专项训练卷(二) 几何直观、空间观念与推理能力-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（人教版2012）

优密卷九年级上册数学·P 5.空间观念如图所示，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运 专项训练卷（二）几何直观、空间观念与推理能力 动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为() A.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B.平行四边形·正方形-·平行四边形·矩形 一、选择题 C.平行四边形→正方形+菱形→矩形 1.(潍坊中考)下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的 D.平行四边形·菱形→正方形→矩形 是( 6.推理能力如图所示，四边形OABC1是正方形，曲线C1C,C,C,C。…叫作“正方形的渐开 线”，其中C1C,CC,CC4,C,C,…的圆心依次按O,A,B,C1循环，当OA=1时，点 C:2的坐标是() 弥 A.(-1,-2022)B.(-2023,1) C.(-1,-2023)D.(2022,0) 2.推理能力如图所示，AB切⊙O于点B,连接OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D, 二、填空题 连接CD,若∠OCD=25°，则∠A的度数为() 7.几何直观如图所示，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，若∠DAB=66°，则∠ACD= A.25 B.35 C.40 D.45 封 第2题图 第3题图 3.几阿直观如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3,将△ABC绕点C 第7题图 第8题图 按逆时针方向旋转得到△A'BC,此时点A'恰好在AB边上，连接BB',则BB'的长 8.推理能力如图所示，已知点A(0,4),B(2,0),C(6,6),D(2,4),连接AB,CD.将线段AB 为() 绕者某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则 A.6 B.32 C.33 D.3 这个旋转中心的坐标为 线 4.(泰安中考)如图所示是二次函数y=a.x十bx十c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴 9.(苏州中考)如图所示，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一 是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a十b=0:②方程az2+bzx+ 次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 3 c=0一定有一个根在一2和一1之间：③方程ax+b虹十c一20一定有两个不相等的实 南 数根：④b一a<2.其中，正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第9题图 第10题图 第11题图 10.(衡阳中考)如图所示，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五 经 边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要的正五边形是 个 11.推理能力如图所示，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,线 段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的 第4题图 第5题图 第6题图 最小值为 三、解答题 15.推理能方如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线与AC,BC及AB 12,空间观念如图所示，网格图中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形 的延长线分别相交于点D,E,F,⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点 的格点上 G,交⊙O于点H,连接BD,若BC=BF (1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A:B1C1,画出△A1B,C1. (1)求证：△ABC≌△EBF. (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△AzB,C:,画出△A,B,C2· (2)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由. (3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积. (3)若AB=1,求线段BF和HG的长度. 13.(湖州中考)如图所示，在R△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心， OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB. (1)求证：BD=BC. (2)已知OC=1,∠A=30°，求AB的长 16.(遂宁中考)如图所示，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴分别交于点 A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点C(0,一3)，P,Q为抛物线上的两点 (1)求二次函数的解析式. (2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 求点Q的坐标，大一 (3)设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最 14.如图所示，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC 小值：若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由. 于点E,点P是线段DE上的动点（点P不与D,E重合）.将△ABP绕点A逆时针方向 旋转60°，得到△ACQ,连接EQ,PQ,PQ交AC于点F, (1)求证：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120 (2)当AP 当DP为何值时，△AQF是直角三角形？ 备用图 用 -36补充完整的条形统计图如图所示， x1=2,x1=-1. y与x之间的函数解析式为y=一5x十800 学生答题成鑽条形统计图 (4)8x+10x=3, (2)设商场获得的利润为出元， ·人数 ∴.8x2+10x-3=0 20 、公 .a=8,b=10,c=-3 由题意，得≥10， -5x+800≥220， .b-4ac=100-4×8×(-3)-196>0, .100≤x≤116.0=(x-80)(-5x+ “x=-10±196 公 800)=-5x+1200x-64000=-5(x D等级 16 120)3+8000.-5<0,100≤x≤116，.当x 0108时 ,1 掷两枚骰子共有36种等可能的结果，“两数之和等 C等级所在扇形圆心角的度数为360° 116时，利润最大，为7920元. 于8"有5种结果，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4， 答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最 (3)1200×(24%+32%)-672(人) 12.解：(1)当"很大时，摸到白球的颜率将会接近 4) 大，最大利润是7920元. 即估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的 0.75,所以摸到白球的概率为0.75， “两数之和等于9有4种结果，(4,5)，(5,4)，(3， 共有672人， 4×0.75=3(只). 6),(6,3): 专项训练卷（二）几何直观、空间观念 (4)画树状图如图所示 答：口袋中白球有3只。 “两数之和大于8”有10种结果，(3,6)，(6,3) (2)设白球为A1,A,A,黑球为B, 与推理能力 (4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(4,5),(5,4),(5,5) 第二个球 A 第一个球 A B (6,6)； 1.D2.C3.C “两数之差的绝对值小于2”有(1,1)，(2,2)， 4.B 解析：：抛物线的对称轴为直线x=1, 甲丙丁甲乙丁甲乙丙 A AA (A,A)(A,B) (3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4), 由上可得，一共有12种等可能的结果，其中抽出 (4,5),(5,6),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5) 4一2a=1b=-2a,…2a+b=0,故①正确. (A,A) A,A (A:.B 的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种， 共16种结果. :抛物战y-ax2十bx十c(a中0)的对称轴为直线 轴出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 A1,A)(AA) (A,B) 设事件A:“两数之和等于8”：事件B:“两数之和 x=1,与x柚的一个交点的横坐标在2和3之问， 21 .与x轴的另一个交点的横坐标在一1和0之间， 126 (B,A) (B,A》 (B,A) 等于9”P(A0- 36P(B) 3691 方程ax2+bx+c=0一定有一个根在一1和0 专项训练卷（一）运算能力、模型观 一共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同 P(A)≠P(B), 之间，故②错误.：抛物线y=ax2十bx十c(a≠0) 的有6种结果。 方案①不公平. 念与数据观念 与直线y一号有两个交点，方程a+b缸十c :随机摸出两个球颜色相同的概率为2一2 6 1 设事件C:“两数之和大于8”：事件D:“两数之差的 105 164 1.C2.D3.A4.C5.B6.C 13.解：(1)设该公司销售A产品的月平均增长率 绝对值小于2P(C)=36i8P(D) 369 三=0一定有两个不相等的实数根，故③正确. 7.248.29.202510.1 为x, P(C)≠P(D), ”抛物线与工釉的另一个交点的横坐标在一】和 依题意，得20(1十x)2=45, ∴.方案四不公平 0之间，当x=一1时，y=a一b十c<0.,抛物 1.解：146z+1D= 解得x1=0.5=50%,x2=一2.5（不合题意，舍去）， 使得游戏公平，需要确保甲、乙两人获胜的概率 线与y物交点的纵坐标是2，c=2,a-b十2< 答：该公司销售A产品的月平均增长率为50%. 0,∴，b一a>2,故④错误.所以正确的结论有2个」 2+1D-士 相等， (2)设A产品每套应涨价y万元，则平均每月可 两数之和为偶数的情况有18种，两数之和为奇数 5.A解析：画图如下. 售出(45-六)套， 的情况也有18种， 则两数之和为偶数，两数之和为奇数的概率都 (2)x2+4x+2=0, 根据题意，得(2+y)(45一10y)=100, ∴.x2十4x十4=2， ∴.(x+2)2=2, 解得-之=之 则可将规则改为：两数之和为偶数时甲胜，两数之 x十2=士2， :公司要尽可能让顺客得到实惠y=号 和为奇数时乙胜.（合理即可） .x1=-2十2，x1=-2一2 15.解：(1)设一次函数的解析式为y=x+b.将 (3)x(x-2)=2-x, 答：A产品每套应涨价万元。 (100,300),(120,200)代人 .(x-2)(x十1)=0. 14.解：方案①不公平，方案②不公平，理由如下： 得/20k+6=30, .x-2=0,或x十1=0， 由题意可得树状图如图所示。 120k+b=200, 快=一5：这段时间内 b=800, 由图可知最后会与原有矩形重合， 62 .四边形AECF形我的变化依次为平行四边形一 ∴.在(2)的运动过程中△ABC扫过的面积= 根据题意知，只有当∠AFQ=90时成立.， ∴.∠HFB=45°十∠EFB=∠EGB= 菱形·平行四边形→矩形 Saen,+SAw-号x+2 △ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到 ∠GEB=∠FHB, 6A1.2484,2)9} 10.10 △ACQ,∴.∠PAQ-60°，AP-AQ, .∠HFB=∠FHB,即FB=HB=1+√2， 13.解：(1)证明：如图所示，连接OD, .△APQ是等边三角形，∴.∠APQ=60 ∴.HG=HB-GB=1+√2-1=2. 11,2√/10-1解析：连接BM,将△BCM绕B逆时 ∠AFQ-90°，∴.∠PAF-∠QAF=30. 针旋转90°得△BEF,连接MF,QF,如图所示」 :△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. DE∥BC,,∠ADP=∠ABC=60°， :半圆O与AB相切于点D, OD⊥AB. ∴∠DAP=30,∠APD=0S- ∠ACB=90°， 16.解：(1)由题意，可设二次函数的解析式为y= ∠CBE=90°，∠ABC=90, ∴.∠ODB=∠OCB=90° “当品-厅时，△AQF是直角三角彩。 a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3), ∠ABC+∠CBE=180°， 在R1△ODB和Rt△OCB中， 15,解：(1)证明：：∠ABC-90°..∠EBF-90° 将C(0,一3)代人，得-3a=一3， A,B,E三点共线 OB=OB, :DF⊥AC,∴.∠ADF=90°， 解得a=1, :∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90° OD=0C. ∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°， .二次函数的解析式为y=x2一2x一3. ∠MBQ=∠FBQ, .Rt△ODB≌Rt△OCB(HL), ∴∠C=∠BFE. 由旋转性质得PB=QB,MB=FB, BDBC. (2:抛物线的对称轴为直线工--，十3-1，且 在△ABC与△EBF中， 2 .△BPM≌△BQF(SAS), (2)∠A=30°，∠ACB=90°， ∠C=∠BFE, 点P,C关于抛物线对称轴对称， .MP=QF=1. ∴.∠ABC=60. BC=BF, 点P的坐标为(2，一3). ∴Q的运动轨迹是以F为圈心，1为半径的孤 Rt△ODB≌R1△OCB. ∠ABC=∠EBF, 设Q(t,2-21一3).△OPQ是以点P为直角顶 BC-AB-4.CM-2CD-2, 1 ÷∠CBO-∠DB0-2∠ABC-30 ·△ABC≌△EBF(ASA). 点的直角三角形时，∠OPQ=90°，，OP+ PQ2=0Q2, ∴.BM=√BC+CM=2W5. 在Rt△OBC中， (2)BD与⊙0相切，理由：连接OB,如图所示。 ∴.[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-t)+(-3-t2+ ∠MBF-90°，BM=BF, ,0C=1,∴.0B=2, OB=OF,∴∠OBF=∠OFB. ZABC=90ADCD,..BD=CD, 21+3)]=(0-t)2+(0-2+21+3), ∴.MF=2BM-210. ∴BC=√OB-OC=√3， ∴.∠C=∠DBC.:∠C=∠BFE, 整理，得32-8t十4=0， MQ≥MF-QF, .在Rt△ABC中，AB=2,3 .∠DBC=∠OBF.,∠CBO十∠OBF=90°， 2 .MQ≥2/10-1， 14.解：(1)证明：：将△ABP绕点A逆时针方向旋 解得-号4-2（舍去）， ∠DBC+∠CBO=90°，∠DBO=90°， ∴.MQ的最小值为2√/10-1. 转60°， ,BD与⊙O相切. @停》 12.解：(1)△A1B,C1如图所示. .PA=QA,∠PAQ=60° (3)如图所示，连接AE,FH,EH.DF垂直平 ∴，△APQ是等边三角形， (3)存在 分AC, .∠AQP=60 由题意得P(m,m2一2m一3)，Q[m十1，(m十 ,DE∥BC, ∴AE=CE=√EAB=√2， 1)1-2(m十1)一3].如图所示，延长PQ交x轴 .∠AED=∠ACB=60°， ..BF-BC-BE+EC-AB+CE-1+2. 于点H.由点P,Q的坐标得直线PQ的解析式 .∠AQP=∠AED BH平分∠EBF, 为y=(2m-1)(x一m)十m3-2m一3，令y=0, 点A,点P,点E,点Q四点共圆， ∴LBG-=7∠EBF-X90'=45 则r=m-2m-3+m,则OH=m-2m-3+ ∴.∠PAQ+∠PEQ=180°， 1-2m 1-2m (2)△AB,C:如图所示 8)Se=2×3-号×2X1-专×2X1-号× ∠PEQ=120 ∴.∠EGB=∠F+∠FBG=∠F+45=∠C十 45°=∠CAE+45=∠CAE+∠EAB= m,-S8om-SoomX (y (2)如图所示. ∠CAB=∠BEG, 1 3X1=2 ∴.∠EGB=∠BEG,即BG=BE=1. AC=T+3=√10， :∠FBH=∠CBH,,HF=HE 1)-3-m2+2m+3]=号(m2+m+3)= 90π（√10）25 :∠FHE=180°-∠FBE=90°， .S彩CM 360 2, ∴.∠HFE=45, m+》+ 63 当m 时，S有最小值，最小值为号 有“孙悟空“这个角色肖像的结果有8种，两人抽 平均每天可售出(30+2x)箱， 取的卡片上都没有“孙悟空”这个角色肖像的结果 ∴m的取值范围是m<且m≠0， 根据题意，得(40一x)(30+2x)=1400. 有12种， (2),方程的两个解满足x1·x:=0, 整理，得x2-25x十100=0. 82 m+2=0, :王菁第一个上台讲述的概率为20一旨，李怡第 解得x1=5,xg=20. 解得m=一2， 又，要尽快减少库存 一个上台讲述的概率为0亏 123 而m<且m≠0， .x=20. 答：每箱西瓜应降价20元. :+ ∴m的值为一2， ∴.方程为一2x十3x=0 易错专项训练卷（二）二次函 专项训练卷（三）数学文化与跨学科 ,这个规则对两人不公平 15.解：(1)证明：连接OD,如图所示. 解得x1-0,x:一2 3 数中易错题常见类型 1.B2.C3.B4.B5.C6.B7.C8.20 ,BC与⊙O相切于点D,∴OD⊥BC 5.D6.(x-1)2=2 9.号1041.6 BD=CD,∴.OB=OC, 7,解：解答过程不正确，从第③步出现错误 1.C2.1或-音3A ∴，∠OBC=∠OCB. 正确的解答过程： 12.证明：如图所示， 4.(1)m<0(2)0<m≤1 :OD⊥BC,∴.∠ODC=∠OAC=90° 移项，得2x2+4x=1, OC=PC,∴∠P=∠1. 5.D6.-1或17.C 在Rt△AOC与Rt△DOC中， ∠2=∠P+∠1，∠2=2∠P OA=OD, 三次项系数化为1，得：十2：=号 8m>4解析：2am十h=0,六m=-么，抛物 ,0A=0C,∴.∠2=∠3， OC=0C, 3 线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x=m,∴.M ∴.∠3=2∠P.∠AOB=∠P+∠3， .'.Rt△AOC≌Rt△DOC(HL), 配方，得+2x+1=受期+1-号 (my》为批物线的顶点.y≥y:>y1,抛物 ∴∠A0B=3∠P,即∠APB=号∠AOB, ∴∠ACO=∠DCO,∴∠B=∠ACO. 开方，得中1-士。 线开口向下.①当m≥7时，点P,Q都在M左侧 (2):∠BAC=90,AC- CD=BD=3 dm, 解得x1=-1+6, (减Q与M重合)，此时一定有y⅓≥y:>y1,符合 题意：②当m<7时，y:≥y:>y1,M在点P AC=号BC, 8c92 右侧，即m>1,且点P到对称轴的距离大于点Q 13.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一h)十 .∠B=30°. 10.解：(1)若方程有两个相等的实数根， 到对称轴的距离，甲m一1>7一m,解得m>4, .y=a(x-2)+10, OB=0C. 则有△=b2-4ac=(8-4m)-16m=61 6Mm=0, .4<m<7,综上所述，m的取值范圈是m>4. 把(0,6)代人y=a(x-2)2+10,得 9.B解析：抛物线开口句上，∴a>0。:对称轴为直 .∠B=∠OCB=∠ACO=30°， 解得m=1. 4a=-4, 当m=1时，原方程为x2十4x十4=0， 线x=一1<0,4，b同号，.b>0.抛物线与 .OC=2OA.在Rt△OAC中，OA2+32 ∴a=-1, y轴的交点B在(0，一-2)和(0，-3)之间（不含端 (20A)2, x1=xg=一2 .y=-(x-2)3+10. (2)不存在，理由 点)，-3<c<-2<0,∴abr<0,故①不正确， ∴.OA=5dm, (2)当y=0时，0=一(x一2)2+10 假设存在，则有x+x:=136. ,对称轴为直线工=一1，且该抛物线与工轴交于 ∴.AE=20A=25dm, x1十x1=4m-8,x1x1=4m2, 点A(1,0),∴，抛物线与x轴交于另一点（一3,0）， 解得x1=2十√10，x:=2-√10（舍去）. ∴.CE=√AE+AC=√(23)2+32=√2I(dm). 所以点C的坐标为(2+√0,0). (z1十x)2-2x1x-136. 当x=一3时，y=9a一3b十c=0,故②不正确， 答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为(2十 即(4m-8)2-2×4m2=136, 由上可得，方程ax2十bx十c=0的两个根为x1= 易错专项训练卷（一）一元二次方 10)m, ,m一8m-9=0,(m-9)(m+1)=0, 12=-3x1·x4= =-3,即c=-3a .m1=9,m2=一1. 14解：1 程中易错题常见类型 :△=(8-4m)2-16m2=64-64m≥0， -3<-2-3K-a<-2号<a<1 (2)画树状图如图所示 1.A2.D3.2 ,0<m≤1， 故③正确，若方程ax2十bx十c-x十1两根为m, 4.解：(1)：方程有两个不等的实数根， .m1=9,m2=一1都不符合题意 n(m<n),期直线y一x+1与抛物线y一ax2十 ,△=[-(2m+1)]2-4m(m+2)>0, 不存在正数m,使方程的两个实数根的平方和 br十c的两个交点的横坐标分别为m,n(m<n), 整理，得一4m>一1， 等于136 直线y=x十1进第一，二、三象限，且进点(-1， 11.C 0),∴结合图象可知直线y=x十1与抛物线的交 共有20种等可能的结果，其中两人抽取的卡片上 得m<m0, 12.解：设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元， 点在第一、三象限，别一3<m<1<m,故④正确.综 64