专题03 角平分线的性质与判定（期末真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·天津和平区·期末)已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 3．(24-25八上·天津泰达实验学校·期末)如图，在中，，是角平分线，若，，则点D到的距离是（） A． B． C． D． 4．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；；，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·天津河北区·期末)如图，是的角平分线，点在上，于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 9．(22-23八上·天津西青区·期末)如图，已知点C是的平分线上一点，，，点E，F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 10．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 12．(24-25八上·天津静海区·期末)如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 13．(23-24八上·天津滨海新区·期末)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 三、解答题 14．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 15．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 16．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿着三角形的边由C到A，再向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点P在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 17．(24-25八上·天津南开区·期中)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 18．(24-25八上·天津经济开发区国际学校·期末)已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 19．(23-24八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．(23-24八上·天津和平区·期末)（1）如图①，在中，，点在上，，分别平分，，若已知，，求的长度； （2）如图②，点，，在同一直线上，平分，平分，交于点，交于点，直接写出线段与，的数量关系．     2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 角平分线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·天津和平区·期末)已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 2．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．(24-25八上·天津泰达实验学校·期末)如图，在中，，是角平分线，若，，则点D到的距离是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．过点D作于点E，再根据角平分线的性质得出，然后由比例求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，是的角平分线，， ， ， ， ， 到的距离为， 故选：A 4．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；；，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过作于点，如图， ∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：. 5．(24-25八上·天津河北区·期末)如图，是的角平分线，点在上，于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ， ． 故选：B． 6．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵的两条角平分线，相交于点 ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵分别平分， ∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， ∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键． 7．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 8．(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 9．(22-23八上·天津西青区·期末)如图，已知点C是的平分线上一点，，，点E，F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，设，，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 10．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 11．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得：是的平分线， 当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案：． 12．(24-25八上·天津静海区·期末)如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并分别求出、的长是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 13．(23-24八上·天津滨海新区·期末)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答本题的关键． 过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故答案为：2． 三、解答题 14．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等； （2）解：如图1， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 15．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证得和是直角三角形，利用HL证明，即可； （2）由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，， ，， 在和中，， ； （2）证明：， ， ， 是等腰三角形． 16．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿着三角形的边由C到A，再向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点P在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 【答案】(1)的长度为； (2)或或或． 【分析】(1)根据角平分线的性质可推出上的高和上的高相等，由此可得； (2)分为和三种情形，讨论即可得解． 【详解】（1）解：如图，过作于于, 平分, , 与的面积相等， ， 故的长度为； （2）解：如图， ，平分交斜边于点D， ， 当时，(点在处), , 当时，(点在,处), , , , 当时，(点在处时), , , 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查了考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 17．(24-25八上·天津南开区·期中)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 18．(24-25八上·天津经济开发区国际学校·期末)已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 19．(23-24八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 （1）根据，结合，证明：即可． （2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可． 【详解】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． ∴． 20．(23-24八上·天津和平区·期末)（1）如图①，在中，，点在上，，分别平分，，若已知，，求的长度； （2）如图②，点，，在同一直线上，平分，平分，交于点，交于点，直接写出线段与，的数量关系．     【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平分，得到，证明，再由平分得到，证明，得到即可得到答案； （2）根据平行的性质得到，，再根据角平分线的定义等量代换，由等角对等边证明即可． 【详解】（1）解：， ，， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解： ， ，， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $