精品解析：吉林省四平市第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期期中考试 高二数学试题 命题人：林永芳 审题人：郑红梅 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的标准方程为（其中）.又因为焦距为，所以.所以. 故本题正确答案为D. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点关于原点对称点为， 所以圆关于原点对称的圆的方程为 ， 故选：C 3. 直线 和无公共点，则a的值为（ ） A. －1或2 B. 0或3 C. －1或0 D. －1或3 【答案】C 【解析】 【分析】两直线无公共点，由两直线平行求解. 【详解】当时，这两条直线分别为和，无公共点. 当时，， 解得. 综上，或. 故选：C 4. 双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 22或2 B. 7 C. 22 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线左右焦点分别为，利用双曲线的定义，即可求得答案． 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，则， 设P为双曲线上一点，不妨令（）， ∴点可能在左支，也可能在右支， 由，得， 所以或2． 所以点到另一个焦点的距离是或． 故选：A． 【点睛】本题考查双曲线的定义，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题． 5. 已知直线和圆， 则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出直线所过定点，即为圆心，即可判断出答案. 【详解】圆 的标准方程为， 圆心， 直线可化为，则直线l过定点， 因此直线经过圆心， 所以直线与圆相交． 故选：． 6. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ） A. 有最大值，为16 B. 有最小值，为16 C. 有最大值，为4 D. 有最小值，为4 【答案】A 【解析】 【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16． 【详解】由题意知，，则． 由基本不等式，知， （当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16． 故选：A． 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由，得出的轨迹方程为一个圆，再由圆与圆的位置关系可得实数的取值范围． 【详解】设，由，得，化简得，即，则点在以为圆心，2为半径的圆上， 又在圆上， 所以点为两圆有交点，即圆与圆有交点， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型. 【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，方程即为，它表示圆， 综上，选AD. 【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线的斜率为3，在轴上的截距为1 C. 两条平行直线与之间的距离是 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】A将方程化为点斜式即可知所过定点；B令求截距；C由两平行线间的距离公式可判；D计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误. 【详解】A：由直线方程有，故必过，正确； B：令得，故在轴上的截距为-1，错误； C：由直线方程知：, 则两条平行直线与之间的距离是，错误； D：由、的斜率分别为， 则有,故相互垂直， 将代入方程，故正确. 故选：AD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最大值为5 C. 存在点使得 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，在求出，即可求出可判断A；再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，再结合椭圆的定义可判断D. 【详解】对于A，椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； 对于B， ， 又，所以，所以， 即的最大值为5，当且仅当点在左、右顶点时取最大值，故B正确； 对于C，设点为椭圆的上顶点，则，， 所以，所以，所以， 则存在点使得，，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于D选项，关键点是转化为求的最小值，且当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】按的斜率不存在和存在两种情况进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得的方程. 【详解】圆即，则圆心为，半径为3. 直线过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，可知此时直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 故直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 13. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且的内心为，若的面积为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解. 【详解】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径，即半径． 又点在椭圆上，由椭圆的定义，得， ， 即. 又，所以， 因为， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 第II卷 主观题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点的中线所在直线方程为的平分线所在直线方程为． （1）求B点的坐标； （2）求边所在直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由中点， 在上，求出，即可得到点的坐标；（2）设点关于的对称点为，由，解得的坐标；点关于直线对称点在直线上，直线就是直线，由两点式求得的方程． 【小问1详解】 设，， 由中点， 在上， 可得：，解得， 所以． 【小问2详解】 设点关于的对称点为， 则由，解得，故． 点关于直线对称点在直线上， 直线就是直线，由两点式可得， 化简得的方程为． 16. 已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的右焦点，点，若直线的斜率为，为坐标原点. （1）求椭圆方程； （2）过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）设，运用直线的斜率公式可得，再由离心率公式可得，进而得到椭圆方程； （2）求得直线的方程，设出，，，，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，即可得到所求三角形的面积． 【详解】解：（1）设，由，直线的斜率为， 由条件可知：，解得，又，解得 所以，即椭圆的方程为； （2）由题意知：直线的斜率为：，所以直线方程为：，设， 由消，化简得：， 所以，，所以， 又因为原点到直线的距离 所以 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和斜率公式，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题． 17. 已知圆的圆心为坐标原点，且圆与直线相切. （1）求直线被圆所截得的弦的长； （2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出原点到直线的距离，即可求出圆方程，用垂径定理求出相交弦长； （2）根据切线性质，在以为直径的圆上，直线为已知圆与以为直径的圆的相交弦，即可求出方程. 【详解】（1）圆的圆心为坐标原点，且圆与直线相切， 圆半径为到直线的距离为， 圆方程为， 到直线距离为， ， 直线被圆所截得的弦的长为； （2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为， 连，则， 在以在以为直径的圆上，其方程为， 即，① ② 直线为已知圆与以为直径的圆的相交弦， ②-①得 直线的方程为. 【点睛】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、相交弦长、两圆相交弦方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 18. 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． （1）求点P到椭圆上点的距离的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出； （2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值． 【小问1详解】 设是椭圆上任意一点,, ，当且仅当时取等号，故的最大值是. 小问2详解】 设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以， 因为直线与直线交于, 则,同理可得,.则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题． 19. 已知圆过点，，. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程； （2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 又圆过点，，， 则， 解得， 所以圆一般方程为， 即其标准方程为； 【小问2详解】 由题意得，所以直线，点，点， 设点，，， 所以，， 所以， 又，， ， 又，在圆上， 所以，， ， 即， 所以， 整理得：， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入， 得， 则，， 所以， 即， 即， 得或， 当时，直线的方程为，过点， 当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立， 当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立， 综上所述，直线恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中考试 高二数学试题 命题人：林永芳 审题人：郑红梅 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则 A B. C. D. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线 和无公共点，则a的值为（ ） A －1或2 B. 0或3 C. －1或0 D. －1或3 4. 双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 22或2 B. 7 C. 22 D. 2 5. 已知直线和圆， 则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切 6. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ） A. 有最大值，为16 B. 有最小值，为16 C. 有最大值，为4 D. 有最小值，为4 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A. 若椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线的斜率为3，在轴上的截距为1 C. 两条平行直线与之间的距离是 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 11. 已知椭圆左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最大值为5 C. 存在点使得 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为__________. 13. 已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且的内心为，若的面积为，则__________. 第II卷 主观题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点的中线所在直线方程为的平分线所在直线方程为． （1）求B点的坐标； （2）求边所在直线方程． 16. 已知椭圆：（）离心率为，是椭圆的右焦点，点，若直线的斜率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积. 17. 已知圆的圆心为坐标原点，且圆与直线相切. （1）求直线被圆所截得的弦的长； （2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程. 18. 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． （1）求点P到椭圆上点的距离的最大值； （2）求的最小值． 19. 已知圆过点，，. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $