专题 12 基本不等式十八种题型全归纳（含“1”的代换、不等式链、柯西不等式、权方和不等式等）讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题12 基本不等式十八种题型全归纳 (含“1”的代换、不等式链、柯西不等式、权方和不等式等) 题型一 利用基本不等式求最值 5 题型二 构造和为定值的问题 6 题型三 构造积为定值的问题 6 题型四 条件最值问题（“1”的代换） 7 题型五 分式型不等式的最值问题 7 题型六 利用对勾函数求最值 8 题型七 连用多次基本不等式 8 题型九 含参数的不等式恒成立问题 9 题型十 指数和对数与基本不等式结合问题 9 题型十一 与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 10 （和，积，平方和互相转化） 10 题型十二 通过整体换元法最值问题 10 题型十三 基本不等式的实际应用问题 11 题型十四 基本不等式恒成立与能成立问题 11 题型十五 三角函数中的基本不等式应用 11 题型十六 基本不等式在平面向量中的应用 12 题型十七 基本不等式在圆锥曲线中的应用 12 题型十八 基本不等式在数列中的应用 13 思维导图 一．基本不等式 1.（1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）由数列知识可知， 称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 注意事项: 1. 一正二定三相等： 使用基本不等式时，需确保变量为正（“一正”），和或积为定值（“二定”），且等号能取到（“三相等”）。 反例：求 （）的最值时，需先变形为 再用不等式。 2. 多次使用不等式：若需多次应用，需保证各次等号成立条件一致，否则会导致范围扩大。 例：求 （）的最小值时，先由 ，再对 用对勾函数结论，两次等号均在 时成立。 二.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）. 三.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件. （2）连续使用不等式要注意取得一致. 拓展1.（适用于 个正数）： ，当且仅当 时取等号。 四.对勾函数型结论 表达式：若 ，则 （），当且仅当 时取等号。 延伸：若 ，则 ，当且仅当 时取等号。 应用：快速求解形如 （）的最值。 五. 重要不等式串： 即（背下来考试很好用）,当且仅当 时，所有等号成立。 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数 (注意等号成立的条件). 推广：三元不等式链表达式（）： 六.柯西不等式（二维形式） 1．若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．二维形式的柯西不等式的推论 (a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)； ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 二、柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 三、二维形式的三角不等式 1.＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)． 2．推论： ＋ ≥ ，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)． 七.权方和不等式（分式型均值） 1.若，则，当且仅当时，等号成立. 证明：，要证，只需证 即证，故只要证， 则，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当 时，等号成立. 变形1：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）. 变形2：已知，且，则当且仅当时，等号成立. 题型一 利用基本不等式求最值 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 一、单选题 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·河南许昌·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 题型二 构造和为定值的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、选择题 1.（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 6．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知正实数，满足，则的最大值为 . 7．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 题型三 构造积为定值的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·湖南·阶段练习）若，则的最小值是（   ） A．6 B．4 C．10 D． 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 二、填空题 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）当时，的最小值为 ． 题型四 条件最值问题（“1”的代换） ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．13 2．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D．9 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 二、多选题 6．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．的最小值为2 7．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 三、填空题 8．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 9．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 10．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 题型五 分式型不等式的最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 5．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 6．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 8．（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 题型六 利用对勾函数求最值 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·福建·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 3．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 5．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）函数，则的值域是 ． 7．（2024高二下·浙江·竞赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 题型七 连用多次基本不等式 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ “多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联； 1.已知x＞0，y＞0，则的最小值为 ． 2.已知，则的最小值为 ． 题型九 含参数的不等式恒成立问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 分离后几种常见情况的处理方法：（假设以下涉及到的的最值均存在） 1 ，恒成立，则； 2 ，使成立，则； 3 ，恒成立，则； ④，使成立，则. 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（2025·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 3．（2025·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 5．（2025·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为 ． 7．（2025·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为 ； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ． 8．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 题型十 指数和对数与基本不等式结合问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·河南周口·月考）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西南昌·一模）已知x，y为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 6．（24-25高三上·广西·期末）已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值 . 7．（2025高三·全国·专题练习）已知指数函数的图象经过点，若，则的最小值为 ． 题型十一 与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 （和，积，平方和互相转化） ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 基本规律 1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。 2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解， 3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2025·河南·模拟预测）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知正实数满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为20 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 6．（2025·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 8．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 题型十二 通过整体换元法最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、选择题 1.若正实数满足，则最小值为________ 2.（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高三上·浙江·期中）已知，若，则的最小值是 . 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 题型十三 基本不等式的实际应用问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 二、解答题 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 6．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 7．（25-26高三上·山东青岛·阶段练习）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 题型十四 基本不等式恒成立与能成立问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱锥中，两两互相垂直，且，设点是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥的体积.若且恒成立，则正实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东湛江·二模）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五 三角函数中的基本不等式应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高三下·河南周口·期末）在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知内接于单位圆，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．角一定为锐角 B． C． D．的最大值为 6．（25-26高三上·山东·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为 C．函数的最小值为 D．若，且，则 7．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）在中，满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．若，为不同象限角，则的最大值为 三、解答题 8．（25-26高三上·河北·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 题型十六 基本不等式在平面向量中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2025·河北·模拟预测）已知向量，，其中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题 7．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 8．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 9．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 题型十七 基本不等式在圆锥曲线中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（2025·重庆九龙坡·三模）在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（   ） A．若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B．若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C．若直线 经过坐标原点，则 D．若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ） A．离心率e的取值范围为 B．存在点N，使得 C．当时，的最大值为 D．的最小值为1 二、填空题 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 5．（2025·山东聊城·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 6．（2024·山西·三模）双曲线的两条渐近线分别为，经过的右焦点的直线分别交于两点，已知为坐标原点，反向，若的最小值为9a，则的离心率为 . 7．（2025·山东·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为 ；若，则的最小值为 . 8．（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 题型十八 基本不等式在数列中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 4．（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，则前40项和的最小值为 . 6．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设()，为数列的前n项和，则的最小值是 ． 7．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 8．（2025·广东广州·一模）设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则的最小值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 基本不等式十八种题型全归纳 (含“1”的代换、不等式链、柯西不等式、权方和不等式等) 题型一 利用基本不等式求最值 5 题型二 构造和为定值的问题 6 题型三 构造积为定值的问题 6 题型四 条件最值问题（“1”的代换） 7 题型五 分式型不等式的最值问题 7 题型六 利用对勾函数求最值 8 题型七 连用多次基本不等式 8 题型九 含参数的不等式恒成立问题 9 题型十 指数和对数与基本不等式结合问题 9 题型十一 与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 10 （和，积，平方和互相转化） 10 题型十二 通过整体换元法最值问题 10 题型十三 基本不等式的实际应用问题 11 题型十四 基本不等式恒成立与能成立问题 11 题型十五 三角函数中的基本不等式应用 11 题型十六 基本不等式在平面向量中的应用 12 题型十七 基本不等式在圆锥曲线中的应用 12 题型十八 基本不等式在数列中的应用 13 思维导图 一．基本不等式 1.（1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）由数列知识可知， 称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 注意事项: 1. 一正二定三相等： 使用基本不等式时，需确保变量为正（“一正”），和或积为定值（“二定”），且等号能取到（“三相等”）。 反例：求 （）的最值时，需先变形为 再用不等式。 2. 多次使用不等式：若需多次应用，需保证各次等号成立条件一致，否则会导致范围扩大。 例：求 （）的最小值时，先由 ，再对 用对勾函数结论，两次等号均在 时成立。 二.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）. 三.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件. （2）连续使用不等式要注意取得一致. 拓展1.（适用于 个正数）： ，当且仅当 时取等号。 四.对勾函数型结论 表达式：若 ，则 （），当且仅当 时取等号。 延伸：若 ，则 ，当且仅当 时取等号。 应用：快速求解形如 （）的最值。 五. 重要不等式串： 即（背下来考试很好用）,当且仅当 时，所有等号成立。 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数 (注意等号成立的条件). 推广：三元不等式链表达式（）： 六.柯西不等式（二维形式） 1．若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．二维形式的柯西不等式的推论 (a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)； ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 二、柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 三、二维形式的三角不等式 1.＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)． 2．推论： ＋ ≥ ，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)． 七.权方和不等式（分式型均值） 1.若，则，当且仅当时，等号成立. 证明：，要证，只需证 即证，故只要证， 则，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当 时，等号成立. 变形1：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）. 变形2：已知，且，则当且仅当时，等号成立. 题型一 利用基本不等式求最值 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 一、单选题 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不等式运算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，则，故，故B正确； 对C：由， 故， 当且仅当时等号成立，由，故等号不成立， 即，故C正确； 对D：当、时，符合题意， 但此时，故D错误. 故选：D. 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】当时可由基本不等式推得；当时解不等式可得，则可判定它们之间的逻辑关系. 【详解】当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=” 当时，则， 可得即， 解得； 所以“”是“”的充要条件. 故选：. 3．（24-25高三上·河南许昌·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合基本不等式讨论充分性和必要性即可. 【详解】由得， 所以即或， 所以充分性不成立； 由知，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 又因为，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解. 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 5．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确. 【详解】对于A：利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：对于，， 当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误； 对于C：易知对于，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D：易知当时，，即，所以D正确. 故选：AD. 题型二 构造和为定值的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、选择题 1.（24-25高三下·吉林长春·开学考试）已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的配凑法求解即可. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 2.（24-25高三上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 【答案】B 【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断，利用基本不等式求出最大值判断即可得解. 【详解】，则，当且仅当时取等号，为真命题； 当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题， 所以命题与均为真命题，B正确. 故选：B 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断与的关系，然后建立等式，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，， 所以，所以的图像关于点对称， 又因为，其中，当且仅当时等号成立， 而，所以，所以在上单调递增. 则由，可得， 记，则， 可得，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 故选：B 二、填空题 5．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，其中．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标公式得到的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 6．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知正实数，满足，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质，先把化成的形式，再结合基本不等式，求的最大值，最后利用对数函数的单调性可求的最大值. 【详解】因为，所以，当且仅当即，时取等号. 所以. 故答案为：1 7．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 题型三 构造积为定值的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·湖南·阶段练习）若，则的最小值是（   ） A．6 B．4 C．10 D． 【答案】C 【分析】先对式子进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式，再根据基本不等式的条件求出最小值. 【详解】，，对进行变形可得， 根据基本不等式，得， 当且仅当时即等号成立， 当时，取得最小值为. 故选：. 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据均值不等式可得最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 3．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据函数的导数判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式得出的取值范围，最后通过对式子变形，利用基本不等式求最值. 【详解】当时，恒成立，当时，恒成立，则在上单调递增，在上单调递增． 又因为，当时，，对时，0也成立，所以在上单调递增． 已知正数满足，则，解得或（负值舍去），所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：C. 5．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 二、填空题 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用均值不等式即可求最小值. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时，等式取等号， 故答案为：. 题型四 条件最值问题（“1”的代换） ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】先用1的代换化简，再用1的妙用结合基本不等式求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 当且仅当，时取等号. 故的最小值为. 故选：B. 2．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C． 3．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】由条件得到，再结合乘1法即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：D. 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，再利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正实数，满足， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即， 又因为，所以时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 二、多选题 6．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，， 对于A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误． 故选：AC． 7．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式即可判断AB；C利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D构造函数，通过求导研究其单调性. 【详解】对于A，，则，等号成立时， 因，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当，即时，等号成立，这与已知不符合，故等号不成立，故C错误； 对于D，， 设，求导得， 则在上单调递减，则，即， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 8．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 9．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】原式化简并利用基本不等式得，再进一步利用乘“1”的方法求最值. 【详解】根据题意，由于 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 题型五 分式型不等式的最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 2．（2021·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 3．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号 所以的最小值是，则的最大值为. 故选A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目. 二、填空题 4．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值. 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： 5．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 6．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【答案】 【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可. 【详解】函数且的图象过定点， 则，所以， 由，得， 则 令，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 题型六 利用对勾函数求最值 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 2．（24-25高三下·福建·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 3．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 4．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】， ， 因为，且，所以， 设，， 函数在区间单调递减，所以函数的最小值为. 故选：D 5．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 二、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）函数，则的值域是 ． 【答案】 【分析】应用换元法及对勾函数性质求函数的值域即可. 【详解】由题设，令，则， 由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为，故的值域是， 所以的值域是． 故答案为： 7．（2024高二下·浙江·竞赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】/0.75 【分析】利用换元法可得，求得，即可求解. 【详解】解 ： 令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， 所以或， 当时，． 综上可得，， 所以函数的最大、最小值分别为，其积为． 故答案为： 题型七 连用多次基本不等式 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ “多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联； 1.已知x＞0，y＞0，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】所求变形为 ∵y＞0 ∴，当且仅当时，等号成立， ∵x＞0， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为，当且仅当，成立． 2.已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为，当且仅当，成立． 题型九 含参数的不等式恒成立问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 分离后几种常见情况的处理方法：（假设以下涉及到的的最值均存在） 1 ，恒成立，则； 2 ，使成立，则； 3 ，恒成立，则； ④，使成立，则. 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】将问题转化为，进而根据基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 故选：C 2．（2025·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 3．（2025·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得，再设，结合基本不等式求解的最小值即可. 【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须. 设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 4．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 5．（2025·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 三、填空题 6．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 因为， 所以由，设，则， 因此由， 于是不等式恒成立可以转化为恒成立， 即， 由， 于是有， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值， 所以有，此时有 故答案为： 7．（2025·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为 ； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 9 【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可； （2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值． 【详解】（1）由的图象过点得，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立． （2）由恒成立得，， 因为的图象过点，则，即， 当时，不合题意舍， 所以，即，则，则由得， 所以， 设， 所以 ， 当且仅当，即，则时，等号成立， 故答案为：9；． 【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得． 8．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 题型十 指数和对数与基本不等式结合问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·河南周口·月考）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，由基本不等式可得最小值. 【详解】因为，则有且， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为， 故选：B． 2．（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 3．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性单调性，即可得到，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又，因为，， 所以，当且仅当且时等号成立，但此二条件不能同时满足， 故恒成立，所以在上为增函数 又正实数满足， 所以，故， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4．（2025·江西南昌·一模）已知x，y为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定义判断即可． 【详解】当时，取，则， 所以“”不是“”的充分条件； 当时，得，即，则， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正实数a与b为函数的一对“类指数”，得到，再利用“1”的代换，由基本不等式求解. 【详解】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”， 所以， 所以，即，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又的最小值为9， 所以k的值为1， 故选：B 二、填空题 6．（24-25高三上·广西·期末）已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值 . 【答案】16 【解析】解出函数的定点，代入直线方程得，用“1”的替换及均值不等式计算即可. 【详解】解：指数函数的定点为， 因为直线方程定点， 所以，即 则 当且仅当即时取得最小值. 故答案为：16 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知指数函数的图象经过点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得指数函数解析式，由可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】设（且）， 将代入，得，所以， 从而，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 又在上单调递增，所以，故的最小值为． 故答案为：. 题型十一 与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 （和，积，平方和互相转化） ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 基本规律 1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。 2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解， 3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 二、多选题 2．（2025·河南·模拟预测）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 3．（2025·辽宁·模拟预测）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，设，得到，结合条件得到，根据求出；D选项，由，结合条件得到；B选项，先得到，由D知，，故，求出；C选项，，，等号成立的条件均为，故. 【详解】A，正实数，满足， 设，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确； D，因为，所以，故， 又，故，即，， 当且仅当时，等号成立，D正确； B，因为，所以，由D知，故， 当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误； C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为， 故，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：ACD 4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知正实数满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为20 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】AC 【分析】对于A，将分成同号，异号，或有一个为0三种情况，利用基本不等式进行分析讨论即得； 对于B，利用重要不等式求得xy的最大值排除此项；对于C，利用重要不等式即可推出结论成立； 对于D，通过取反例，即可排除此项. 【详解】对于A，由可得 当时，因，即，即， 解得，当且仅当时，有最小值为； 当时，显然有，即得； 当中有一个为0时，或， 综上可得，有最小值为，即A正确； 对于B，由可得，解得， 当或时等号成立，即有最大值为，故B错误； 对于C，由可得， 因，则解得， 当或时等号成立，即有最小值为，故C正确； 对于D，当，满足，但，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查基本不等式的性质应用，属于难题. 运用基本不等式的性质求最值的方法主要有： （1）直接法：利用“一正二定三相等”的要求运用基本不等式求解； （2）配凑法：将所求式配凑成积为定值或和为定值的情况进行求解； （3）消元法：通过已知式求出一个字母，代入所求式消元，再运用基本不等式求解； 6．（2025·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题 7．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法1：根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意求得，代入化简得到，结合基本不等式，即可求解； 解法3：令，得到，代入得到，结合，即可求解. 【详解】解法1：由，可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 解法2：由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 解法3：令，则， 代入，并整理得， 由判别式，得，或（舍去）， 当时，可得，符合题设， 所以的最小值为． 故答案为：. 8．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 题型十二 通过整体换元法最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、选择题 1.若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 2.（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为． 3．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设， 则且，解得. 所以， 因为，所以， 当时取等号，即且， 解得. 故选：B. 4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果. 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 二、填空题 6．（24-25高三上·浙江·期中）已知，若，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解. 【详解】设， 由对应系数相等得 ，得 所以 整理得即 所以 . 经验证当 时，等号可取到. 故答案为： 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 题型十三 基本不等式的实际应用问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 2．（24-25高三下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 4．（25-26高三上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 二、解答题 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 6．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 7．（25-26高三上·山东青岛·阶段练习）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 题型十四 基本不等式恒成立与能成立问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由得，即，利用均值不等式求出，进而求解. 【详解】对于，可化为恒成立，即 由，当且仅当时取等号，故，解得， 所以“”是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 4．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱锥中，两两互相垂直，且，设点是底面三角形内一动点，定义：，其中分别是三棱锥的体积.若且恒成立，则正实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等关系，解之即可． 【详解】解：、、两两垂直，且．，． ， 即， 恒成立， ， 解得 正实数的最小值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题． 7．（2025·广东湛江·二模）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果. 【详解】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即． 故选：A. 题型十五 三角函数中的基本不等式应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 【答案】D 【分析】根据题意，利用对勾函数的单调性，可得判定A、B错误，由不是定值，可判定C错误；结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以，所以A错误； 对于B，当时，可得，令， 则在上单调递减，时，函数取得最小值5，所以B错误； 对于C，由不是定值，所以不是的最小值，所以C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，所以D正确． 故选：D. 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，可得与周期相同，即，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为函数恒成立，所以与同号或为， 则与周期相同，即，可得， 则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：B 3．（24-25高三下·河南周口·期末）在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式可得，进而根据面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】在中，由与，解得， 则的面积，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）已知内接于单位圆，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据条件可得，然后根据正弦定理、余弦定理以及面积公式可知结果. 【详解】，， ，，. 又的外接圆为单位圆，其半径， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 代入数据可得， 当且仅当时时，“”成立，， 的面积，的最大值为. 故选：D. 二、多选题 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．角一定为锐角 B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理得即可判断A选项；由余弦定理判断B选项；由诱导公式及和角公式可判断C选项；由正切和角公式及基本不等式即可判断D选项. 【详解】由，可得，故，可得，得，故，故角为钝角，则角一定为锐角，A正确； 由余弦定理得，化简得，所以，故B错误； 由A的分析得，又，故，即，即，故，故C正确； 由A知，，则，所以，当且仅当，即时取等号，D正确； 故选:ACD. 6．（25-26高三上·山东·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，则的最小值为 C．函数的最小值为 D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式求解判断选项ABD，利用“1”的代换技巧求解最值判断C. 【详解】对于A，∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，取得最大值，故A错误； 对于B，， 当且仅当， 时，取到最小值为，故B正确； 对于C， . 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，当，且时，，∴， 当且仅当，取最大值，故D正确. 故选：BCD 7．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）在中，满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．若，为不同象限角，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简已知等式得到，可得A正确；利用同角三角函数的基本关系式，可得B正确；利用三角函数恒等变换的公式进行化简，可得C错误；由，为不同象限角，得到，利用三角恒等变换及基本不等式，可得D正确. 【详解】对于A选项，由，可得，所以，所以A正确； 由，可得，可得，所以或； 对于B选项，由，可得，即，所以，所以，所以B正确； 对于C选项，由， 所以，所以C错误； 对于D选项，因为，为不同象限角，所以，可得，所以D正确. 故选：ABD. 三、解答题 8．