4.2.1 指数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、变化规律及应用，以“刘徽星”情景引入，结合A、B两地景区游客人次问题，通过对比线性与非线性增长，引导学生从增长量、增长率抽象出指数函数，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与实际问题，通过问题链驱动探究，如分析B地游客人次增长率归纳指数增长，结合碳14衰减实例抽象概念，体现数学抽象和数学思维。采用实例归纳与对比分析，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师易实施，学生能提升探究与应用能力。

2025年11月 4.2.1 指数函数的概念 教学目标 CONTENTS 通过具体实例的指数增长和指数衰减，以增强对指数函数模型的认识。 01 了解指数函数的实际意义，进而理解指数函数的概念。 02 提高抽象概括能力和数形结合思想，进而发展数学抽象的核心素养。 03 自强|不息 |求实 0、情景引入 中国古代数学家刘徽，《九章算术》 2024年12月，经国际天文学联合会批准，国际编号为361712号的小行星被命名为“刘徽星”，以表达对中国魏晋时期数学家刘徽及其代表的中国数学的崇高敬意。 一、指数函数的概念 思考: 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．右表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 思考: 部分同学通过表格找不到变化规律， 怎么可以快速发现变化规律？ 表格：具体但不实用 表格：具体但不实用 B景区 一、指数函数的概念 思考: 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ A景区 Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次） Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大． 思考: 那么B地景区的游客人次有怎样的变化规律？ Ａ地年增加量大致相等，年增长量是怎么算的？ 一、指数函数的概念 思考: 能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试.   结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数．称为指数增长. 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率． 增长量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。 一、指数函数的概念 思考: 如何用数学符号来精确刻画指数增长的变化规律？ 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y=1.11x , x∈[0,+∞) 这是一个函数，其中指数x是自变量． 因为Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的多少倍？ 思考: 还有和“指数增长”类似的变化规律吗？ 一、指数函数的概念 思考: 类比指数增长的研究过程，研究以下问题. 如果设生物的死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,那么,那么 这也是一个函数，其中指数x是自变量． 问题2：当生物死后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 分析：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，刚死亡时碳14含量为1个单位， 死亡1年后，生物体内碳14含量为：(1-p)1 ...... 死亡2年后，生物体内碳14含量为：(1-p)2 死亡3年后，生物体内碳14含量为：(1-p)3 死亡5730年后，生物体内碳14含量为：(1-p)5730 根据已知条件得，,即 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. 一、指数函数的概念 思考: 根据以上两个函数，你能归纳出指数函数的定义吗？ 如果设生物的死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,那么,那么 这也是一个函数，其中指数x是自变量． 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y =1.11x , x∈[0,+∞) 这是一个函数，其中指数x是自变量． 如果用字母 a 代替上式中的底数1.11和，那么 y=1.11x和 就可以表示为: 其中指数x是自变量，是一个大于0且不等于1的常数. 一、指数函数的概念 思考: 为什么规定呢？ 指数函数 一般地，函数 叫做指数函数，其中 x是自变量, 函数的定义域是R. 定义 思考: 为什么定义域是R 呢？ 解答：问题中x的具有实际意义，不能取负，由解析式可得函数在实数集上均有意义． 解答：如果＝0或=1，要么无意义，要么为常数，无法刻画变化规律，无研究价值。 如果，函数在处无意义，不具备普遍适用性。 二、指数函数的应用 学霸笔记： 求指数函数解析式的方法：一个方程求解一个未知数. 二、指数函数的应用 例2：问题1 已知2001年时，A地景区旅游人数为600万次，B地景区旅游人数为278万次，假设A地景区年增长量为10，B地景区年增长率为0.11，并且平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，B地景区门票免费，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.（只列解析式，不计算） 问题2 如果死亡生物体内碳14含量y与死亡年数x，满足关系式，那么当某生物死亡11460年后，它体内的含量衰减为原来的百分之几？ 二、指数函数的应用 二、指数函数的应用 当且仅当时，指数型函数为指数函数. 解：当x=11460时，，所以当某生物死亡11460年后，它体内的含量衰减为原来的25%. 指数型函数 一般地，函数叫做指数型函数，其中 x是自变量, 函数的定义域是R. 定义 在实际问题中，经常会遇到类似于的指数模型，那么： 三、课堂总结 四、课后作业 完成黄本：（32） 明天上午第二节上课之前交到第一排同学处 $