知识梳理-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（人教版2012）

优密卷知识梳理 九年级·数学·上册P (2)顶点式：y=a(r一h)干k(4,h,k为常数，a≠0). 5.二次函数与一元二次方程的关部 第二十一章一元二次方程 (3)交点式：y=a(x一x,)(r=x)(x,r:为抛物线与x轴的 (1)已知二次函数y=ax十x十c(a卡0)的值等于m,求自变 交点，4≠0)， 量x的值，可以解一元二次方程ax十hx+c=m(即r 1,一元二次方程的一般形式 2,二次函数的图象 br+c一m=0):反过来，解方程ax+x+c=0(a≠0)，可以 ax十br十c=0(a.b,c是常数，a≠0) (1)图象一抛物线 看作已知二次函数y=ax+r+e的值为0.求自变量x 1,一元二次方程的解法 (2)开口方向→4>0，开口向上a<0,开口向下. 的值 b (2)二次函数y=ax十br+c(a≠0)与一元二次方程4r2十 将二次明的系数化为 2移项。化为+=的形式 (3)对称轴一7=一46同号，对称轴在y轴的左侧0心 bx+c=0(a≠0)的关系： 配方选3配方.(+5)=女 异号，对称轴在y轴的右侧。 0①62一4ac>0片一元二次方程ax+x十c=0(a≠0)有两个 着+与3≥0，侧两边直接开方求解：+灯<0，则方臀无实数根 不等的实数根x·正：一抛物线与x轴有两个不同的交点 公式法一求制公式：一b土，区的4≥0 )预点坐标一（一名“。 (x1,0)和(x:,0) 3,二次函数的性质 因式分解法一—若=D.则4=0或R=0 ②b一4ac=0曰一元二次方程4x+:+c=0(a≠0)有两个 4>0时，抛物线开口向上，并且<0时，抛物线开口向下，并且 3,一元二次方程根的判别式与根的个数的关需 b 向上无限伸展 向下无限仲展 相等的实数根，=工=一名一抛物线与r轴只有唯一的 4>0台方程有两个不等的实数根 个交点(x,0): △=0一方程有两个相等的实数根 抛物线的对称轴是直线= "4a ③b-4ac<0曰一元二次方程ar+x十c=0(a0)无实数 」0一方程无实数根 在对称轴左侧，即当x< 4.一元二次方程根与系数的关那 在对称结左侧，即当：<一会 根一抛物线与x轴无交点 .二次面数的应用 若方程ax十r十c=0(a≠0)的两根为x1·x·划 时，y随x的增大而藏小：在对称时，y随：的州大面增大：在对称 将实际问题抽象为二次函数的数学模型，建立二次函数的解 品时随 品时y随 析式，借助最值法解决实际问题， 轴右侧，即当> 轴右侧.即当x>一 的增大而增大 的增大面减小 5,涉及x,十x,x,x,的一些重要变形 第二十三章旋转 (1).x+x=(x,十x)2-2x:x 搅物线有最低点.当，一一 24 抛物线有最高点，当x一 1,应转的三要惠 (2)(r1-x:)2=(x1+x:)-4r1x1. 旋转中心，旋转方向和旋转角 （3)+=-+_+)-21 时，y有最小值r a 时y有最小。 2,旋转的性厨 4,二次函数图象的平移 （4)1+1十x2 转不改变图形的形状和大小 了1C2xtT: =m 向上>0或向下体<平称个单位长度)= △ABC绕点按颗时叶甘方向转诗一个角度 到△AC 平移 应点到能转中 04=0',0B=B 第二十二章二次函数 得向>或网下法<平移个单位长度 >减向左<伪平移个单位长 平移个单位长 找段 心的距读相 单位长我 时吃点与转中心 1,二次函数解析式的三种常见形式 间左A ∠A0'=∠=∠6OG, 角 于旋转角 且卷等于丝转角 旋转的.后的图 全等 AAB≌△A'BG (1)一般式：3y=a+x十c(a,b,c是常数，4≠0 向上>或向下c0平移个单位长度 =-d 优计密卷知识梳理 3 3平移，被转和轴对称的异同点 2,弧、弦、圆心角 (2)每个内角=180”=2)，每个外角=360 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的 图形变换 旋转 平移 轴对称 8.弧长和痛形面积 弦也相等， 如果轴对称图 1)m的圆心角所对孤长为天系(R为半径). 1)对应线 平移变换前」 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 180 旋转变换前， 形的对应线段 段，对应角 后，两个图形 后，两个图形 成其延长线相 心角相等，所对的弦相等：在同圆或等圆中，如果两条弦相等。 的位置关系 的对应线段平 不 的任意一对对 交。那么交点 那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 @)调6角为销扇形面积是5。一照安及R为半径， 不同： 行（或共线）， 应点与旋转中 在对称轴上 (2)作圈所 对应角的两边 3,圆周角定理及推论 【为扇形的弧长)。 点 心所连线段的 成轴对称的两 雷的条件不 分别平行（或 夹角都等于旋 个图形的对应 定理：一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， (3)圆锥的侧面积S=l.圆锥的全面积S。=rr(r十I).其 同，运动方 共线)，平移方 转角 点的连线被对 推论：同弧成等弧所对的圆周角相等.半圆（或直径）所对的圆 中，？为底面圆半径（为母线长。 式不同 向一致 称轴垂直平分 (1)都是在平面内进行的图形变换： 周角是直角，90的侧周角所对的弦是直径，圆内接四边形的 (2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和 对角互补 第二十五章概率初步 相同点 大小，即变换前，后图形的对应边相等，对应角 4,点和圆的位置关系 相等 1.事件的分类 4,中心对称的性质 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有： ()中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而 点P在圆外台d>r: 华美发生的事件 且被对称中心所平分 点P在圆上回d=r: (2)中心对称的两个图形是全等图形。 点P在圆内问d<r. 不可使 见之：在一定条件下，必然不会发生的事件 电件 甲调：撑一枚质地均匀的股子，朝上的点数 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 为7 5.中心对称围形 5,直线和圆的位置关系 把一个图形绕着某一个点旋转180°如果旋转后的图形能够 定文，在一定条件下，可能发生业可能不发 如果⊙O的半径为r,圆心(O到直线1的距离为d,那么： 生的事件. 与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点 性事作布 保：一枚质地均的使币，正面商上 就是它的对称中心 直线1和⊙0相交一d<r: 1.事件与概率的关系 直线1和⊙O相切一d=r: 6.关于原点对称的点的坐标 。事作发生的回能性馨案越小 直线L和⊙O相离→d>r, 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y) !餐率的值 6.圆的切线 木训能事件事件发生的可能社越来越大必然事件 关于原点的对称点为P'(一x,一y) 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 3.框率求法 线是圆的切线， (1》一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 第二十四章圆 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事 切线长定理：从圆外一点可以引的两条切线，它们的切线长 1,圆的有关性质 件A发生的概率PA)一贾 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 (2)方法：①列举法：@列表法，心面树状图法 7,正多边形和圆 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 4.用蜓率估计概率 若正H边形的边长为：。，半径为r,·边心距为d,周长为 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧， 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定 P·则有 垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)eP, 弦所对的两条弧。 (1)周长P.n×a,面积S,-24,×d,×n