精品解析：江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题

江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 4. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第__________象限． 9. 在中，，若，则斜边上的高的长为__________． 10. 三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为__________． 11. 已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 12. 已知，则的值为______. 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程： 14. 已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 15. 已知点． （1）若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； （2）若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． （1）如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； （2）如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 17. 《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，某小区有一块四边形空地，其中，为了绿化小区环境，该小区计划在这块四边形空地上种各种花卉，为了方便小区内居民出入，设计了过点的小路，且于点，已知，，，小路AE的宽度为． （1）小路的面积是多少？ （2）通过市场调查，绿化每平方米空地需要200元的费用，若小区要完成这块空地绿化，预计需要花费多少元？ 19. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 20. 在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． （1）填空：__________，__________； （2）点坐标为，点是轴上的动点，当的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 22. 在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1，由于，因此我们能在数轴上表示长度为的线段． 【拓展应用】 （1）在图2中，点轴，轴，则__________，__________，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式； （2）若已知点，则点与坐标原点之间的距离是多少？ （3）在图3中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，求的最小值． 六、（本题12分） 23. 在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则、二次根式的加减法法则对各项进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； B．，故B计算正确，符合题意； C．，故C计算错误，不符合题意； D．，故D计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案 【详解】解：A、 ，不符合题意； B、 符合题意； C、 ，不符合题意； D、，不符合题意． 故选B 4. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 5. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，求代数式的值，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，交于H， ∵，点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴）， ∴， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限． 【详解】点P的横坐标为，是负数； 纵坐标为， 由于，故，是正数． 因此点P在第二象限． 故答案为：二． 9. 在中，，若，则斜边上的高的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 10. 三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 11. 已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 12. 已知，则的值为______. 【答案】或1或0 【解析】 【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 或 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和利用平方根解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值、负指数、平方根和零指数幂，再进行加减运算； （2）利用平方根解方程，得到两个解． 【详解】解：（1） ，   ，  ， ； （2），  ，   ， 当  时，，  当  时，，  所以方程的解为  或 ． 14. 已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【小问1详解】 解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 ， ∴的平方根为． 15. 已知点． （1）若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； （2）若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据直线平行于轴，纵坐标相等，列出方程进行求解即可； （2）根据象限内点的坐标特征，确定代数式结果的正负，然后根据到坐标轴的距离相等，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， 解得， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵点M在第二象限， ∴， 又点到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得， ∴， ∴． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． （1）如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； （2）如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 【答案】（1） 如图1， （2） 如图2， 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理和逆定理的应用． （1）根据，可以构造长为5的斜线段，由此即可构造边长为5，5，6的等腰三角形， （2）根据，而，，由此构图即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？ 【答案】绳索长为尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：如图， 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：绳索长为尺． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，某小区有一块四边形空地，其中，为了绿化小区环境，该小区计划在这块四边形空地上种各种花卉，为了方便小区内居民出入，设计了过点的小路，且于点，已知，，，小路AE的宽度为． （1）小路的面积是多少？ （2）通过市场调查，绿化每平方米空地需要200元的费用，若小区要完成这块空地绿化，预计需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，分别算出和的面积即可得出四边形空地，减去小路面积即可得出绿化面积进而求出绿化需要费用． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， 在中， 即 ． ∴ 小路的面积 答：小路的面积． 【小问2详解】 ∵，， ∴，即：， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 需要绿化面积为 小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元 答：小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元． 19. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】（1）影响； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． 【小问2详解】 解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 20. 在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． （1）填空：__________，__________； （2）点坐标为，点是轴上的动点，当的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）先求出的面积，进而得到的面积，再求出的长度，再对点P在点B的左边和点P在点B的右边时，进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 当点P在点B的左边时，，∴， 当点P在点B的右边时，，∴， ∴综上，点P的坐标为或． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 【答案】（1）625； （2）；（3）129 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得出， ，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，，，然后由（2）得a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积，进而求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积为225，正方形的面积为400， ∴， ∵ ∴正方形的面积； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∴正方形的面积； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，， ∴由（2）得，a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积， ∴a，b，c三个正方形的面积和． 22. 在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1，由于，因此我们能在数轴上表示长度为的线段． 【拓展应用】 （1）在图2中，点轴，轴，则__________，__________，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式； （2）若已知点，则点与坐标原点之间的距离是多少？ （3）在图3中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，求的最小值． 【答案】（1），， （2）5 （3）13 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中线段长度的计算、两点间距离公式的应用以及利用两点之间线段最短求最值问题，体现了数形结合思想． （1）根据坐标特点及平行关系确定线段长度； （2）直接运用两点间距离公式； （3）连接，则，由此可得是最小值． 【小问1详解】 解：∵点轴，轴， ∴点，，， 【小问2详解】 【小问3详解】 解：如图， ∴， ∵，， ∴， ∴当是与轴交点时，最小，最小值为13． 六、（本题12分） 23. 在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 【答案】（1）； （2）①如图，即为所求； ②3； （3）19 【解析】 【分析】（1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理分别画出，即可； （3）利用构图法求解即可． 【详解】解：（1）的面积； （2）①； ②的面积； （3）如图所示， ∴六边形的面积 ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $