专项训练卷(三) 数学文化与跨学科-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（人教版2012）

当m 时，S有最小值，最小值为号 有“孙悟空“这个角色肖像的结果有8种，两人抽 平均每天可售出(30+2x)箱， 取的卡片上都没有“孙悟空”这个角色肖像的结果 ∴m的取值范围是m<且m≠0， 根据题意，得(40一x)(30+2x)=1400. 有12种， (2),方程的两个解满足x1·x:=0, 整理，得x2-25x十100=0. 82 m+2=0, :王菁第一个上台讲述的概率为20一旨，李怡第 解得x1=5,xg=20. 解得m=一2， 又，要尽快减少库存 一个上台讲述的概率为0亏 123 而m<且m≠0， .x=20. 答：每箱西瓜应降价20元. :+ ∴m的值为一2， ∴.方程为一2x十3x=0 易错专项训练卷（二）二次函 专项训练卷（三）数学文化与跨学科 ,这个规则对两人不公平 15.解：(1)证明：连接OD,如图所示. 解得x1-0,x:一2 3 数中易错题常见类型 1.B2.C3.B4.B5.C6.B7.C8.20 ,BC与⊙O相切于点D,∴OD⊥BC 5.D6.(x-1)2=2 9.号1041.6 BD=CD,∴.OB=OC, 7,解：解答过程不正确，从第③步出现错误 1.C2.1或-音3A ∴，∠OBC=∠OCB. 正确的解答过程： 12.证明：如图所示， 4.(1)m<0(2)0<m≤1 :OD⊥BC,∴.∠ODC=∠OAC=90° 移项，得2x2+4x=1, OC=PC,∴∠P=∠1. 5.D6.-1或17.C 在Rt△AOC与Rt△DOC中， ∠2=∠P+∠1，∠2=2∠P OA=OD, 三次项系数化为1，得：十2：=号 8m>4解析：2am十h=0,六m=-么，抛物 ,0A=0C,∴.∠2=∠3， OC=0C, 3 线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x=m,∴.M ∴.∠3=2∠P.∠AOB=∠P+∠3， .'.Rt△AOC≌Rt△DOC(HL), 配方，得+2x+1=受期+1-号 (my》为批物线的顶点.y≥y:>y1,抛物 ∴∠A0B=3∠P,即∠APB=号∠AOB, ∴∠ACO=∠DCO,∴∠B=∠ACO. 开方，得中1-士。 线开口向下.①当m≥7时，点P,Q都在M左侧 (2):∠BAC=90,AC- CD=BD=3 dm, 解得x1=-1+6, (减Q与M重合)，此时一定有y⅓≥y:>y1,符合 题意：②当m<7时，y:≥y:>y1,M在点P AC=号BC, 8c92 右侧，即m>1,且点P到对称轴的距离大于点Q 13.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一h)十 .∠B=30°. 10.解：(1)若方程有两个相等的实数根， 到对称轴的距离，甲m一1>7一m,解得m>4, .y=a(x-2)+10, OB=0C. 则有△=b2-4ac=(8-4m)-16m=61 6Mm=0, .4<m<7,综上所述，m的取值范圈是m>4. 把(0,6)代人y=a(x-2)2+10,得 9.B解析：抛物线开口句上，∴a>0。:对称轴为直 .∠B=∠OCB=∠ACO=30°， 解得m=1. 4a=-4, 当m=1时，原方程为x2十4x十4=0， 线x=一1<0,4，b同号，.b>0.抛物线与 .OC=2OA.在Rt△OAC中，OA2+32 ∴a=-1, y轴的交点B在(0，一-2)和(0，-3)之间（不含端 (20A)2, x1=xg=一2 .y=-(x-2)3+10. (2)不存在，理由 点)，-3<c<-2<0,∴abr<0,故①不正确， ∴.OA=5dm, (2)当y=0时，0=一(x一2)2+10 假设存在，则有x+x:=136. ,对称轴为直线工=一1，且该抛物线与工轴交于 ∴.AE=20A=25dm, x1十x1=4m-8,x1x1=4m2, 点A(1,0),∴，抛物线与x轴交于另一点（一3,0）， 解得x1=2十√10，x:=2-√10（舍去）. ∴.CE=√AE+AC=√(23)2+32=√2I(dm). 所以点C的坐标为(2+√0,0). (z1十x)2-2x1x-136. 当x=一3时，y=9a一3b十c=0,故②不正确， 答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为(2十 即(4m-8)2-2×4m2=136, 由上可得，方程ax2十bx十c=0的两个根为x1= 易错专项训练卷（一）一元二次方 10)m, ,m一8m-9=0,(m-9)(m+1)=0, 12=-3x1·x4= =-3,即c=-3a .m1=9,m2=一1. 14解：1 程中易错题常见类型 :△=(8-4m)2-16m2=64-64m≥0， -3<-2-3K-a<-2号<a<1 (2)画树状图如图所示 1.A2.D3.2 ,0<m≤1， 故③正确，若方程ax2十bx十c-x十1两根为m, 4.解：(1)：方程有两个不等的实数根， .m1=9,m2=一1都不符合题意 n(m<n),期直线y一x+1与抛物线y一ax2十 ,△=[-(2m+1)]2-4m(m+2)>0, 不存在正数m,使方程的两个实数根的平方和 br十c的两个交点的横坐标分别为m,n(m<n), 整理，得一4m>一1， 等于136 直线y=x十1进第一，二、三象限，且进点(-1， 11.C 0),∴结合图象可知直线y=x十1与抛物线的交 共有20种等可能的结果，其中两人抽取的卡片上 得m<m0, 12.解：设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元， 点在第一、三象限，别一3<m<1<m,故④正确.综 64优密卷九年级上册数学·P 6.(宜宾中考)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”，如 专项训练卷（三） 数学文化与跨学科 图所示，AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术"给 出AB的孤长I的近似值计算公式：1一AB+X当OA=4,∠AOB-60时，则1的值 为() 一、选择题 1.跨学科·化学如图所示化学分子结构模型平面图中（不考虑字母），是中心对称图形的 A.11-2/3 B.11-43 C.8-23 D.8-43 是( ①① ② ①@①① 水面4 0 ①⊙©@⑩ ①0⊙@@ ①① ② H @ 2 A 第5题图 第6题图 第7题图 2.数学文化《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有 7.(河北中考)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图所示，某 绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱 折扇张开的角度为120时，扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为S。,若 烟 根部8尺处时绳索用尽，请问绳素有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程 S 为() S,则m与n关系的图象大致是( A.82十x2=(x-3) B.82+(x+3)2=x8 C.82+(x-3)2-x2 D.x2+(x-3)2-82 3.跨学科·物理如图所示，随机闭合开关S,S,S中的两个，能让灯泡L发光的概率是( 二、填空题■ 8.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向 击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数解析式是h=一5t2十 线 c 20t,则小球运动中的最大高度是 m. 9.数学文化中国古代的“四书”是指《论语》《孟子《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作， 4.数学文化我国古代著作《四元玉鉴影记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几 株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批橡，这批椽的价钱为 是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放 回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是· 6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽 10.数学文化《代数学》中记载，形如x十8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图①所 的价钱.根据题意可列方程3x(x一1)=6210，其中x表示() 示，先构造一个面积为x”的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长 A.剩余椽的数量 B.这批橡的数量 方形，得到大正方形的面积为33十16=49，则该方程的正数解为7一4=3.”小唐按此方法 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 解关于x的方程x2十12x=m时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64， 5.简车是我国古代发明的一种水利灌概工具，如图①所示，简车盛水桶的运行轨道是以轴心 则该方程的正数解为 O为圆心的圆，如图②所示，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米， 孙 ⊙O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离 是() A.1米 B.2米 C.(3-5)米 D.(3+5)米 11.数学文化《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有14.古人云：“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉.”可见，古人对阅读情有独钟.其实，阅读好的 勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 书刊、作品可以陶治一个人的情操，提升一个人的素养，开阔一个人的视野.为了提高学生 8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问 的阅读兴趣，九(1)班班长将四大名著之一的《西游记》中“孙悟空”“唐僧”“沙僧”“猪八戒” 题中，该内切圆的直径是步 “白龙马”五个角色的肖像制成编号为A,B,C,D,E的五张卡片（卡片除编号和角色肖像 三、解答题 外其余完全相同)，卡片背面朝上洗匀后，让王菁先从中随机抽取一张，不放回，李怡再从 12.(抚州期末)“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图①所示 剩下的四张卡片中随机抽取一张，两人分别根据所抽取卡片上的角色肖像来讲述该角色 的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒PA,PB组成，两 在书中的故事.王菁和李怡都想第一个上台讲述，于是班长制定规则：若两人抽取的卡片 根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A,O可在棒PA, 上有“孙悟空”这个角色肖像，则王菁第一个上台讲述：反之，若两人抽取的卡片上都没有 PB内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PC,∠AOB为要三等分的任意角.则利用“三 “孙悟空”这个角色肖像，则李怡第一个上台讲述. 等分角仪"可以得到∠APB=了∠AOB. (1)王菁抽到的卡片上是“白龙马”这个角色肖像的概率为 (2)请用列表或画树状图的方法判断，这个规则对两人是否公平. 我们把“三等分角仪”抽象成如图②所示的图形，完成下面的证明 已知：如图②所示，点O,C分别在∠APB的边PB,PA上，且OA=OC=PC 求证：∠APB=了∠AOB. 15.(信阳浙河区三模)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器.它是根据日影的位置，指定 当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器.小东为了探究日晷的奥秘，在 不同时刻对日晷进行了观察，如图所示，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日 替的底座，点D为日帮与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D).点A在⊙O上，OA 为某-时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E,与BC交于点B,连接AC,OC, 13.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕 CE,BD=CD=3dm,OA⊥AC. 是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图所示），水柱的最高点为P,AB=2m,BP (1)求证：∠B=∠ACO 10m,水嘴高AD=6m. (2)求CE的长 (1)以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标 系，求图中抛物线的解析式 (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC, 水精 38