5.3实际问题与一元一次方程专项训练（数轴上的动态行程问题、数字问题、电费与水费问题）-2025-2026学年人教版七年级数学上册

一元一次方程：数轴上的动态行程问题、数字问题、电费与水费问题专项训练 一元一次方程：数轴上的动态行程问题、数字问题、电费与水费问题专项训练 考点目录 数轴上的动态行程问题 数字问题 电费与水费问题 考点一 数轴上的动态行程问题 例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 例2．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 例3．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点之间的距离记作：；当时，点之间的距离记作：．例如：，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)_____________，点表示的数为_____________．（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点同时出发． ①若点两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段应满足的数量关系． 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，已知数轴上依次有三点，点B对应的数是，且点到点的距离均为10． (1)写出点所对应的数； (2)若动点分别从两点同时向右运动，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点与点重合； (3)若动点分别从两点相向而行，点运动2秒后，点才出发，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点运动多少秒时？ 变式1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 变式3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为． (1)____________，____________． (2)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点所表示的数是多少？ ②当为何值时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 变式4．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 考点二 数字问题 例1．（25-26七年级上·山东济南·期中）综合与实践 某商场为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取3张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 【问题建模】从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个不同的整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个不同的整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个不同的整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个不同的整数，所取的2个整数分别为1，2时和最小，和为_________，所取的2个整数分别为4，5时和最大，和为_________．小明发现和的结果从最小值到最大值是连续整数，所以共有_________种不同的结果． 【问题解决】 （2）①从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个不同的整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？（请仿照第（1）问，写出解答过程） ②在100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取3张奖券，共有_________种不同的优惠金额． 【问题拓展】 （3）从3，4，5，……，n（n为整数，且）这个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程） 例2．（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 例4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． (1)将无限循环小数化为分数： ． (2)仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； (3)已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数： （直接用含n的代数式表示）． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）一个两位数其十位数字为，个位数字为b（a、b均大于0小于10），把该两位数的十位数字与个位数字交换得到一个新的两位数 (1)计算所得新的两位数与原数的和（用含、的代数式表示）； (2)定义：把一个两位数的十位数字与个位数字交换后得到的新两位数与原数的和除以11所得的商记为，例如：，若的十位数字为，个位数字为，且，求的值； (3)若、都是个位数字不为0的两位数，且，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，9，，81，…； 第二行：，6，，78，…； 第三行：2，，26，，…； 解答下列问题： (1)每一行的第5个数分别是______；______；______； (2)第一行中是否存在连续3个数的和为100？请说明理由； (3)取每行数的第个数，若这三个数的和为725，求这三个数． 变式4．（25-26七年级上·甘肃定西·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 考点三 电费与水费问题 例1．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 例2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 例3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 例4．（25-26七年级上·天津河东·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正数、低于200度记为负数）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最少的是______月份，这个月电费______元； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． 当时，小明家该月的电费为______元； 当时，小明家该月的电费为______元； (3)若小明家七月份的电费为176元，请求出小明家七月份的用电量． 变式1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 变式2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 变式4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元一次方程：数轴上的动态行程问题、数字问题、电费与水费问题专项训练 一元一次方程：数轴上的动态行程问题、数字问题、电费与水费问题专项训练 考点目录 数轴上的动态行程问题 数字问题 电费与水费问题 考点一 数轴上的动态行程问题 例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 【答案】(1)4 (2) (3)2或 【详解】（1）解：依题意，A点对应的数为，B点对应的数为9． ， 对应的数为， 故答案为：4． （2）解：设运动的时间为t， ， 解得， 点C所表示的数为； （3）设运动的时间为t， 相遇前：， 解得， 相遇后：， 解得， 综上所述：或． 例2．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)存在，或4 (3)秒或4秒 【详解】（1）解：， ，， ，， 故点，表示的数分别为：、3， 若点到点，点的距离相等，则： ， 点对应的数是1， 故答案为：1； （2）解：当在之间，（不可能有）， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 点对应的数为或4； （3）解：设经过秒后点P到点A，点B的距离相等， 此时点A，B，P表示的数分别为， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则， 解得， 当点在右侧时，此时、重合，则 ， 解得． 故它们同时出发，秒或4秒后到点、点的距离相等． 例3．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点之间的距离记作：；当时，点之间的距离记作：．例如：，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)_____________，点表示的数为_____________．（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点同时出发． ①若点两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段应满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随t的变化而变化，该时段m，n应满足的数量关系为：或． 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12， ∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点Q在点左边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 如图所示，点Q在点右边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 综上所述，的值不随m的变化而变化，该时段m，n应满足的数量关系为：或． 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，已知数轴上依次有三点，点B对应的数是，且点到点的距离均为10． (1)写出点所对应的数； (2)若动点分别从两点同时向右运动，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点与点重合； (3)若动点分别从两点相向而行，点运动2秒后，点才出发，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点运动多少秒时？ 【答案】(1) (2)秒时重合 (3)点运动或秒时 【详解】（1）解：由题意得，， 所以点A所对应的数为． （2）解：方法一：由题意得：， 所以运动5秒后两点重合． 方法二：设运动x秒时重合，由题意得： ， 解得； 答：运动5秒后两点重合． （3）解：由题意可知点C所表示的数为， 设点M运动时间为t秒，则，由题意可分： 当时，则，因为， 所以，解得：， 当时，则， 所以， 解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述：当点运动或秒时． 变式1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题意得，，即点所对应的数为． 故答案为：． （2）解：设点所对应的数为， 当点在点左侧时，可列方程：， 解得，； 当点在点、之间时，此时，，故舍去； 当点在点右侧时，可列方程：， 解得，． 综上，点所对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， 根据题意可列方程：， 解得，． 点所对应的数为：． 答：点所对应的数为． 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【答案】(1)， (2)运动时间为5秒或秒 【详解】（1）解：A点表示的数为：； Q表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：∵点A表示的数为，即， ∴， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（大于3，舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或， 综上所述，运动时间为5秒或秒． 变式3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为． (1)____________，____________． (2)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点所表示的数是多少？ ②当为何值时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①， ②或. 【详解】（1）解：由数轴可知：， 故答案为：；； （2）解：①由题可得 解得：； 相遇点所表示的数是：； ②相遇前： 解得： 相遇后：   解得： 故点P与点Q间的距离为6个单位长度时或. 变式4．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 【答案】(1)点P表示的数为，点Q表示的数为 (2)两点在2.4秒后相遇 (3)第二次相遇的位置是 【详解】（1）由题意可得， 点从出发向右运动，秒后的位置为：， 点从出发向左运动，秒后的位置为：； （2）当时，两点相遇得，， ， ， ， ∴两点在2.4秒后相遇； （3）点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时，点的位置为， ∴点还未到达点，仍在向左运动； 点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时点已从返回运动秒，位置为， ∴第二次相遇发生在点返回、点返回后； 设第二次相遇时间为秒（）， 此时点经过秒到达，剩余秒向左运动， 位置为， 点经过秒到达A，剩余秒向右运动， 位置为， 联立方程得， ， ， ， 解得， 将t代入或计算位置得， ， ∴两点第二次相遇时的位置是． 考点二 数字问题 例1．（25-26七年级上·山东济南·期中）综合与实践 某商场为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取3张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 【问题建模】从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个不同的整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个不同的整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个不同的整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个不同的整数，所取的2个整数分别为1，2时和最小，和为_________，所取的2个整数分别为4，5时和最大，和为_________．小明发现和的结果从最小值到最大值是连续整数，所以共有_________种不同的结果． 【问题解决】 （2）①从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个不同的整数，这3个整数之和共有多少种不同的结果？（请仿照第（1）问，写出解答过程） ②在100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取3张奖券，共有_________种不同的优惠金额． 【问题拓展】 （3）从3，4，5，……，n（n为整数，且）这个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程） 【详解】解：（1）所取的2个整数分别为1，2时和最小，和为； 所取的2个整数分别为4，5时和最大，和为， 故答案为：3，9，7； 因为和的结果从最小值到最大值是连续整数，所以共有种不同的结果． （2）①从中任取3个不同的整数，和的最小值为； 和的最大值为； 不同结果的种数为， 故答案为：； ②当时，，故共有种不同的优惠金额． 故答案为：292； （3）从中任取5个整数，和的最小值为； 和的最大值为； ∵不同结果的种数为， ∴ ， ， ． ∴共有种不同的优惠金额， 故答案为：31. 例2．（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【答案】(1)26 (2)60 (3)612，631，669，688 【详解】（1）解：42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： ； （2）解：设数m的十位数字为x，则个位数字为， ， 它的“互补数”n为： ， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：， 则，， ∴． （3）解：三位数为， 三位数的“互补数”为： ， ， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵，，且a，b为整数， ∴，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 例4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． (1)将无限循环小数化为分数： ． (2)仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； (3)已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数： （直接用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． （2）解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． （3）解：已知， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 答：． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）一个两位数其十位数字为，个位数字为b（a、b均大于0小于10），把该两位数的十位数字与个位数字交换得到一个新的两位数 (1)计算所得新的两位数与原数的和（用含、的代数式表示）； (2)定义：把一个两位数的十位数字与个位数字交换后得到的新两位数与原数的和除以11所得的商记为，例如：，若的十位数字为，个位数字为，且，求的值； (3)若、都是个位数字不为0的两位数，且，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)58 (3)是定值，18 【详解】（1）解：由题意可得：所得新的两位数与原数的和为： ． （2）解：∵的十位数字为，个位数字为， ∴这个两位数为：， ∴交换十位与个位数字后的两位数为：， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：是定值，理由如下： ∵、都是个位数字不为0的两位数， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，9，，81，…； 第二行：，6，，78，…； 第三行：2，，26，，…； 解答下列问题： (1)每一行的第5个数分别是______；______；______； (2)第一行中是否存在连续3个数的和为100？请说明理由； (3)取每行数的第个数，若这三个数的和为725，求这三个数． 【答案】(1)，，． (2)不存在，理由见解析 (3)，，． 【详解】（1）解：观察第一行的数列可知， 这一行的数依次扩大倍，且第一个数是， 所以第一行的第n个数可表示为：． 观察第二行的数发现， 第二行的每一个数比第一行对应位置的数小3， 所以第二行的第n个数可表示为：． 观察第三行的数发现， 第三行的每一个数比第一行对应位置数的相反数小1， 所以第三行的第n个数可表示为：． 当时， ，，． 故答案为：，，． （2）解：设第一行的连续3个数分别为x，， 所以， 解得， 因为x为整数，所以不存在． （3）设第一行的第个数为x，则第二行、第三行第个数分别为， 依题意得，， 解得 所以这三个数分别为，，． 变式4．（25-26七年级上·甘肃定西·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【详解】（1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 考点三 电费与水费问题 例1．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 例2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 例3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1) ； (2) ； (3) 当时，元；当时，元；当时，元． 【详解】（1）解：该户居民月份用水， 应收水费元， 故答案为：； （2）解：若该用户月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民月份水费为元， 该用户月份用水量超过了， 设该用户月份用水量为， 根据题意可得：， 解得：， 答：该居民月份用水量为； （3）解：该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份， ， 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元． 例4．（25-26七年级上·天津河东·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正数、低于200度记为负数）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最少的是______月份，这个月电费______元； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． 当时，小明家该月的电费为______元； 当时，小明家该月的电费为______元； (3)若小明家七月份的电费为176元，请求出小明家七月份的用电量． 【答案】(1)一，80 (2)元；元 (3)320度 【详解】（1）观察表格数据可知，小明家用电量最少的是一月份， 这个月电费是元； 故答案为：一，80； （2）当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； 故答案为：元；元； （3）（元），（元）， ∵， ∴小明家七月份的电费为176元超过300度， 设小明家七月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得：， 答：小明家七月份的用电量为320度． 变式1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 变式2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 【答案】(1)他家应交135元水费 (2)王林家十月份的用水量为70立方米 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． 答：他家应交135元水费； （2）解：设王林家十月份的用水量为x立方米， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：王林家十月份的用水量为70立方米． 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 【答案】(1)当时，小明家应交电费元；当时，小明家应交电费元 (2)的值为 【详解】（1）根据题意得：当时， 小明家应交电费元； 当时， 小明家应交电费元； （2）当时，， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：的值为． 变式4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【详解】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 2 学科网（北京）股份有限公司 $