（25-26高三上·河北·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式化简等式，得出，结合三角形内角取值范围，求出角. （2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. （2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 题型十六 基本不等式在平面向量中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 3．（2025·河北·模拟预测）已知向量，，其中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量模的坐标表示列式，再利用基本不等式求出范围. 【详解】由向量， 得，当且仅当时取等号， 而，所以的取值范围为. 故选：C 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 6．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 二、填空题 7．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 因为向量在向量方向上的投影为 ， 当且仅当时等号成立， 故向量在向量方向上的投影的最小值为. 故答案为：． 8．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 9．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 【答案】 4； 【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故，    又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故答案为：4， 题型十七 基本不等式在圆锥曲线中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（2025·重庆九龙坡·三模）在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（   ） A．若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B．若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C．若直线 经过坐标原点，则 D．若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 【答案】ACD 【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求. 【详解】 对A， 过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确； 对B，设，在椭圆上， 则，，两式相减得， ∵ 的中点坐标为 ，∴， ∴，故B错误； 对C， 直线 经过坐标原点，椭圆 ，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当，，故C正确； 对D， 设，根据对称性不妨取点在第一象限， ，， ∵， ∴， 即，整理得， 又，代入得，解得， ∴，， ， 故D正确， 故选：ACD 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ） A．离心率e的取值范围为 B．存在点N，使得 C．当时，的最大值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】根据点与椭圆的位置关系得，即可求出离心率的范围判断A项；易知必为椭圆的右顶点判断B项；根据椭圆的定义得，根据三角形的三边关系结合图象判断C项；根据椭圆的定义结合“1”的代换，根据基本不等式即可求解，判断D项. 【详解】A：由已知可得，，所以，即， 则，故，正确； B：由知，共线，故必为椭圆的右顶点， 而，即，则， 所以，不合A分析结果，错误； C：由已知且，所以，. 又，则. 根据椭圆的定义可得， 所以， 如上图示，当且仅当三点共线时取得等号，正确； D：因为. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为，错误. 故选：AC 二、填空题 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 故答案为：. 5．（2025·山东聊城·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据双曲线的性质得到，的关系，再结合基本（均值）不等式求的最小值. 【详解】根据题意作图如下 设，，. 因为双曲线的方程为 所以，. 易知 所以 而，则. 所以，即. 所以 当且仅当时，等号成立 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是探索，存在的数量关系，再利用基本不等式求最值.探索，的数量关系时，可利用，结合三角形的面积公式和双曲线的性质列式. 6．（2024·山西·三模）双曲线的两条渐近线分别为，经过的右焦点的直线分别交于两点，已知为坐标原点，反向，若的最小值为9a，则的离心率为 . 【答案】 【分析】联立渐近线与直线的方程，可得坐标，继而根据点点距离公式可得，即可利用基本不等式求解最值得求解. 【详解】设渐近线的方程分别为， ， 设直线的方程为， 联立与可得，，故， 同理联立与可得， 由于反向，所以位于一四象限，故， 故， ， 当且仅当,即时等号成立， 故最小值为，因此，故， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 7．（2025·山东·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为 ；若，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据抛物线的对称性，结合等边的面积，可确定点的坐标，从而确定的值，得到抛物线的准线方程；结合焦半径公式和两点间的距离公式，用余弦定理表示，再利用导数分析函数的单调性，可求的最小值. 【详解】依题意，则， 由对称性，点必定关于轴对称，如图： 不妨设点在第一象限，则，，即. 代入中，解得，则的方程为. 因为，所以，. 根据抛物线的对称性，不妨设，则，且，. 所以 . 设，，则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以. 所以，所以的最小值为. 故答案为：；. 8．（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 【答案】8 【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出，再结合垂直斜率关系得出，最后应用基本不等式得出弦长和的最小值即可. 【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 题型十八 基本不等式在数列中的应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列得出，应用等比数列得出，再结合基本不等式计算判断A，C，再分类讨论判断B，D. 【详解】因为数列为等差数列，所以． 因为数列为等比数列，所以． 又，所以．当且仅当时取等号，所以A错误，C正确． 当，时，； 当，时，，当且仅当时取等号， 所以与的大小不确定．所以B，D错误． 故选:C． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】C 【分析】由题目条件推出，再得到，即，利用与的关系计算出，即可判断A；由即可判断B，利用基本不等式即可判断C、D. 【详解】由题意知，且， 当时，，解得， 当时，， 整理可得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为是等差数列，故B错误； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，因为， ，故D错误. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据周期性以及基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，且， ，，， ， 所以数列是周期为的周期数列， 所以 ，当且仅当时等号成立. 故选：A 二、多选题 4．（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据通项公式的规律，分析各项表达式，结合不等式判断选项. 【详解】根据规律可得，，； 当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增. 当时，取最小值，最小值为，正确. 易得，所以，即，所以，错误. 若，则，，，，； 记数列为1，2，3，5，…，则，. 记，则； 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ，正确. ，要使得取最小值； 则n为奇数，此时，正确. 故选：. 三、填空题 5．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，则前40项和的最小值为 . 【答案】60 【分析】令，根据已知递推关系得，，，，，进而确定周期性，再应用周期性和基本不等式求的最小值. 【详解】当为奇数时，；当为偶数时，； 令，则，，，，， 所以是周期为4的数列，且， 当且仅当时取等号，则. 所以的最小值为60. 故答案为：60 6．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设()，为数列的前n项和，则的最小值是 ． 【答案】32 【分析】易得，从而得到，利用基本不等式求解. 【详解】由题意知，则是等比数列， 所以， 则， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：32 7．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 8．（2025·广东广州·一模）设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据等差数列的知识求得，利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】由题可设，则， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时取得最小值， 由，所以或， 因为， 所以，即得最小值为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $