22.3 第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 栏目导航 要点概览 探究新知 1.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的　 ;  (2)把已知条件转化为点的　 　;  (3)合理设出函数的　 　;  (4)利用待定系数法求出　 　;  (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行相关的计算. 2.根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式 (1)顶点在原点,对称轴为y轴,可设解析式:　 　;  要点概览 平面直角坐标系 坐标 解析式 解析式 y=ax2 (2)对称轴为y轴,可设解析式:　 　;  (3)顶点在x轴,对称轴平行于y轴,可设解析式:　 　;  (4)抛物线过原点,对称轴平行于y轴,可设解析式:　 　.  y=ax2+c y=a(x-h)2 y=ax2+bx 探究新知 探究点一　拱桥或隧道问题 【例1】 如图所示,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8 m,宽AB为2 m.以BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6 m. 5 (1)求抛物线的函数解析式. 6 (2)如果该隧道是单行道,那么一辆货运卡车高4.5 m,宽2.4 m,它能通过该隧道吗? 7 (3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道的正中间设有宽 0.4 m的隔离带,那么(2)中的货运卡车还能通过该隧道吗? 8 解隧道内交通工具能否通过问题时,一般先建立合适的平面直角坐标系,并求出抛物线的函数解析式,然后求出交通工具的宽对应抛物线上的高,即求出该交通工具在隧道内的最大高度,若这个高度大于交通工具的实际高度,则能通过;否则不能通过. 9 【新知巩固】 1.某市新建一座景观桥.如图所示,桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分,桥面AB可视为水平线段,桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接,拱肋的跨度AB为40 m,桥拱的最大高度CD为16 m(不考虑灯杆和拱肋的粗细),则与CD的距离为5 m的景观灯杆MN的高度为( ) A.13 m B.14 m C.15 m D.16 m C 2.有一座抛物线形拱桥,在正常水位时(AB所示),桥下水面宽度为 20 m,拱顶距水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中,求该抛物线的解析式. (2)突遇暴雨,当水面上涨1 m时(CD所示),水面宽度减少了多少? (3)雨势还在继续,一满载防汛物资的货船欲通过此桥,已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似看成是宽6 m,高2 m的矩形.那么当水位又上涨了0.5 m时,此船是否可以通过,说明理由. 探究点二　运动路线问题 【例2】 (2025温州)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为 6 m 时,球达到最高点,此时球离地面 3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). (2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 解决球类运动路线类问题时,需把实际问题转化成数学问题,在转化时要注意球经过某点时的高度实际上就是抛物线上该点的纵坐标,判断足球能否射入球门问题就是当抛物线上该点的纵坐标小于球门高度时,能射入球门,否则不能. 【新知巩固】 3.(2025广州期中)如图所示,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1 m.当喷射出的水流距离喷水头8 m时,达到最大高度1.8 m,水流喷射的最远水平距离OC是 ( ) A.16 m B.18 m C.20 m D.24 m C 4.(2023成都模拟)已知竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.如图所示的是一个竖直向上抛出的物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的函数图象,下列选项中错误的是( ) A.h0=0 B.物体经过8 s后落地 C.物体抛出时的速度为40 m/s D.小球运动过程中的最高点距离地面40 m D 5.(2024兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离 x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. (1)求y关于x的函数解析式; (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 谢谢观赏！ 23 解:(1)由题意可知,顶点E的坐标为 (0,6),可设抛物线的函数解析式为y=ax2+6(a≠0). ∵抛物线上点A的坐标为(-4,2), ∴2=a×(-4)2+6,解得a=-. ∴该抛物线的函数解析式为y=-x2+6. 解:(2)∵这辆货运卡车的宽为2.4 m, ∴当这辆货运卡车行驶在隧道的正中间时,它在隧道最右边的点的横坐标为1.2. 在y=-x2+6中,当x=1.2时,y=5.64. ∵5.64>4.5, ∴这辆货运卡车能通过该隧道. 解:(3)根据题意,得当此货运卡车在右侧的行车道靠中间行驶时,它靠近隧道边的点的横坐标为2.4+0.4÷2=2.6. 在y=-x2+6中,当x=2.6时,y=4.31, ∵4.31<4.5, ∴这辆货运卡车不能通过该隧道. 解:(1)根据题意,设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0), 把(10,-4)代入y=ax2,得-4=100a, 解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-x2. 解:(2)∵水位上升1 m, ∴把y=-3代入y=-x2,得 -3=-x2, 解得x1=5,x2=-5. ∴CD=10 m. 答:水面宽度减少(20-10)m. 解:(3)能.理由如下: 将x=3代入y=-x2,解得y=-, ∵3-0.5-|y|=3-0.5-=>2, ∴此船可以通过. 解:(1)∵8-6=2, ∴抛物线的顶点坐标为(2,3), 设抛物线为y=a(x-2)2+3, 把点(8,0)代入,得36a+3=0,解得a=-, ∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+3. 当x=0时,y=-×4+3=>2.44, ∴球不能射进球门. 解:(2)设小明带球向正后方移动m m,则移动后的抛物线为y=-(x-2- m)2+3, 把点(0,2.25)代入,得2.25=-(0-2-m)2+3, 解得m=-5(舍去)或m=1. ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处. 解:(1)根据题意,可得抛物线过(0,10)和(3,7),对称轴为直线x=1, 设y关于x的函数解析式为y=ax2+bx+c, ∴解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-x2+2x+10. 解:(2)在y=-x2+2x+10中,令y=0,得0=-x2+2x+10, 解得x=+1或x=-+1(舍去), ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(+1)m. $$