精品解析：贵州省铜仁一中、思南中学2025-2026学年高二上学期联合期中考试数学试题

铜仁一中·思南中学2025-2026学年高二上学期 联合半期考试数学试题 命题人：焦勇、田仁勇 审题人：周越 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，即可求解. 【详解】设，为坐标原点，则点的坐标为， 根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标的竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以向量在坐标平面上的投影向量是， 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程，即可得. 【详解】由题设，则. 故选：D 3. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的范围及斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的取值范围. 【详解】由题设且，则. 故选：B 4. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项. 【详解】 在  上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 5. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据空间向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】由题意可作图如下： 由正四棱锥的所有棱长均为1，可知，且，所以，， 所以. 故选：C. 6. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可． 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C. 7. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量法求线线角即可. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为，则， 所以. 故选：B. 8. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意直线与圆相离，根据圆的性质知共圆且，根据 知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，即可求出直线的方程. 【详解】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，共线，则 B. 已知，，若，则 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 【答案】CD 【解析】 【分析】根据共线向量定义、向量平行的坐标表示、空间向量共面定理、空间基底的定义依次判断各个选项即可. 【详解】A：当同向时，；当反向时，，错； B：由，则，解得，错； C：由，且，所以四点共面，对； D：假设存在实数，使得， ，则，方程组无解， 不共面，可以构成空间的一组基底，对. 故选：CD 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过点且在轴、轴上截距相等且不过原点的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 已知点在圆外，则实数的取值范围是 D. 圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用截距式及所过的点求直线判断A，点到直线距离判断圆上点到直线距离判断B，点圆及圆与圆的位置关系判断C、D. 【详解】A：由题意，设直线为，则，则直线方程为，对， B：圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，对， C：由，则， 所以在圆外，则，可得， 综上，，错， D：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由于、有三条公切线，所以两个圆外切， 所以，，对. 故选：ABD 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线当就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有3条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象的对称性结合扇形弧长公式、圆的性质判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为； 当，时，曲线的方程可化为； 当，时，曲线的方程可化为； 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示： 由图可知曲线围成的图形有4条对称轴：，，，，故选项A错误； 对于B，曲线由4段圆弧组成，在中，，，由余弦定理可得 ，所以， 故曲线围成的图形的周长为，故B正确； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故选项C正确； 对于D，由图可知：点到直线的距离，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，故的最小值是，故选项D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的余弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】，， 故， 故答案为： 13. 已知半圆与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆相切结合临界位置可求参数的取值范围. 【详解】半圆的圆心坐标为，半径为. 直线的一般式为， 当直线与圆相切时，有，故， 当动直线过原点时， 因为动直线与半圆有且仅有两个不同的交点，故. 故答案为：. 14. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 由（1）得，而， 因此，所以； 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得 ，所以. 16. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，， 所以，所以，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出，再由数量积为零证明两直线垂直即可； （2）求出平面的法向量，代入空间向量的点到面的距离公式求解即可； （3）直接代入空间向量的线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 所以点B到平面的距离为， 【小问3详解】 由（2）可得平面的法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）略 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 19. 四面体中，分别为棱的中点，经过的平面分别与棱，相交于点，（不与顶点重合）. （1）证明：若，则（如图1）； （2）当与平面相交于点时（如图2），若四面体的体积为，求多面体的体积. 【答案】（1） 因为，且平面经过且与平面相交于， 所以，又为的中点，所以为中点， 又为中点，所以， 又，，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质，由可得，再结合为的中点，可得为中点，进而可得，进而求证即可； （2）由题意，令，，，根据三点共线可得， 即，又分别为中点，所以，连接，进而结合锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，直线与直线相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点， 令， 令，得， 又三点共线，所以， 令，得， 所以， 所以，所以， 故有，同理， 又分别为中点，所以， 记，四面体的体积为，多面体的体积为， 连接，则有， ， 所以， 又四面体的体积为，即，所以多面体的体积. 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁一中·思南中学2025-2026学年高二上学期 联合半期考试数学试题 命题人：焦勇、田仁勇 审题人：周越 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 3. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，共线，则 B. 已知，，若，则 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过点且在轴、轴上截距相等且不过原点的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 已知点在圆外，则实数的取值范围是 D. 圆与圆恰有三条公切线，则 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线当就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有3条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的余弦值是__________. 13. 已知半圆与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________. 14. 函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 16. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 19. 四面体中，分别为棱的中点，经过的平面分别与棱，相交于点，（不与顶点重合）. （1）证明：若，则（如图1）； （2）当与平面相交于点时（如图2），若四面体的体积为，求多面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $