精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

25-26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高一年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求出集合的补集，利用交集定义计算求解． 【详解】，解得或，集合或， ，， ，解得，集合， ． 故选：C． 2. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据全称量词命题为真，得到的取值范围，再根据必要不充分条件的概念进行选择. 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件； “”是“”的必要不充分条件. 故选：D 3. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立求的取值范围. 【详解】由题意：在上恒成立. 若，则不等式可化为，在上恒成立； 若，由在上恒成立，可得. 综上可知：. 故选：A 4. 已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】作直线，利用直线与指数函数的交点确定函数的对应关系. 【详解】如下图： 作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应 故选：B 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】，，且， ，， ， 当且仅当，即等号成立， 的最小值为7． 故选：D． 6. 设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据解析式作出函数的图像，上下平移直线，使其与图像有且仅有两个交点，得出的范围. 【详解】由题意可知,当时,,则此时在上单调递减,且值域为, 当时,由可知,函数是以为周期的周期函数, 且, 结合函数的图像,当满足时,与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据得到函数在上单调递增，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，令 则， 则函数在上单调递增， 对于不等式 ，由定义域可知， 所以不等式可化为，即， 因为在上单调递增；所以或（舍去）， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列指数幂运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 10. 已知两个实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用重要不等式逐项判断即可. 【详解】因为两个实数、满足， 由重要不等式可得，故， 当且仅当时，即当或时，等号成立，B对； 另一方面，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，A对； 对于CD选项，由题意可得， 由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，D对； 因为，故， 所以，即， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 又，C对. 故选：ABCD. 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，通过赋值法求出函数的一些特殊值，再结合函数的对称性逐一分析选项. 【详解】对A：令，由， 由，故A正确. 对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为. 但，即函数过点，不经过，故B错误； 对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对D：由； 由，用代替，可得， 所以. 所以，，…，，又， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令时，. 故答案为：. 13. 若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围. 【详解】因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以或， 由； 由. 综上可知：. 故答案为： 14. 非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为_______. 【答案】17 【解析】 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为. 由题意：，，，， ，，， 又， 所以. 即三项活动都参加的人数为17. 故答案为：17 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 15. 函数满足对任意，都有，且，当时，. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）在上是单调递减的函数，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【小问1详解】 在上是单调递减的函数， 理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． 【小问2详解】 令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 16. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分，，三种情况求解可得的最大值. 小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以，所以， 【小问2详解】 ， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】（1）答案见详解 （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 【小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18. 已知二次函数，其中且. （1）证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； （2）若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. （2）利用反证法，由题意得同为奇数或同为偶数，为奇数，假设有整数根，分同为奇数，同为偶数，结合的奇偶性可证结论. 【小问1详解】 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 【小问2详解】 当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 19. 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数满足为偶函数，求的值； （2）若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，解关于的方程. 【答案】（1）； （2）是，； （3）. 【解析】 【分析】（1）配方变形，利用给定定义求出值. （2）由给定函数求出，再利用给定定义求解判断. （3）利用换元法解指数方程. 【小问1详解】 函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以 【小问2详解】 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. 【小问3详解】 令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高一年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 命题“，”为真命题一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数定义域为，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知，，且，则最小值是（ ） A B. 5 C. D. 7 6. 设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列指数幂运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则_________. 13. 若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为___________. 14. 非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 15. 函数满足对任意，都有，且，当时，. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的解析式； （2）设函数，求在上的最大值. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 18. 已知二次函数，其中且. （1）证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； （2）若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 19. 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数满足为偶函数，求的值； （2）若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，解关于的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $