精品解析：上海市育才中学2025-2026学年高一上学期11月期中调研数学试卷

上海市育才中学2025学年第一学期高一年级数学学科期中调研卷 考生注意： 本次调研设试卷和答题纸，答案请写在答题纸上，写在试卷上无效. 答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 本试卷共4页，21题，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合，则集合的非空真子集的个数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先算出集合中的元素个数,根据非空真子集的计算公式即可求出结果. 【详解】解: 集合， 元素个数 , 所以非空真子集个数为. 故答案为: 2. 若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 故答案为：. 3. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 4. 若，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 5. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和韦达定理可解得，从而代入所求不等式，解之即可. 【详解】由题意可知方程的两根分别为， 由韦达定理得，，所以， 所以不等式即为，即， 即，解得. 所以所求的解集为. 故答案为：. 6. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 7. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【答案】． 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 8. 已知全集，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先用列举法写出全集，然后再根据交集和补集的定义得到集合中含有元素1，3，5，不含4，6，8，对于0，2，7，9利用反证法即可证明集合不含0，2，7，9即可求得. 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 9. 已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】用代替构造方程组求解. 【详解】用代替，得， 与联立得，. 故答案为： 10. 已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 11. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对任意的，不等式恒成立，等价于求的最小值，利用基本不等式求解出最小值后解一元二次不等式即可. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则等价于求的最小值， 由， 所以 ， 当且仅当，即等式成立， 所以有， 解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则__（请用列举法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【详解】根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：． 二、选择题：（本大题共4小题，13，14每题4分，15，16每题5分，共18分） 13. 若命题为“”，命题为“”，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】分别对充分性和必要性分析得到答案. 【详解】充分性分析：，或，不一定有，则是的不充分条件； 必要性分析：由可以得到，则是的必要条件； 综上可知，是的必要不充分. 故选：B 14. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过特殊值法、作差法分别分析四个选项的不等关系，从而确定正确选项. 【详解】选项A，取，，满足且，但，，，故A错误. 选项B，因为，所以，又，， 则，即，故B正确. 选项C，，由，得，，而的正负不确定，因此的正负不确定，故C错误. 选项D，若，则，，此时不成立，故D错误. 故选：B 15. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 16. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近． 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【小问1详解】 因为， 则， 所以； 【小问2详解】 假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 18. （1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【答案】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）， 【解析】 【分析】（1）设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 19. 已知函数，其中. （1）当时，，，且，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后按照和两种情况分类讨论，利用集合关系列不等式求解即可； （2）按照， ，，和分类讨论，解不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，或， 又，， ①时，，解得， ②时，或，解得 综上，或. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 ，即， 当时，则有，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，方程的两根分别为和， 当时，即，解原不等式得或； 当时，即，原不等式即为，解得； 当时，即，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 20. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】（1），2； （2）108 【解析】 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． 【小问2详解】 根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 21. 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【答案】（1）最小值2， （2）6，证明见解析 （3）32，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根绝绝对值三角不等式的知识求得最小值以及此时对应的的取值范围. （2）先求得波动距离，然后利用差比较法以及绝对值三角不等式证得. （3）先求得，然后结合（2）求得的最大值. 【小问1详解】 , 当且仅当即时等号成立, 所以当时，取最小值2. 【小问2详解】 1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即. 【小问3详解】 , 其中，，，, 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理, 所以或, 可知的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市育才中学2025学年第一学期高一年级数学学科期中调研卷 考生注意： 本次调研设试卷和答题纸，答案请写在答题纸上，写在试卷上无效. 答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 本试卷共4页，21题，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合，则集合的非空真子集的个数为_________. 2. 若，，，则______． 3. 函数的定义域是_____. 4. 若，且，则的值为__________． 5. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 6. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 7. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 8. 已知全集，，，，则_____. 9. 已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 10. 已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 11. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 12. 用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则__（请用列举法表示）． 二、选择题：（本大题共4小题，13，14每题4分，15，16每题5分，共18分） 13. 若命题为“”，命题为“”，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 14. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 15. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 16. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 18. （1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 19. 已知函数，其中. （1）当时，，，且，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 20. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 21. 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $