平分线， ，， 的周长为32cm， ， ， 即， 故答案为： 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 14.【答案】不变  【解析】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y， 得， 可见新分式与原分式的值相等． 故答案为：不变． 依题意分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 15.【答案】14  【解析】解：、CF分别是的高， ，， ， 为BC的中点，， ，， ， ， 的周长是14， 故答案为： 由BE、CF分别是的高，证明，而，，且M为BC的中点，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接AF，. 和是等边三角形， ，，， ， 即， ≌， 又， ， ， 则点F在过点A且与AB夹角为的射线上． 过点D作射线AF的垂线，垂足为M， ，且， 即DF的最小值为 故答案为： 连接AF，利用“手拉手”模型得出全等，得出点F的运动轨迹即可解决问题． 本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，通过“手拉手”模型构造出全等是解题的关键． 17.【答案】；     【解析】原式； 原式 利用平方差公式因式分解即可； 提取公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 18.【答案】3；    【解析】 ； 分母不变，把分子相加即可； 先把除法化为乘法，再进行计算即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19.【答案】解：如图所示： P点即为所求．  【解析】分别作出MN的中垂线和的交平分线，两线的交点就是P点位置． 此题主要考查了作图与应用设计作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 20.【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】欲证明只要证明≌即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 21.【答案】，  【解析】解： ， ，， ，3， 时，原式 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 22.【答案】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为  【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 23.【答案】；   18  【解析】平分，CD平分， ，， ， ， ， ； 过点D作于点F， 平分，，， ， ， ， ， 根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； 利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出． 本题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理以及三角形面积，掌握这些知识点是解题的关键． 24.【答案】平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ；     【解析】证明：平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， ， 由角平分线的性质得，进而证明即可求证； 证明，得到，即得，进而代入已知即可求解． 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 25.【答案】解：设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， ， 答：A种机器人每小时搬运40kg化工原料，B种机器人每小时搬运30kg化工原料．  【解析】设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运化工原料，根据A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26.【答案】C不是D的“和谐式”，理由如下： ， 不是正数， 不是D的“和谐式”；   ①；②0，2，4，6  【解析】如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”， C不是D的“和谐式”，理由如下： ， 不是正数， 不是D的“和谐式”； ①关于N的“和谐值”是1， ， ， ， ； ②由①知 的值也为整数，且分式有意义， 或， 的值为：0，2，4， 计算出的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可； ①根据“和谐式”的定义得到，则，据此求解即可；②根据题意可得是整数，据此求解即可． 本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键． 27.【答案】，证明见解答过程；    【解析】解：【问题情境】平分， ， ， ， ， ≌， ，， 故答案为：ASA； 【类比解答】如图2，延长AE交BC于点F， 由【问题情境】可知，， ， ， ， 故答案为：； 【拓展延伸】，证明如下： 如图3，延长BE、CA交于点F，则， ， ， ， ， 又， ≌， ， 由【问题情境】可知，，； 如图4，过点D作，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H， 则，， ， 又，， ≌， ， ，， ， ， ，， ， ≌， ， 故答案为： 【问题情境】证≌，得，即可； 【类比解答】延长AE交BC于点F，由【问题情境】可知，，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 【拓展延伸】延长BE、CA交于点F，证≌，得，再由【问题情境】可知，，即可得出结论； 如图2，过点D作，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页，共1页 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