精品解析：上海市久隆模范中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025学年第一学期高一年级数学期中考试卷 （满分110分） 一、填空题（每题4分） 1. 不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】转化一元二次不等式求解. 【详解】不等式等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知，，用a、b表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件用常用对数表示b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答. 【详解】因，则，而， 所以. 故答案为： 3. 定义集合A、B的一种运算：.若，，则A*B中的所有元素数字之和为____. 【答案】14. 【解析】 【详解】A*B中元素为2，3，4，5，故其所有元素数字之和为14. 故答案为14 4. 若不等式对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因， 当且仅当时等号成立， 故不等式对所有实数x恒成立，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 5. 若，则满足的x的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之． 【详解】有意义，有， 由得到，即，所以，解得； 又故x的取值范围为. 故答案为：. 6. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为___千米/时时车流量最大，最大车流量为___千辆/时（精确到0.01）. 【答案】 ①. 40 ②. 11.08 【解析】 【分析】变形后由基本不等式求出答案. 【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立， 即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时. 故答案为：40，11.08 7. 幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，则整数m=__． 【答案】1或2 【解析】 【分析】由幂函数的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零即可求出参数m 的值． 【详解】幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减， ∴m2-3m＜0，m2-3m是偶数 由 m2-3m＜0得0＜m＜3，又由题设m是整数，故m的值可能为1或2 验证知m=1，2都能保证m2-3m是偶数 故m=1，2即所求． 故答案为1或2 【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向． 8. 已知集合 ，若，，则的值等于___. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的运算得到集合，再根据集合一元二次不等式的解集判断可得. 【详解】因为 而,,所以， 即是方程的根，因此 故答案为：. 9. 关于的不等式：的解集为R，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】易得满足，当，由可求解. 【详解】当时，不等式化为恒成立，满足题意； 当时，要使解集为，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 若方程有两个不同解，则实数k的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的解的个数问题，转化为两个函数与的交点个数问题，作出的图象，数形结合即可求解 【详解】作函数的图象如下， 结合图象可知，实数k的取值范围是． 故答案为：． 11. 对于函数，若，，，为某三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知是 “可构造三角形函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，分，和，三种情况讨论，结合三角形三边的关系，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，即时，，此时，能构成一个正三角形，满足题意； 当时，即时，函数在上为单调递增函数，且， 所以， 由恒成立，可得，解得； 当时，即时，函数在上为单调递减函数，且， 由恒成立，可得，解得，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（每题4分） 12. 设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 13. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由不等式的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增，所以. 由，得，反之也成立，则“”是“”的充要条件，故A错误. 由，推不出，则“”不是“”的必要条件，故B错误. 由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 同理可得，“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C 14. 若函数满足：“对于区间上的任意实数，，，恒成立，”则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由完美函数的定义，结合作差法应用不等式性质计算范围，即可判断. 【详解】对于A：， ∵，， ∴，∴A选项正确； 对于B：，∴B选项错误； 对于C：取，，∴C选项错误； 对于D：， ∵，，∴， ∴，D选项错误； 故选：A． 三、解答题（共54分，请写出必要过程） 15. 设：实数满足：，：实数满足：，． （1）若，和都为真命题，求实数的取值范围； （2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得命题，确定的实数的范围，然后利用题意求解为真时实数的取值范围． （2）结合（1）的结果可得关于实数的不等式组，求解不等式组即得实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，，， ∵为真，∴真且真， 故，即， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 是的充分不必要条件． 记，，则是的真子集， 故，且等号不同时成立，解得， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 所以的取值范围为． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解； （2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. 【小问2详解】 当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故取值范围是. 17. 已知函数的图像是由两支组成的双曲线， （1）当，作出函数图像； （2）是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由直接作图即可； （2）由函数单调性的概念即可求解； （3）由一元二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 函数参数分离为， 若函数在区间上严格减函数，则， 且， 即，解得：， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 由题意可知：在区间有两个不同的根，或在区间有两个不同的根， 由可得，如果方程有根，由韦达定理可知：，所以两根不可能同在区间上， 所以应在区间有两个不同的根， 可得：，又， 代入得：， 解得：， 所以实数的取值范围是 18. 已知符号表示不大于x的最大整数（），例如：，，． （1）已知方程，求该方程的解集； （2）设方程的解集为A，集合，若，求实数k的取值范围； （3）在（2）条件下，集合，是否存在实数a，，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据符号的定义可得答案； （2）由得，根据绝对值不等式的几何意义可得， 求出，分、，根据可得答案； （3）根据，令，则解不等式组可得答案. 【小问1详解】 由题意，方程，则， 所以该方程的解集为； 【小问2详解】 因为，所以， 根据绝对值不等式的几何意义可得，， 又， 当时，，则，符合题意； 当时，，若， 则，解得； 当时，，若， 则，解得． 综上所述，实数k的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 则且， 所以设集合C的解集为，则，令， 所以，解得， 故实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一年级数学期中考试卷 （满分110分） 一、填空题（每题4分） 1. 不等式的解为______． 2. 已知，，用a、b表示______． 3. 定义集合A、B的一种运算：.若，，则A*B中的所有元素数字之和为____. 4. 若不等式对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______． 5. 若，则满足x的取值范围是_______. 6. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为___千米/时时车流量最大，最大车流量为___千辆/时（精确到0.01）. 7. 幂函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，则整数m=__． 8. 已知集合 ，若，，则的值等于___. 9. 关于的不等式：的解集为R，则实数的取值范围是________. 10. 若方程有两个不同解，则实数k的取值范围是_________________． 11. 对于函数，若，，，为某三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知是 “可构造三角形函数”，则实数的取值范围是______． 二、选择题（每题4分） 12. 设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C D. 14. 若函数满足：“对于区间上的任意实数，，，恒成立，”则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共54分，请写出必要过程） 15. 设：实数满足：，：实数满足：，． （1）若，和都为真命题，求实数的取值范围； （2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图像是由两支组成的双曲线， （1）当，作出函数图像； （2）是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围． 18. 已知符号表示不大于x最大整数（），例如：，，． （1）已知方程，求该方程的解集； （2）设方程的解集为A，集合，若，求实数k的取值范围； （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数a，，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $