15.1轴对称【九大考点+九大题型】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

15.1轴对称 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 【题型探究】 题型一：轴对称图像 【例1】．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·期中）下列图片，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二：轴对称图形的性质求解 【例2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 题型三：桌球的轴对称问题 【例3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式2】．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 题型四：轴对称中光学问题 【例4】．（24-25九年级下·河南开封·月考）光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【变式1】．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五：折叠问题 【例5】．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型六：垂直平分线的性质 【例6】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于点，连接，若的周长为20，的长为8，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【变式2】．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型七：垂直平分线的判定 【例7】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【变式1】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，垂足分别为D，E；相交于点F． (1)求证：平分； (2)连接，求证垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型八：尺规作图 【例8】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，． (1)用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长为7，，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 题型九：轴对称、垂直平分线的综合问题 【例9】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)求证平分 (3)延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 【变式2】．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，已知点B在y轴上，点A在第一象限，且，． (1)若点C从点O出发，向x轴正半轴上运动，点D从点B出发，在线段上运动，C、D两点同时出发， ①如图1，连接，连接，若当，时，求的长度； ②如图2，连接，若D为中点时，，求证：； (2)如图3，点N在x轴的负半轴，连接，若，，垂足为点F，，的延长线交于点E，P为上一动点，当时，取最小值，求此时的长（用含m的式子表示）． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西南昌·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，的周长为22，则的周长为（　　） A．36 B．26 C．46 D．14 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）点M的坐标是，则和点M关于x轴对称的点N的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 4．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点，，若的周长为，则的周长是 ． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若的周长为的周长为15，则的长为 ． 13．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，点为中点，，平分于点，若，则的长度为 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，与边相交于点D；（不写作法，保留作图迹） (2)连接点A与点D，若，求的周长． 16．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 17．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，在线段上作一点P，使得点P到边和的距离相等； (2)在图2中，把△折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为___________． 18．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点．，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1轴对称 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 【题型探究】 题型一：轴对称图像 【例1】．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意； B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意； C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意； D、此图形是轴对称图形，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·期中）下列图片，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 题型二：轴对称图形的性质求解 【例2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称的性质一一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，直线，， 故选项A，B，D正确，无法判断选项C成立， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 题型三：桌球的轴对称问题 【例3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解决本题的关键． 首先，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反射为一个循环组依次循环，然后再用2024除以6，根据商和余数的情况确定对应点的坐标即可． 【详解】解：如图所示， 经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵， ∴当P点第2024次碰到矩形的边时的坐标与P点第2次反弹碰到矩形的边时的坐标相同． ∴点P的坐标为． 故答案是B． 【变式1】．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 题型四：轴对称中光学问题 【例4】．（24-25九年级下·河南开封·月考）光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点． 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 【变式1】．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式2】．（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，，，，则， ，，， ， ， 故选：B． 题型五：折叠问题 【例5】．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为，求解，证明，结合，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵ 又∵， ． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ， ． 故选：D． 【变式2】．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 题型六：垂直平分线的性质 【例6】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于点，连接，若的周长为20，的长为8，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，进而推出的周长为，求出的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选D． 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，即可解答． 【详解】解：连接， 则， 为边的垂直平分线， ∴， 即的周长的最小值为14． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和平行线的性质，结合三角形内角和定理计算是解题的重要步骤． 根据和垂直平分线的条件，可得到，再根据三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质和垂直平分线的性质计算即可． 【详解】的垂直平分线与交于点， ，， ，， ，， ， ， 由可得， ． 故选：． 题型七：垂直平分线的判定 【例7】．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，垂足分别为D，E；相交于点F． (1)求证：平分； (2)连接，求证垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、垂直平分线的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明结论； （2）先证明可得，即点F在的垂直平分线上， 再说明点A在的垂直平分线上即可证明结论． 【详解】（1）证明： ∵ ， 在 和 中 ， ， ∴， ， 又∵， ∴点A在 的平分线上，即平分 ． （2）解：如图： ∵， ∴， 在 和 中 ， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 题型八：尺规作图 【例8】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，． (1)用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长为7，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，由可推出，即可解答． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型九：轴对称、垂直平分线的综合问题 【例9】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 【变式1】．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)求证平分 (3)延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义及垂直平分线的定义． （1）利用“”证明得出； （2）利用“”证明得出，随即可得出平分； （3）由得出，再根据利用线段的等量关系得到，随即得出点A和点D都在的垂直平分线上，即可证明结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴ ∴平分． （3）证明：由（2）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点D在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式2】．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，已知点B在y轴上，点A在第一象限，且，． (1)若点C从点O出发，向x轴正半轴上运动，点D从点B出发，在线段上运动，C、D两点同时出发， ①如图1，连接，连接，若当，时，求的长度； ②如图2，连接，若D为中点时，，求证：； (2)如图3，点N在x轴的负半轴，连接，若，，垂足为点F，，的延长线交于点E，P为上一动点，当时，取最小值，求此时的长（用含m的式子表示）． 【答案】(1)①；②详见解析(2) 【详解】（1）①解：， ， ， ， ，在和中，， ， ； ②证明：如图2，过点A作轴于G， 则四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ， 由①可知，，， 为中点，， 在和中，， ， ； （2）解：延长交x轴于H，连接交于P，连接， 则取最小值， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 由（1）①可知，， ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西南昌·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，的周长为22，则的周长为（　　） A．36 B．26 C．46 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线，且， ∴，， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）点M的坐标是，则和点M关于x轴对称的点N的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据“关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”即可解答． 【详解】解：点关于x轴对称， 点N的横坐标为3，纵坐标为， 即． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 【答案】D 【分析】本题考查图形的对称，熟练掌握对称图形的性质是解题的关键． 由与关于直线对称，三角形与三角形的周长相等，且，再利用三角形内角和定理可求得的度数，从而可判断并得到答案． 【详解】解：与关于直线对称， 三角形与三角形的周长相等，，且， 故A、B正确； ∵，， ， 故C正确； 与关于直线对称， ∴，但， 故D错误， 故选：D． 4．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，然后求出，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点是点关于的轴对称点是， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小，根据三角形的面积公式求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 二、填空题 10．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用方程思想解决实际问题成为解题的关键． 设．由轴对称的性质可得，易得 ，根据，据此构建方程求解即可． 【详解】解：设． ∵点B关于直线的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点，，若的周长为，则的周长是 ． 【答案】52 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 由垂直平分线可得，再结合周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若的周长为的周长为15，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式得出，，两个式子相减，得出，进而得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E两点， ∴，， ∵的周长为22， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠性质可得，，所以，通过平行线的性质可得，然后由角度的和差即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形沿线段折叠到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，点为中点，，平分于点，若，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接、，过点作于点，利用垂直平分线性质得，角平分线性质得，进而证明和，分别得出、，最后结合求出的长度． 【详解】解：连接、，过点作于点， ∵点为中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，与边相交于点D；（不写作法，保留作图迹） (2)连接点A与点D，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点D即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质可得，求出的周长为即可解答． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）解：∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长，， ∴的周长． 16．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 17．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，在线段上作一点P，使得点P到边和的距离相等； (2)在图2中，把△折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【分析】本题考查尺规作图角平分线，线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作射线平分即可； （2）①作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接即可； ②垂直平分线段，所以，可证明的周长，则题目可解． 【详解】（1）解：如图1中，作的平分线即为所求； 根据角平分线性质定理，满足点P到边和的距离相等； （2）解：①如图2中，直线即为所求； ②垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合角平分线的性质进行计算是解题的关键． （1）连接，，根据已知条件证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据已知数值计算即可； 【详解】（1）连接，， 平分，，， ，， ，且平分， ， 在和中， ， ， ； （2）平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ， ． 19．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点．，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则， 根据代入计算即可得解． 【详解】（1）连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中， ， ， ． （2）在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用垂直平分线的判定，得出点在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，即可证明； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； 【详解】解：（1）连接 ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线 即； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 2 学科网（北京）股份有限公司 $