3.2双曲线 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第三章 圆锥曲线的方程 （二）双曲线 知识点1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2） 当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线； 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． 当时，点的轨迹不存在． 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 A2 标准方程 定义 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ，（顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【方法技巧与总结】 1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 3．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)． 4.求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 5.直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 考点一 双曲线的定义及应用 例1.平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3) C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3) [答案]　D 变式1-1.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 【答案】B 变式1-2.设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 考点二 求双曲线的标准方程 例2.若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】A【详解】由题意，方程＝1表示双曲线，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A. 变式2-1.（多选题）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ） A．当时，曲线C表示椭圆； B．当或时，曲线C表示双曲线； C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则； D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则； 【答案】BC 【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误. 由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确. 综上所述，正确的选项为BC. 故选：BC 变式2-2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)； ∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2. 又∵焦点在x轴上， ∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)． 把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16. ∴双曲线的标准方程为－＝1. （2）与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为－＝1. 考点三 双曲线的几何性质 例3-1．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由双曲线可得．设，．则，，所以，．因为是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即， 所以，解得，的周长． 例3-2．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 【答案】【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示： 设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：. 变式3-1.双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设代入双曲线方程作差有:， 有，所以，故选：B． 变式3-2.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中， 渐近线方程为，其中一条为，于是有，，∴， ∴渐近线方程为．故选：C． 变式3-3.已知双曲线的离心率为2，则点到渐近线的距离等于（ ） A．3 B． C．2 D．6 【答案】A 【解析】由题意，双曲线的离心率为2，即，解得，所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以点到的渐近线的距离为.故选：A. 变式3-4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，则 △F1PF2的面积为____16______． 考点四 直线与双曲线 例4．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）． （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）6. 【解析】∵离心率∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为， 则由点在双曲线上，可得， ∴双曲线方程为 （2）证明 ∵点M（3，m）在双曲线上，， 又双曲线的焦点为 ∴，∴点M在以F1F2为直径的圆上． （3）解 变式4.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 【答案】D【详解】表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支． 2.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A. 3.若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为.故选：B 4．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是(　A　) A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0 C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0 5.（多选题）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 【答案】AB【详解】由题意，曲线的方程为， 对于A总，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以是正确的；对于B中，当时，曲线的方程为，可得，此时双曲线渐近线方程为，所以是正确的；对于C中，当曲线的方程为表示焦点在轴上的双曲线时，则满足，解得，所以 “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确； 对于D中，当曲线的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.故选：AB. 6.（多选题）已知曲线（ ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AD【详解】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；对于C，若，则，所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；对于D，若，则为双曲线，且其渐近线为，故D正确.故选：AD. 7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______. 【答案】【详解】由椭圆方程可知，焦点坐标是，设双曲线方程是，所以，解得：，，所以双曲线方程是.故答案为： 8.若双曲线的离心率为，则实数m=___________； 渐近线方程为__________． 【答案】2 【详解】， .渐近线方程是. 9.已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点． （Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）求的周长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由双曲线的方程得，，设 直线的方程为 将其代入双曲线方程消去y得，，得， ； （2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则的周长可表示为： ． 根据双曲线的定义， 由方程解得点A的坐标为（-3，），所以 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第三章 圆锥曲线的方程 （二）双曲线 知识点1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2） 当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线； 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． 当时，点的轨迹不存在． 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ，（顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【方法技巧与总结】 双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 考点一 双曲线的定义及应用 例1.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________. 变式1.已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 考点二 求双曲线的标准方程 例2.若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 变式2.根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1），经过点； (2)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(－，4)． （3）与双曲线有相同的焦点，且经过点. （4）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程. (5)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点． （6）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 考点三 双曲线的几何性质 例3-1．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ） A． B． C． D． 例3-2．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 变式3-1.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 变式3-2.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 变式3-3.此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜”，则双曲线的离心率的取值范围为______________ 变式3-4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为__________． 考点四 直线与双曲线 例4．如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 变式4.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 2.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 3.若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（ ） A． B． C． D． 4．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0 C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0 5.（多选题）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 6.（多选题）已知曲线（ ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其渐近线方程为 7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______. 8.若双曲线的离心率为，则实数m=___________； 渐近线方程为__________． 9.已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点． （Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）求的周长． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第三章 圆锥曲线的方程 （二）双曲线 知识点1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2） 当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线； 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． 当时，点的轨迹不存在． 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 A2 标准方程 定义 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ，（顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【方法技巧与总结】 1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 3．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)． 4.求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 5.直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 考点一 双曲线的定义及应用 例1.平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3) C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3) 变式1-1.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 变式1-2.设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 考点二 求双曲线的标准方程 例2.若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 变式2-1.（多选题）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ） A．当时，曲线C表示椭圆； B．当或时，曲线C表示双曲线； C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则； 变式2-2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)； （2）与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 考点三 双曲线的几何性质 例3-1．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ） A． B． C． D． 例3-2．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 变式3-1.双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 变式3-2.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 变式3-3.已知双曲线的离心率为2，则点到渐近线的距离等于（ ） A．3 B． C．2 D．6 变式3-4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，则 △F1PF2的面积为__________． 考点四 直线与双曲线 例4．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）． （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积． 变式4.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 2.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 3.若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（ ） A． B． C． D． 4．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0 C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0 5.（多选题）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 6.（多选题）已知曲线（ ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其渐近线方程为 7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______. 8.若双曲线的离心率为，则实数m=___________； 渐近线方程为__________． 9.已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点． （Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）求的周长． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $