22.3 实际问题与二次函数(1)——面积最值问题 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

实际问题与二次函数(1) ——面积最值问题 第二十二章　二次函数 1．已经二次函数y＝－2(x－5)2＋8，当x＝________时，y有最________值，为________. 2．已知二次函数y＝－2(x－5)2＋8，当6≤x≤10时，当x＝________时，y有最大值，为________． 注意：二次函数的最值与自变量的取值范围有关． 5　 大　 8　 6　 6　 预习导学 【例1】(人教教材母题)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化．当x是多少米时，场地的面积S最大？ 知识点1 图形面积的最值问题(不靠墙) 解：S＝x·＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225.　 当x＝15时，S有最大值．　 答：当x是15 m时，场地的面积S最大．　 课堂导学 【变式1】(人教教材母题)已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为8－x.　 根据题意，得S＝x(8－x)(0＜x＜8)，　 配方，得S＝－(x－4)2＋8.　 即当x＝4时，三角形的面积最大，最大面积是8.　 课堂导学 【例2】如图，某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长20 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门)．求鸡场面积的最大值． 知识点2 图形面积的最值问题(靠墙) 解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(47－2x＋1)m.　 依题意，得y＝x(47－2x＋1)，　 即y＝－2(x－12)2＋288.　 ∵，　 ∴.　 ∵，对称轴为直线，　 ∴当时，y有最大值.　 ∴鸡场的最大面积为14×20=280（）.　 课堂导学 【变式2】如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙的矩形苗圃，其中水平的墙长为8 m，竖直的墙足够长． (1)设矩形平行于竖直的墙边的长为x m，面积为y m2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)由题意知矩形的另一边长为(18－x)m，　 则y＝x(18－x)＝－x2＋18x，自变量x的取值范围是0＜x＜18.　 课堂导学 【变式2】如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙的矩形苗圃，其中水平的墙长为8 m，竖直的墙足够长． (2)当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ (2)y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81.　 ∵，　 ∵，且对称轴为直线.　 ∴ 当时，随的增大而减少.　 ∴ ，　 ∴当时，y最大，最大值为80.　 答：当时，所围苗圃的面积最大，最大面积为80　 课堂导学 课堂总结： 实际问题求最值的步骤 (1)列出函数关系式(要化为一般式)；(2)求自变量的取值范围； (3)求出对称轴或配方为顶点式；(4)看范围确定最值． 课堂导学 1．如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，已知AB＝4，求正方形EFGH的最小面积． 解：∵四边形EFGH是正方形，　 ∴EH＝GH.　 ∵∠AHE＋∠DHG＝∠DGH＋∠DHG，　 ∴∠AHE＝∠DGH.　 在△AHE和△DGH中，　 　 ∴△AHE≌△DGH(AAS)．　 ∴DH＝AE.　 设AE＝x.　 重难导学 ∵正方形ABCD的边长AB＝4，　 ∴AH＝4－x.　 ∴EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2 ＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，　 即正方形EFGH的面积S＝2(x－2)2＋8，　 ∴当AE＝2时，正方形EFGH的面积最小， 最小面积是8.　 重难导学 2．(数形结合)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从A，B两点同时出发． (1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式； 解：(1)设t s时，△PBQ的面积为 S.　 根据题意，得S＝BP·BQ＝(12－2t)×4t＝24t－4t2(0≤t≤6)．　 ∴S关于t的函数解析式为S＝24t－4t2(0≤t≤6)．　 重难导学 2．(数形结合)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发． (2)求△PBQ面积最大值． (2)∵S＝24t－4t2＝－4(t－3)2＋36，　 ∴当t＝3 时，△PBQ的