精品解析：北京市大兴区2025-2026学年高一上学期期中检测数学试题

大兴区2025~2026学年度第一学期期中检测试卷 高一数学 2025.11 本试卷共页，150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为中没有任何元素，故A错误； ，故B错误； 因为是任何集合的子集，故C正确； 由于，故D错误． 故选：C． 2. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义和运算规则求解． 【详解】， ． 故选：B． 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】因为命题，所以命题的否定为. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，C利用特殊值即可判断；对B利用作差法即可判断；对D利用不等式的性质即可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误； 对B，，， ，，即，故B错误； 对C，若，则， 即，故C错误； 对D，，，即，故D正确. 故选：D. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据得出集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由，解不等式得，因此集合； 因为，所以； 已知，且，所以必须满足，即实数的取值范围是. 故选：D. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用参变分离求最值，再结合必要、充分的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，对恒成立， 因，则， 故是原命题成立的一个必要不充分条件. 故选：B 8. 已知，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立，结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为不等式对于一切实数恒成立， 所以， 又因为，使得成立， 所以，所以， 即，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A 9. 已知函数满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可； 【详解】由题意得，对于任意实数，都有成立， 所以在上单调递减， 所以， 解得． 故选：C. 10. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的意义可得. 【详解】函数， 则，得且， 所以函数定义域为. 故答案为： 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求，再求即可. 【详解】，, 所以. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由待定系数法可得，代入计算可得，由幂函数性质可得值域. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以幂函数的解析式为， 所以，值域为. 故答案为：；. 14. 已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 【答案】（均可） 【解析】 【分析】先由题意得到“，使得”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，使得”为假命题，则其否定“，使得”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为，所以由，使得， 得对于任意恒成立，又，所以. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：（均可）. 15. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，给出下列四个结论： ①； ②为偶函数； ③若，则的图象关于点中心对称； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断①，结合对称性定义及偶函数定义判断②和③，应用已知等式化简结合判断④. 【详解】对于①，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故①错误； 对于②，由①可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故②正确； 对于③，令，有， 则的图象关于点中心对称，故③正确； 对于④，因为，所以，所以， 在原方程中令均等于有， 令，有， 所以，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，全集 （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出一元二次不等式得集合，利用并集的意义求解即可； （2）利用补集的意义求得，进而利用交集的意义求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以或. 又， 所以. 17. 已知. （1）求的最小值； （2）求证：. 【答案】（1）2 （2） 因为 所以 所以，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以成立. 【解析】 【分析】(1)利用基本不等式求最小值； (2)通过多次应用基本不等式证明不等式. 【小问1详解】 因为 所以 所以 所以，当且仅当即时，有最小值. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，满足，. （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若，不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条件代入，求出即可求解； （2）由（1）可知，解不等式即可求解； （3）将不等式转化为存在，使得成立，根据即可求解. 【小问1详解】 由函数，满足，， 所以，解得， 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 由，. 所以，即， 所以不等式的解集或. 【小问3详解】 因为，不等式成立， 又因为图像开口向上， 可得，解得或， 所以实数的取值范围是 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 【答案】（1） 函数为奇函数. 证明：定义域，因为，都有， 且， 所以函数为奇函数. （2） 函数在区间上单调递增. 任取，，则 因为,，，所以， 即，所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义证明； （2）根据单调性定义证明； （3）作出的图象，观察图象得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的范围，理由如下： 先证明函数在区间上单调递减. 任取，， 则， 因为，，，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下： 计算可知：， 由图可知， 当时，的值域为，的取值范围为. 20. 如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． （1）写出用表示的关系式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据已知多边形周长列出关于的方程，得出表示的关系式； （2）利用（1）中的关系式，结合多边形图形列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出的最大值． 【小问1详解】 ，多边形周长为， 设， ，则， ． 【小问2详解】 ， ， 当时，取最大值． 21. 已知函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，将其推广得到如下正确结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.根据以上结论解答下面的问题. （1）求函数图象的对称轴，并证明结论； （2）若函数和函数都是偶函数，且时，，求时，的解析式； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”的一个推广结论. 【答案】（1） 函数的对称轴为， 证明：因为 满足 所以是偶函数， 所以，依题意的对称轴为 . （2） （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数和函数都是偶函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，， ， 所以当时，； 【小问3详解】 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数； 证明：充分性 当为奇函数时， 则有， 即， 所以函数的图象关于点成中心对称； 必要性 当函数的图象关于点成中心对称， 则有， 即， 即函数为奇函数， 综上，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2025~2026学年度第一学期期中检测试卷 高一数学 2025.11 本试卷共页，150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知函数，则______. 13. 已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 14. 已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 15. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，给出下列四个结论： ①； ②为偶函数； ③若，则的图象关于点中心对称； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，全集 （1）求； （2）求. 17. 已知. （1）求的最小值； （2）求证：. 18. 已知函数，满足，. （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若，不等式成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 20. 如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． （1）写出用表示的关系式； （2）求的最大值． 21. 已知函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，将其推广得到如下正确结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.根据以上结论解答下面的问题. （1）求函数图象的对称轴，并证明结论； （2）若函数和函数都是偶函数，且时，，求时，的解析式； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”的一个推广结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $