精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年九年级上学期11月数学期中试题

南宁二中初中大学区2025-2026学年秋季学期 九年级上册数学期中测试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效. 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3.不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中， 项的系数为3， ∴ 二次项系数是3． 故选：C． 3. 如图，在中，为直径，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 4. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 从装有个黑球的袋子中摸出白球 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 购买一张彩票，中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的类型，解决本题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据不可能事件的定义（在一定条件下一定不会发生的事件）判断各选项即可。 【详解】解： A.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； B.从装有个黑球的袋子中摸出白球，是不可能事件，符合题意； C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D.购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意． 故选：B． 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：91，91，92，93，95.这组数据的中位数是（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大顺序排列后，取中间位置的数即可． 【详解】解：∵数据从小到大排列为：91，91，92，93，95， 数据个数为5，是奇数， ∴中位数为第3个数，即92． 故选：B． 6. 如图，在中，为中点，连接，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】解：在中，对角线，相交于点， ，即点是的中点， 为中点， 是的中位线， ． 故选：D． 7. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组以及运用数轴表示不等式组的解集， 先根据，得出，再将其表示在数轴上，即可作答． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 故选：A． 8. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角与外角问题，掌握多边形内角与外角的关系成为解题的关键． 由正八边形的外角和为，再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上的内角和外角互补列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为． 故选：C． 9. 在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握其性质是做题的关键．根据位似变换的性质，关于原点位似且位似比为，则对应点坐标为原坐标乘以位似比． 【详解】解：在同一象限内，与关于原点位似，位似比为， 点的对应点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A． 10. 已知，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和，再求其平方即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：D． 11. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，先证明，设半径为，在中列方程求出即可． 【详解】解：连接， ∵点是的弦的中点， ， 设半径为，则， ∵，， ∴， 在中，， ， 解得：， 则的半径为， 故选：C． 12. 细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B. 细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C. 若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D. 细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 广西武鸣是我国沃柑的主要产地，国家将武鸣沃柑收录为地理标志产品.某农科院为研究一类新品种沃柑树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3189 6398 9102 12782 成活率 0.940 0.870 0.923 0.909 0.906 0.911 0.914 0.910 0.913 估计这一类新品种沃柑树成活的概率为_____．（结果精确到0.01） 【答案】0.91 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟知概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题的关键．根据用频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，从表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在0.91左右，因此估计概率为0.91． 【详解】解：由表格数据，当移植总数较大时（如），成活率在0.906到0.914之间波动，且当时，成活率为0.913， 根据大量重复试验中频率具有稳定性的特点，估计这一类新品种沃柑树成活的概率为0.91． 故答案为：0.91． 14. 如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是_____. 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意证明三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例求得结论即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：50． 15. 中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为_____（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据弧长公式计算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；（3）画射线交于点.若，，，则的长为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，三角形外角性质，等角对等边，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得，，根据以及三角形外角性质得出，，再运用勾股定理算出的长，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 结合作图过程，得出是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则和解法是做题的关键． （1）根据运算法则进行计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 ，． 18. 如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲车停在区的概率是__________； （2）请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用树状图法得出所有等可能的结果数，以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲车停放的所有可能结果有3种，停在A区的只有1种， ∴甲能够停放在A区的概率是； 【小问2详解】 解：依题意，、两个停车区域的空车位即为“”，“”，“”， 一共有6种等可能的结果，满足“甲、乙两车停在相同区域”的结果有2种，即， ∴甲、乙两辆车停在相同区域的概率为． 19. 如图，绕点逆时针旋转得到，点在上，． （1）求的度数； （2）若，与交于点，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质求解； （2）由证得，即可得证． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． （1）若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． （2）若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 【答案】（1）6米 （2）2米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）设矩形绿地长、宽的变化长度为x米，根据矩形绿地长减少，宽增加相同长度列方程求解即可； （2）设矩形绿地长和宽同时增加y米，根据绿地面积为列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形绿地长、宽的变化长度为x米， 根据题意，得， 解得， 答：矩形绿地长、宽的变化长度为6米； 【小问2详解】 解：设矩形绿地长和宽同时增加y米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了2米． 21. 停车楔（如图1）是固定汽车轮胎的装置，可以辅助停车，防止车辆产生不必要的移动.图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合.连接，，并延长交于点，此时. （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少. 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2） 证明：∵是的直径， ∴， ， ， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，得出，即可证明结论； （3）先证明是等边三角形，得出，求出，根据阴影部分的面积求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， ∴阴影部分的面积 ． 22. 民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. （1）某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 【答案】（1）①② （2）米 （3）至少为米 【解析】 【分析】（1）①先得出，得，再结合点坐标为，求出，故点的坐标为； ②理解题意，把，，分别代入，进行计算，即可作答． （2）先根据，得出开口方向向下，在对称轴处取得最大值，求出对称轴直线，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，则把代入，得，即，因为主办方设置高为3米的保护网，得，整理得，结合，故，又因为，则，因为点在抛物线的对称轴上，则，即，考虑安全问题，即至少为米． 【小问1详解】 解：①过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ②设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； 【小问3详解】 解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）点与点_____是一对“对偶点”． （2）判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； （3）当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； （4）若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 【答案】（1） （2）不在 （3）点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据对偶点的定义求解即可； （2）求出点的对偶点坐标，再看该点是否在对应的函数图象即可得到答案； （3）设，则，据此求出点B的横纵坐标的关系即可得到答案； （4）设点是一次函数的图象上一对“对偶点”，则点是一次函数的图象上一点，利用待定系数法推出，再根据对偶点不重合得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得点与点是一对“对偶点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，点的对偶点为， 在中，当时，， ∴点不在直线上， 故答案为：不在； 【小问3详解】 解：∵点在直线上运动， ∴设， ∴的对偶点的坐标为， ∴点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系为点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3； 【小问4详解】 解：设点在一次函数的图象， ∵关于的一次函数是“对偶函数”， ∴点的对偶点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点和点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中初中大学区2025-2026学年秋季学期 九年级上册数学期中测试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效. 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3.不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 3. 如图，在中，为直径，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 从装有个黑球的袋子中摸出白球 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 购买一张彩票，中奖 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：91，91，92，93，95.这组数据的中位数是（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 95 6. 如图，在中，为中点，连接，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 7. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B. 细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C. 若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D. 细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 广西武鸣是我国沃柑的主要产地，国家将武鸣沃柑收录为地理标志产品.某农科院为研究一类新品种沃柑树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3189 6398 9102 12782 成活率 0.940 0.870 0.923 0.909 0.906 0.911 0.914 0.910 0.913 估计这一类新品种沃柑树成活的概率为_____．（结果精确到0.01） 14. 如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是_____. 15. 中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为_____（结果保留） 16. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；（3）画射线交于点.若，，，则的长为_____. 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲车停在区的概率是__________； （2）请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 19. 如图，绕点逆时针旋转得到，点在上，． （1）求的度数； （2）若，与交于点，求证：． 20. 如图，已知矩形绿地广场的长，宽分别为，，管理部门计划对绿地进行改造，以提升美观性和实用性． （1）若将矩形绿地长减少，宽增加相同长度，绿地变为正方形，求矩形绿地长、宽的变化长度． （2）若将矩形绿地长和宽同时增加相同的长度，绿地面积达到，求扩建后的矩形绿地的长、宽分别比原矩形绿地的长、宽增加了多少米． 21. 停车楔（如图1）是固定汽车轮胎的装置，可以辅助停车，防止车辆产生不必要的移动.图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合.连接，，并延长交于点，此时. （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少. 22. 民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. （1）某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 23. 在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）点与点_____是一对“对偶点”． （2）判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； （3）当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； （4）若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $